本章优化总结
[学生用书P69]
[循网忆知 速填速校]
提示：将以下备选答案前的字母填入左侧正确的位置．
A. B．
C. D．ωr
E．mω2r F．ω2r
答案：B D C E A F
圆周运动中的临界问题[学生用书P70]
1．水平面内的圆周运动的临界问题
(1)与摩擦力有关的临界问题
①物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有f＝，静摩擦力的方向一定指向圆心．
②如果除摩擦力外还有其他力，如绳两端连接物体，其中一个物体竖直悬挂，另外一个物体在水平面内做匀速圆周运动，此时存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向分别为沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．
(2)与弹力有关的临界问题：压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零．绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等．
(3)解决圆周运动临界问题的一般思路
①要考虑达到临界条件时物体所处的状态．
②分析该状态下物体的受力特点．
③结合圆周运动知识，列出相应的动力学方程分析求解．
2．竖直平面内的临界问题：物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，常分为两种模型——“轻绳模型”和“轻杆模型”．
如图所示，细绳一端系着质量M＝8 kg的物体，静止在水平桌面上，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝2 kg的物体，M与圆孔的距离r＝0.5 m，已知M与桌面间的动摩擦因数为0.2(设物体受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，现使物体M随转台绕中心轴转动，问转台角速度ω在什么范围时m会处于静止状态？(g取10 m/s2)
[解析] 设角速度的最小值为ω1，此时M有向着圆心运动的趋势，其受到的最大静摩擦力沿半径向外，由牛顿第二定律得：FT－μMg＝Mωr，
设角速度的最大值为ω2，此时M有背离圆心运动的趋势，其受到的最大静摩擦力沿半径指向圆心，由牛顿第二定律得：FT＋μMg＝Mωr，
要使m静止，应有FT＝mg，
联立得ω1＝1 rad/s，ω2＝3 rad/s
则1 rad/s≤ω≤3 rad/s.
[答案] 1 rad/s≤ω≤3 rad/s
如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是( )
A．过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B．人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力
C．人在最低点时对座位的压力等于mg
D．人在最低点时对座位的压力大于mg
[解析] 人过最高点时，N＋mg＝m，当v≥时，不用保险带，人也不会掉下来，当v＝时，人在最高点时对座位产生的压力为mg，A、B均错误；人在最低点具有竖直向上的加速度，处于超重状态，故人此时对座位的压力大于mg，C错误，D正确．
[答案] D
如图甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为N，小球在最高点的速度大小为v，N－v2图像如图乙所示．下列说法正确的是( )
A．当地的重力加速度大小为
B．小球的质量为R
C．v2＝c时，杆对小球弹力方向向上
D．若c＝2b，则杆对小球弹力大小为2a
解析：选B.通过图像乙分析可知：当v2＝b，N＝0时，小球做圆周运动的向心力由重力提供，即mg＝m，g＝，A错误；当v2＝0，N＝a时，重力等于弹力N，即mg＝a，所以m＝＝R，B正确；v2＞b时，杆对小球的弹力方向与小球重力方向相同，竖直向下，故v2＝c时，杆对小球弹力的方向竖直向下，C错误；v2＝c＝2b时，mg＋N＝m，解得N＝mg＝a，D错误．
平抛运动与圆周运动相结合问题的求解[学生用书P70]
平抛运动与圆周运动的组合题，用平抛运动的规律求解平抛运动问题，用牛顿运动定律求解圆周运动问题，关键是找到两者的速度关系．若先做圆周运动后做平抛运动，则圆周运动的末速度等于平抛运动的水平初速度；若物体平抛后进入圆轨道，圆周运动的初速度等于平抛末速度在圆切线方向的分速度．
小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图所示．已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力．
(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2.
(2)问绳能承受的最大拉力为多大？
(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？
[解析] (1)设绳断后小球飞行的时间为t，落地时小球的竖直分速度为v′2，根据平抛运动的规律有
水平方向：d＝v1t
竖直方向：d＝gt2，v′2＝gt
解得v1＝，v′2＝
所以小球落地时的速度大小为
v2＝＝ .
