(共19张PPT)
3.2 二倍角的正弦、 余弦、正切公式（1）
1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.
学习目标
问题提出
1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式分别是什么？
2. 是特殊角， 与 是倍半关系，利用上述公式可以求 的三角函数值.如果能推导一组反映倍半关系的三角函数公式，将是很有实际意义的.
两角和的正弦、余弦和正切公式都是恒等式，特别地，当β＝α时，这三个公式分别变为什么？
二倍角公式的推导
思考1
sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α
＝2sin αcos α
cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α
＝cos2α－sin2α
即：
上述公式称为倍角公式（特指二倍角），分别记作S2α，C2α，T2α，三倍角、四倍角就不能称为倍角了.
思考2
根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？
cos 2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1
或
规律与方法
1.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是 的二倍； 是 的二倍.......
2.二倍角余弦公式常见的变形形式：
3.由任意角的三角函数定义可知，S2α，C2α中的α是任意的，但T2α中
且 .
例题教学：
巩固练习：
答案
2
3
4
5
1
解析
√
答案
2
3
4
5
1
解析
√
答案
2
3
4
5
1
解析
答案
2
3
4
5
1
解析
解析 ∵sin 2α＝－sin α，
∴sin α(2cos α＋1)＝0，
解答
2
3
4
5
1
小结：
二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α＝2sin αcos α， (S2α)
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α， (C2α)
tan 2α＝ . (T2α)
作业：课后练习
本课结束
(共10张PPT)
3.1.3 二倍角的正弦、 余弦、正切公式（2）
sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α
＝2sin αcos α
β=α
二倍角公式是和角公式的特殊情况
公式再讲
sin2α＝2sinαcosα；
.
cos2α＝cos2α－sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α；
sin2α＋cos2α＝1
降 幂 公 式
升幂公式？
例题教学：
切化弦
解答
练习：
练习：
1.另行布置，见QQ作业
2.做完习题3.2
课后作业：
解法1由倍角公式∞os2a=1-2simn?a,得
cOS
sIra-
2
例5在半圆形钢板上截取一块矩形材料,怎样截取能使这个矩形
解如图3-2-2,设∠AB=0,且O为锐
角,半圆的半径为R,则面积最大的矩形AB
CD必内接于半圆O,且两边长分别为
这个矩形的面积为
S矩形AD=A·DA=Rsin·2Roo80=Rsin2
所以,当sin29=1(0为锐角),即O=45°时,矩形ABCD的面积
取得最大值R2
答当这个矩形的两边长与半圆的半径的比是1:2:2时,所
1.化简
(1)(sin15+cos15°)2;
(2)sin g 0:
(3)cosa-sin'a:
(4)√2+c0s20-sin210;
(5)
1-tanB
91+tan 6
2.证明
(1)cOs(A+B)-sinr (A-B)=COs 2A cOs 2B:
(2)o3201-tar20)=0os20
3已知ma=÷,p=3,且a,都是锐角,求a+23的值
(共23张PPT)
3.1.3 二倍角的正弦、 余弦、正切公式（3）
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
2sin αcos α
cos2α-sin2α
公式再探索
2.正弦、余弦的二倍角公式的变形
(1)余弦的二倍角公式的变形
②1±sin 2α=（sinα±cosα）2.?
(2)正弦的二倍角的变形
①
“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，这里蕴含着换元思想.
点津：
（1）对于“二倍角”应有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；3α是 ； 是 的二倍角......,
又如
所以
(4)注意倍角公式的灵活运用,要会正用、逆用、变形用.
二倍角公式的变形，不要求都记忆，需要时可直接推导.
（2）由任意角的三角函数的定义可知，S2α，C2α中的角α时任意的，但要使T2α有意义，需要 且
(3)一般情况下，sin2α≠2sinα，例如 ，只有当α=nπ，
时，sin2α=2sinα才成立，同样，在一般情况下cos2α≠2cosα，tan2α≠2tanα.
升幂公式：
降幂公式：
解：原式=
课堂探究 素养提升
跟踪训练1:求下列各式的值:
(1)sin 10°sin 50°sin 70°.
解：原式=
(2)
解：原式
解：原式=
方法技巧
对于给角求值问题,一般有两类:
(1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化,一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
解： (sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α
题型二 利用二倍角公式给值求值
例2 若 ，则sin2α=________.
跟踪训练2 已知tan α＝2.
求 的值.
方法技巧
(1)给值求值问题常有两种解题途径:
①对题设条件变形,把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢;
②对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢,以便将题设条件代入结论.
(2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.
题型三 利用二倍角公式证明与化简
例3 求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2Acos 2B;
证明：（1）左边
=cos2Acos2B=右边.
所以等式成立.
例4 化简
解：方法一
原式
方法二
原式=
方法技巧
证明问题的原则及一般步骤
(1)观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.
(2)证明的一般步骤是:先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.
(1)对于三角函数式的化简有下面的要求：
①能求出值的应求出值.②使三角函数种数尽量少.③使三角函数式中的项数尽量少.④尽量使分母不含有三角函数.⑤尽量使被开方数不含三角函数.
(2)化简的方法：
①弦切互化，异名化同名，异角化同角.
②降幂或升幂.
(3)当遇到 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.
题型四 易错辨析
例4 化简：
错解：原式
纠错：利用 去根号时，对a的符号未加讨论而出错或 的符号判断出错.
正解：原式
因为 ，所以 .
跟踪训练4 化简下列各式：
解析
(1) ,则
解析 ∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0，
