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两等式间有联系吗？
这就是我们今天要学习的正弦定理，事实上定理对
任意三角形均成立．
下面我们来证明正弦定理对任意三角形均成立。
一、复习与引入
证法一 （作高法）
如图，当∠C为锐角时（不妨设∠C为最大角），过
点A作AD⊥BC于D，此时有
当∠C为钝角时，过A作AD⊥BC，交BC的延长线于
点D，此时有： ,
且
仿上可得
证法二 （向量法）
在△ABC中，有
其中，当∠C为锐角或直角时，α＝90°－C；
当∠C为钝角时，α＝C－90°.
故可得csin B－bsin C＝0，
正弦定理
思考： 从正弦定理的表达形式上，你能说明正弦定理的基本作用吗？
答 (1)正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C；
①已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角；
②已知两角和任一边，求其他两边和一角.
例1 如图，在△ABC中，A＝30°，C＝100°，
a＝10，求b，c.(精确到0.01)
解 因为A＝30°，C＝100°，
所以B＝50°.
三、 正弦定理的应用
因此，b，c的长分别为15.32和19.70.
已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路
(1)由三角形的内角和定理求出第三个角．
(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．
跟踪训练1
在△ABC中已知a＝18，B＝60°，C＝75°，求b的值.
解 根据三角形内角和定理，
A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
例2 根据下列条件解三角形(边长精确到0.01，角度
精确到0.1°)
(1)a＝16，b＝26，A＝30°；
(2)a＝30，b＝26，A＝30°.
所以B1≈54.3°，或B2＝180°－54.3°＝125.7°.
由于B2＋A＝125.7°＋30°＝155.7°<180，故B2也符合要求.
从而B有两解(如图)：B1＝54.3°或B2＝125.7°.
当B1＝54.3°时，C1＝180°－(A＋B1)
＝180°－(30°＋54.3°)＝95.7°，
当B2＝125.7°时，C2＝180°－(A＋B2)
＝180°－(30°＋125.7°)＝24.3°，
所以B1＝25.7°或B2＝180°－25.7°＝154.3°.
由于B2＋A＝154.3＋30°＝184.3°>180°，
故B2不符合要求，从而B中有一解(如图)，
C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋25.7°)＝124.3°，
已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法
（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
（2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦定理可求锐角唯一；
（3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论.
跟踪训练2
在△ABC中， ，求A,B,b.
反思与感悟
利用正弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角.
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角.
已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据正弦值求角时，要根据已知的两边的大小情况来确定该角有一个值或者两个值.
2.在△ABC中，下列式子与 的值相等的是 （ ）
3.在△ABC中，已知A=30°，B=60°，a=10，则b等于（ ）
小结
1、 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
2、正弦定理能解什么类型的三角形问题.
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1.正弦定理的常见变形：
(1)sin A∶sin B∶sin C＝ ；
a∶b∶c
2R
(3)a＝ ，b＝ ，c＝ ；
(4)sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ .
2Rsin A
2Rsin B
2Rsin C
探究一 三角形面积公式的拓展
思考1 △ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha，hb，hc，那么它们如何用已知边和角表示？
答 ha＝bsin C＝csin B，hb＝csin A＝asin C，hc＝asin B＝bsin A.
思考2 将思考1中得到的结论代入三角形面积公式 ，可以推导出怎样的结论？
在正弦定理的推导过程中，我们得到了一个副产品：
三角形的面积公式：
例1 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且B=30°，b=2, ,求△ABC的面积S.
反思与感悟 求三角形的面积，要挖掘题中的条件，转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题，选择适当的面积公式，注意综合应用三角形函数和倍角公式、正弦定理，注意方程思想在解题中的应用.另外也要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增根错误.
跟踪训练1 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 求∠C和△ABC的面积.
解： 在△ABC中，
∵A＋B＋C＝π，
∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C
探究二 正弦定理在几何中的应用
证明 设∠BAD＝α，∠BDA＝β，∠CDA＝180°－β.