(2)设绳能承受的最大拉力大小为T，这也是小球受到绳的最大拉力大小．小球做圆周运动的半径为R＝d
根据牛顿第二定律有T－mg＝m，解得T＝mg.
(3)设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳能承受的最大拉力不变，则有T－mg＝m，解得v3＝
绳断后小球做平抛运动，竖直方向的位移为(d－l)，设水平方向的位移为x，飞行时间为t1，则有
d－l＝gt，x＝v3t1，解得x＝4
当l＝时，x有最大值，此时xmax＝d.
[答案] (1) (2)mg
(3) d
如图所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．现测得转台半径R＝0.5 m，离水平地面的高度H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4 m．设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)物块做平抛运动的初速度大小v0；
(2)物块与转台间的动摩擦因数μ.
解析：(1)物块做平抛运动，在竖直方向上有
H＝gt2①
在水平方向上有
s＝v0t②
由①②式解得v0＝s ＝1 m/s.③
(2)物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有
fm＝m④
fm＝μN＝μmg⑤
由③④⑤式解得μ＝＝0.2.
答案：(1)1 m/s (2)0.2
[学生用书P71]
(14分)如图所示，有一长为L的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动．已知水平地面上的C点位于O点正下方，且到O点的距离为1.9L.不计空气阻力．
(1)求小球通过最高点A时的速度vA；
(2)若小球通过最低点B时，细线对小球的拉力FT恰好为小球重力的6倍，且小球经过B点的瞬间让细线断裂，求小球落地点到C点的距离．
[解析] (1)小球恰好能做完整的圆周运动，则小球通过A点时细线的拉力刚好为零，根据向心力公式有：
mg＝m(2分)
解得：vA＝.(2分)
(2)小球在B点时根据牛顿第二定律有：
FT－mg＝m(2分)
其中FT＝6mg，解得小球在B点的速度大小为
vB＝(2分)
细线断裂后，小球从B点开始做平抛运动，则由平抛运动的规律得：
竖直方向上：1.9L－L＝gt2(2分)
水平方向上：x＝vBt(2分)
解得：x＝3L(2分)
即小球落地点到C点的距离为3L.
[答案] (1) (2)3L
课件27张PPT。第3章 圆周运动本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放章末过关检测(三)[学生用书P119(单独成册)]
(时间：60分钟 分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确)
1．(2019·山东邹城月考)下列关于向心力和向心加速度的说法中正确的是( )
A．做匀速圆周运动的物体其向心力是恒定不变的
B．向心力不改变做圆周运动物体的线速度的大小
C．做圆周运动的物体所受各力的合力一定是向心力
D．向心加速度时刻指向圆心，方向不变
解析：选B.做匀速圆周运动的物体，其向心力方向始终指向圆心，方向一直在改变，故A错误；因为向心力始终指向圆心，与线速度垂直，所以向心力不改变做圆周运动物体的线速度的大小，故B正确；如果物体做变速圆周运动，则物体所受各力的合力并不指向圆心，因为合力的一个分力提供向心力，另一个分力沿切线改变速度大小，故C错误；向心加速度时刻指向圆心，方向时刻改变，故D错误．
2．(2019·河南信阳期中)关于向心力的说法中正确的是( )
A．物体由于做圆周运动而产生了一个指向圆心的力就是向心力
B．向心力能改变做圆周运动物体的速度大小
C．做匀速圆周运动的物体，其向心力是不变的
D．做匀速圆周运动的物体，其所受外力的合力的方向一定指向圆心
解析：选D.物体做圆周运动就需要有向心力，而向心力是由外界提供的，不是物体本身产生的，故A错误；向心力的方向总是与速度方向垂直，不做功，不能改变速度的大小，只改变速度的方向，故B错误；做匀速圆周运动物体的向心力始终指向圆心，方向时刻在改变，则向心力是变化的，故C错误；做匀速圆周运动的物体的合力一定指向圆心，故D正确．
3．(2019·江苏丹阳模拟)一越野骑手(可视作质点)以匀速率沿陡峭的山坡在竖直面内骑行，其轨迹如图所示．从图中可以看出，其在a、b、c、d 四点处加速度最大的点是( )
A．a B．b
C．c D．d
解析：选C.由图知c处曲率半径最小，质点的速率不变，由公式a＝，可知c点的加速度最大，故选C.
