高中数学苏教版必修二《空间两直线的位置关系1》自主学习任务单（Word版）

1．2．2 空间两条直线的位置关系（1）自主学习任务单
1、 学习目标
1．了解空间两条直线的三种位置关系；
2．理解并掌握公理4，并能熟练运用公理4证明两直线平行；
3．了解等角定理，并能简单运用等角定理证明空间两角相等．
二、学习过程
1．导入新课
问题1：请同学们利用手中的笔作为两条直线，平面内两条直线的位置有几种？分别是什么位置关系；
问题2：观察教室内的日关灯所在的直线与黑板左右两边所在的直线；操场上的旗杆所在的直线与跑道所在的直线；机械部件中的蜗杆和涡轮的轴线a和b，它们既不相交又不平行，也可以用上述两种关系描述吗？

2．问题导学
问题3：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，指出下列两条直线的位置关系：
（1）AB和AD； （2）AB和CD；
（3）CD和C1D1；（4）AB和B1C1．



问题4：通过问题3的探究可以发现，空间两条直线的位置关系如何？
问题5：空间两条直线的位置关系有哪几种？是如何定义的？你可以把空间两条直线的位置关系分成几类？分类标准是什么？

问题6：在平面几何中的平行的传递性如何叙述的？在问题3中已经得到，AB//CD，CD//C1D1，那么AB和C1D1的位置关系如何？平面几何中平行的传递性在空间中成立吗？

问题7：我们把空间中平行的传递性记作公理4，那么公理4的内容是什么？请你尝试也用符号表示公理4．
问题8：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∠CAB的两边和∠C1A1B1的两边在位置上有何关系？这两角相等吗？




问题9：在平面中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．这一结论在空间成立吗？请给出证明．

问题10：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等吗？

3．例题导析
例1 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F分别是AB,BC的中点，求证：EF//A1C1．

问题1：本题中由“E，F分别是AB,BC的中点”，可以得到EF和AC什么位置关系？
问题2：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1和BB1，BB1和CC1什么位置关系？它们的长度相等吗？进而AA1和CC1什么位置关系？你是如何得到的？
问题3：由问题2的探究，你可以判断四边形的形状吗？进而AC和A1C1的位置关系如何？
问题4：由问题1和问题3的探究，你可以判断的位置关系吗？你是如何得到的？





例2　如图，已知E，E1分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点．
求证：∠C1E1B1＝∠CEB．



问题1：四边形是平行四边形吗？如何证明？进而判断的位置关系？

问题2：四边的是平行四边形吗？如何证明？进而判断的位置关系？你能用同样的方法证明也具有这种位置关系吗？

问题3：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∠C1E1B1和∠CEB的两边方向相同吗？结合问题2的探究，∠C1E1B1和∠CEB的大小关系？判断的依据是什么？

4．反馈练习
（1）若两直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系________________．
（2）直线a和b分别是长方体的两个相邻的面的对角线所在直线，则a和b的位置关系是_________．
（3）如果OA∥O1A1，OB∥O1B1，∠AOB＝40o，则∠A1O1B1＝ ．
（4）如图，已知AA1，BB1，CC1不共面，,．求证：△ABC≌△A1B1C1．


5．反思总结
本节课学习了以下内容：
（1）异面直线的概念；
（2）空间两条直线的位置关系；
（3）公理4和等角定理；
（4）公理4和等角定理都是将平面几何中的结论推广到空间；等角定理是通过构造全等三角形来证明的，这个过程就是一个平面化的过程．
三、效果检测
1．完成教材第25页练习第1题，第2题；
2．完成教材习题1．2（1）第9题；
3．探究拓展
如图，E、F、G、H是平面四边形ABCD四边中点，四边形EFGH的形状是平行四边形吗？为什么？如果将ABCD沿着对角线BD折起就形成空间四边形ABCD，那么四边形EFGH的形状还是平行四边形吗？


























1.2.2 空间两条直线的位置关系（1）自主学习任务单参考答案
1．导入新课
问题1：平面内两条直线的位置有2种，分别是：平行和相交．
问题2：都不可以用平行或相交描述，其实这就是我们今天要新学习的内容—异面直线．
2．问题导学
问题3：（1）相交；（2）平行；（3）平行；（4）异面
问题4：空间两条直线除了相交、平行两种位置关系外，还有一种位置关系：不在任何一个平面内的两条直线—异面直线．
问题5：空间两条直线的位置关系有以下三种：
（1）相交直线：在同一个平面内，有且只有一个公共点的两条直线；
（2）平行直线：在同一个平面内，没有公共点的两条直线；
（3）异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线；
从有无公共点的角度，可将空间两条直线的位置关系分成：相交直线和不相交直线两类；
从是否共面的角度，可以将空间两条直线的位置关系分成：共面直线和不共面直线两类．
问题6：平面几何中平行的传递性：在平面几何中，同一平面内的三条直线，如果，且，那么．在问题3中，由AB//CD，CD//C1D1，可得AB//C1D1．这说明平面几何中平行的传递性在空间仍然成立．
问题7：公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（空间平行的传递性），用符号表示：．
问题8：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∠CAB的两边和∠C1A1B1的两边分别平行并且方向相同；∠CAB=∠C1A1B1．
问题9：这一结论在空间仍然成立，并称之为等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．(证明见教材)
问题10：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
3．例题导析
例1 问题1：平行
问题2：，， 进而由公理4可得．
问题3：由问题2的探究，可得四边形是平行四边形，进而可得．
问题4：由公理4可得．
证明：连结AC，在中，E，F分别是AB,BC的中点，所以EF//AC，
又因为，，所以，
从而四边形是平行四边形，所以，
从而．
总结：本题先用三角形的中位线定理证明EF//AC，再两次使用公理4证明及
，顺利完成证明．
例2 问题1：四边形是平行四边形． 证明：连结EE1，因为E，E1分别为棱AD，A1D1的中点，所以，故四边形是平行四边形，进而．
问题2：四边的是平行四边形． 证明：因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，又因为，所以，故四边形是平行四边形，于是． 用同样的方法也可以证明．
问题3：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∠C1E1B1和∠CEB的两边方向相同，结合问题2的探究，可以利用等角定理推出∠C1E1B1=∠CEB．
证明：连结EE1，
因为E，E1分别为棱AD，A1D1的中点，所以，
故四边形是平行四边形，从而．
又因为，所以，故四边形是平行四边形，
于是，同理，． ．
又因为∠C1E1B1与∠CEB两边的方向相同，
所以∠C1E1B1=∠CEB． ．
总结：本题利用等角定理证明两个角相等，通过公理4证明∠C1E1B1和∠CEB的两边分别平行，同时还要强调这两个角的两边方向相同．
4．反馈练习简明答案
（1）平行或异面；（2）相交或异面；（3）40o或140o；
（4）证明：因为，所以四边形为平行四边形，
从而，同理，，
因为,，所以，
所以四边形为平行四边形，从而，
所以△ABC≌△A1B1C1．
三、效果检测简明答案
1．教材第25页练习第1题：C；第2题：相等或互补；
2．教材习题1．2（1）第9题；


3．如图，E、F、G、H是平面四边形ABCD四边中点，四边形EFGH是平行四边形；如果将ABCD沿着对角线BD折起就形成空间四边形ABCD，那么四边形EFGH仍然是平行四边形．