在△ABD和△ACD中分别运用正弦定理，
反思与感悟 平面几何中的有关计算或证明问题常转化为三角形中的问题，然后灵活运用正弦定理和其他定理加以解决.
在△ABC中，∠A的外角平分线交BC的延长线于D,用正弦定理证明：
跟踪训练2
例2回望
探究三 知两边及一边对角，求解的情况
根据下列条件解三角形(边长精确到0.01，角度精确到0.1°)
(1)a＝16，b＝26，A＝30°；
(2)a＝30，b＝26，A＝30°.
第（1）题两解；第（2）题1解.两题仅仅a的数值有区别
而导致不同的结果.究竟是怎么回事？
习题研究：
bsinA究竟在哪里？只要找到它再和a比较即可判断解的情况.
归纳升华 在△ABC中，已知a，b和A，解的情况如下：
? A为锐角? A为钝角或直角
图形
关系式 a
b a≤b
解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解
训练4
写出下列三角形解的个数.
(1)a=7,b=14,A=30°，_____;
(2)a=30,b=25,A=150°，______;
(3)a=6,b=9,A=45°，______;
(4)b=10,a=9,A=60°，______.
解析：
对于（1）a=bsinA,有一解；
对于（2）a>b.A=150°，钝角三角形，有一解；
对于（3） ，无解；
对于（4）bsinA小结：
1.三角形的面积公式；
2.正弦定理在几何中的运用；
3.知两边与一边的对角，判断解的情况.
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①已知两角和任一边，求其它两边和一角（例1）；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角（例2）.
一、复习
等价于
从而知正弦定理的基本作用为：
已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路
(1)由三角形的内角和定理求出第三个角．
(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．
已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法
（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
（2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦定理可求锐角唯一；
（3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论.
例3 如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，求山的高度BC.(精确到1 m)
二、探究1：正弦定理在实际生活中的应用
抽象出三角形
解 过点D作DE∥AC交BC于E，
因为∠DAC＝20°，
所以∠ADE＝160°，
于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.
又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.
答 山的高度约为811 m.
反思与感悟
运用正弦定理解决实际问题中与高度有关的问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.
跟踪训练1：
如图，从A点和B点测得上海东方明珠电视塔顶C的仰角分别为38.3°和50°，AB=200m,求东方明珠电视塔的高度（精确到1m）.
探究2： 正弦定理的几何解释
(1)如图，在Rt△ABC中，斜边c等于Rt△ABC外接圆的直径2R，故有 .
(2)如图，△ABC为锐角三角形，
连结BO并延长交圆O于D，连结CD.
（3）如图，当△ABC为钝角三角形时，连结
BO并延长交圆O于D，连结CD，
综上所述，对任意的△ABC， 恒成立.
有时设比值为k,a=ksinA,b=ksinB,
c=ksinC.
公式的变形：
探究3：利用正弦定理判断三角形的形状
例4 在△ABC中，已知 ，试判断△ABC的形状.
即tan A＝tan B＝tan C.
又A，B，C∈(0，π)，
所以A＝B＝C，
从而△ABC为正三角形.
反思与感悟
借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，在转化为角的关系后，常常利用三角变换公式进行化简，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明等.
在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
跟踪训练2
(1)在△ABC中， ,判断△ABC的形状.
(2)在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C,且sinA=2sinBcosC,试判断△ABC的形状.
(3) 在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC的形状是______
三角形.
练习：
(4) 在△ABC中，已知∠A＝150°，a＝3，则其外接圆的半径R的值为____.
（5）在△ABC中，若A=60°， ，则
等于（ ）
1、 正弦定理的实际应用；
2、正弦定理的变形证明三角形的形状；
正弦定理的变形形式：a＝ksin A，b＝ksin B，
c＝ksin C(k>0).或
3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决.
小结：