4.(2019·四川遂宁期末)鹰在高空中盘旋时，垂直于翼面的升力和其重力的合力提供向心力，如图所示．当翼面与水平面成θ角并以速率v匀速水平盘旋时的半径为( )
A．R＝ B．R＝
C．R＝ D．R＝
解析：选B.鹰在高空中盘旋时，对其受力分析，如图：
根据翼面的升力和其重力的合力提供向心力，得：mgtan θ＝m，化简得：R＝，故B正确．
5.如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2.则ω的最大值是( )
A. rad/s B． rad/s
C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s
解析：选C.当小物体转动到最低点时为临界点，由牛顿第二定律知，μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2r，解得ω＝1.0 rad/s，故选项C正确．
6．杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个总质量为m＝0.5 kg 的盛水容器，以绳的一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，若“水流星”通过最高点的速度为v＝4 m/s，则下列说法正确的是(g取10 m/s2)( )
A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底受到的压力均为零
C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
解析：选B.当绳的张力恰好为零时，对水和容器整体，根据牛顿第二定律：mg＝m，
解得：v＝＝ m/s＝4 m/s.
可知，“水流星”通过最高点的速度最小速度为4 m/s，绳的张力为零，此时整体的加速度为a＝g，所以水对桶底压力为零，水不会从容器中流出，故A、D错误，B正确．“水流星”通过最高点时，仅受重力，重力恰好完全提供向心力，处于完全失重状态，故C错误．
二、多项选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全选对的得6分，选对但不全的得3分，有错选或不答的得0分)
7.(2019·北交大附中期末)如图所示，一辆可视为质点的汽车以恒定的速率驶过竖直面内的凸形桥．已知凸形桥面是圆弧形柱面，则下列说法中正确的是( )
A．汽车在凸形桥上行驶的过程中，其所受合力始终为零
B．汽车在凸形桥上行驶的过程中，其始终处于失重状态
C．汽车从桥底行驶到桥顶的过程中，其角速度恒定
D．汽车从桥底行驶到桥顶的过程中，其加速度不变
解析：选BC.汽车在凸形桥上行驶的过程中因为做匀速圆周运动，汽车的合力始终不为零；汽车的向心加速度有竖直向下的加速度分量，所以处于失重状态，故A错误，B正确；汽车从桥底行驶到桥顶的过程中，因速率恒定，做匀速圆周运动，故角速度不变，加速度大小不变，方向一直在改变，故C正确，D错误．
8．(2019·广东佛山期末)如图四幅图为生活中与向心力知识相关的情景，下列有关说法正确的是( )
A．图甲为火车转弯的轨道，内低外高以防止脱轨
B．图乙为小车过拱桥的情景，此过程小车处于失重状态
C．图丙为“旋转秋千”，人与座椅整体受到重力、绳子拉力和向心力
D．图丁为汽车在凹凸不平的地面上行驶，应快速通过此路面
解析：选AB.火车轨道弯道处设计成外高内低，让火车的重力和支持力的合力提供圆周运动所需的向心力，防止脱轨，故选项A正确；汽车过拱形桥时，受到的重力和支持力的合力提供向心力，加速度向下，处于失重状态，故选项B正确；向心力属于效果力，不是性质力，由其他力提供，故选项C不正确；汽车在凹凸不平的地面上行驶时，速度越大，对地面的压力越大，根据牛顿第三定律可知，地面对轮胎的支持力越大，易爆胎，故选项D不正确．
9．(2019·清华附中期末)小桶中盛满水，用绳系着，然后让其在竖直平面内做圆周运动．要使小桶运动到轨迹最高点(桶口朝下)时，水不会从桶中流出，若小桶运动的轨道半径为R，则小桶到最高点时( )
A．速度不小于
B．角速度不小于
C．向心加速度不小于g
D．绳对小桶的拉力不小于小桶的重力
解析：选ABC.小桶运动到轨迹最高点时，水不会从桶中流出的临界条件是重力提供向心力，根据mg＝m 可知，最小速度vmin＝ ；根据v＝ωR 可知，最小角速度ωmin＝ ，故A、B正确；根据分析可知，F≥mg，所以向心加速度不小于g，故C正确；绳对小桶的拉力最小可以为零，故D错误．
10.如图，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
解析：选AC.小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f＝mω2R.当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：fa＝mωl，当fa＝kmg时，kmg＝mωl，ωa＝；对木块b：fb＝mω·2l，当fb＝kmg时，kmg＝mω·2l，ωb＝，所以b先达到最大静摩擦力，选项A正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则fa＝mω2l，fb＝mω2·2l，fa三、非选择题(本题共3小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位)
11.(12分)(2019·山东邹城月考)如图所示，同学们分小组探究影响向心力大小的因素．同学们用细绳系一个小沙袋在空气中甩动，使小沙袋在水平面内做圆周运动，来感受向心力．
(1)下列说法中正确的是________．
A．保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变
B．保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大
C．保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D．保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大
(2)如图，绳上离小沙袋重心40 cm处打一个绳结A, 80 cm 处打一个绳结B，学习小组中一位同学用手表计时，另一位同学操作，其余同学记录实验数据：
操作一：手握绳结A，使小沙袋在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小．
操作二：手握绳结B，使小沙袋在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小．
操作三：手握绳结A，使小沙袋在水平方向每秒运动2周，体会向心力的大小．
操作四：手握绳结A，再向小沙袋中添加少量沙子，使小沙袋在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小．
操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动________有关；
操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与________有关；
操作四与一相比较：角速度、半径相同，向心力大小与________有关．
解析：(1)由题意，根据向心力公式F＝mω2r与牛顿第二定律，则有T拉＝mω2r；保持质量、绳长不变，增大转速，ω＝2πn，角速度变大，根据公式可知，绳对手的拉力将增大，故A错误，B正确；保持质量、角速度不变，增大绳长，据公式可知，绳对手的拉力将变大，故C错误，D正确．
(2)本实验采取的方法是控制变量法．操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关；操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度的大小有关；操作四与一相比较：角速度、半径相同，向心力大小与质量有关．
答案：(1)BD (2)半径大小 角速度的大小 质量
12.
(14分)(2019·北京海淀区期末)一根长40 cm的轻杆，一端固定于O点，另一端拴着一个质量为2 kg的小球，绕O点在竖直面内运动，在最高点时，求：(取g＝10 m/s2)
(1)当杆对小球施加拉力的大小为25 N时，小球的速度大小；
(2)当小球的速度大小为1 m/s时，杆对小球的作用力．
解析：(1)小球通过最高点时由拉力和小球的重力提供向心力， 则有：F＋mg＝m
代入数据解得：v＝3 m/s.
(2)当小球速度大小为1 m/s，设此时杆与球的作用力为N，则有：
N＋mg＝m代入数据解得：N＝－15 N，负号表示杆对球的作用力方向与重力方向相反，即杆对球的作用力为支持力，方向竖直向上．
答案：(1)3 m/s (2)15 N，方向竖直向上
13.(14分)如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置．两个质量均为m的小球a、b以不同的速度进入管内，a通过最高点A时，对管壁上部的压力为3mg，b通过最高点A时，对管壁下部的压力为0.75mg，求a、b两球落地点间的距离．
解析：两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力提供向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，a、b两球落地点间的距离等于它们做平抛运动的水平位移之差．
对a球：3mg＋mg＝m，得va＝
对b球：mg－0.75mg＝m，得vb＝
由平抛运动规律可得t＝
落地时它们的水平位移为
sa＝vat＝va＝4R，sb＝vbt＝vb＝R
故a、b两球落地点间的距离为sa－sb＝3R.
答案：3R
