人教版九年级数学上册 第23章 旋转数学活动综合专题讲义学案（无答案）

第6讲 旋转综合(二)

知识目标：
目标一：掌握等腰直角三角形———90°手拉手
目标二：掌握等腰直角三角形———45°脚拉脚(逆序)
目标三：掌握等腰直角三角形———45°脚拉脚(顺序)

模块一 旋转三大模型
模型一 等腰直角三角形———90°手拉手

△ABC和△DBE为等腰三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°

例1．(1)如图，已知△ABC为等腰直角三角形，DE∥BC，F、G、H三点分别为BE、CD、DE的中点，试求∠HFG的度数．






(2)若将(1)中的△ADE绕A点顺时针旋转一个度数，如图所示，其它条件不变，问∠HFG的度数是否变化？





【练】已知△ABC与△ADE为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，F、G、H三点分别为BD、CE、BC的中点，求证：HG＝HF，HG⊥HF．


例2．(1)已知△ABC与△CDE为等腰直角三角形，∠ACB＝∠CDE＝90°，M是BE的中点，点D在线段CB上，探索：DM与AE的关系？


(2)若将△CDE绕C点逆时针旋转到如图所示的位置，其它条件不变，(1)中的结论是否发生改变，证明你的结论．


(3)若将△CDE绕C点顺时针旋转到如图所示的位置，其它条件不变，(1)中的结论是否发生改变，证明你的结论．

【练】(1)已知△ABC与△BEF为等腰直角三角形，∠ABC＝∠BEF＝90°，M是AF的中点，探索：CF与ME的关系？
(2)若将△BEF绕B点逆时针旋转到如图所示的位置，其它条件不变，(1)中的结论是否发生改变，证明你的结论．
(3)若将△BEF绕B点顺时针旋转到如图所示的位置，其它条件不变，(1)中的结论是否发生改变，证明你的结论．































模型二 等腰直角三角形———45°脚拉脚(逆序)

△ABC和△CDE为等腰直角三角形，∠A＝∠D＝90°

例3．如图，已知A是直线DE上一点，以AD、AE为边分别构造等腰Rt△ABD，等腰Rt△ACE，∠ADB＝∠AEC＝90°，F为BC的中点．
(1)求证：FD＝FE，FD⊥FE．

(2)若将△ADB绕A点逆时针旋转到如图所示的位置，其它条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？

(3)若将△ADB绕A点顺时针旋转到如图所示的位置，其它条件不变，(1)中的结论是否发生改变，证明你的结论．

(4)若将(3)中的△ADB继续绕A点顺时针旋转到如图所示的位置，其它条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？证明你的结论．

例4．已知△ABC中，AB＝AC，N为BC的中点，△DBE中，DB＝DE，M为BE的中点，∠ABC＝∠DBE＝a，连AD，P为AD的中点，连PM、PN．
(1)如图1，当BE与BA重合时，PM和PN有什么数量关系？先回答，并加以证明．





(2)如图2，若将图1中的△BDE绕B点逆时针旋转(0＜＜a)，其它条件不变，问(1)中的结论是否仍然成立？先回答，再说明理由．






【练】已知△ABC，以AB、AC为腰向△ABC外作等腰△ABE和等腰△ACF，∠ABE＝∠ACF，G为BC的中点，M、N分别为底边AE、底边AF的中点，求证：GM＝GN．







模型三 等腰直角三角形———45°脚拉脚(顺序)

△ABC和△CDE为等腰直角三角形，∠A＝∠D＝90°

例5．(1)已知△ABC与△ADE为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，直线BD与直线CE交于点F，求∠F的度数，以及BD和CE的数量关系．





(2)若将(1)中的△ADE绕A点逆时针旋转到如图所示的位置，其它条件不变，求∠F的度数，以及BD和CE的数量关系．







(3)若将(1)中的△ADE绕A点逆时针旋转到如图所示的位置，其它条件不变，求∠BFC的度数，以及BD和CE的数量关系．




(4)若将(1)中的△ADE绕A点逆时针旋转到如图所示的位置，其它条件不变，求∠BFC的度数，以及BD和CE的数量关系．




(5)若将(1)中的△ADE绕A点逆时针旋转到如图所示的位置，其它条件不变，求∠BFC的度数，以及BD和CE的数量关系．




模块二 旋转综合运用
例6．如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝，P为AC边上一动点，PC＝t，以点P为中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△DEF，DE交AC于点G．
(1)用含t的式子填空：DP＝ ，AG＝ ．
(2)如图2，当点F在AB上时，求证：PG＝PC．
(3)如图2，当点P为DP的中点时，求AG:PG的值．


图1 图2 图3




























例7．在△ABC和△CDE中，AB＝AC，CE＝DE，∠BAC＝∠CED＝90°．
(1)如图1，N为BD的中点，连接AN、EN．求证：①AN＝EN．②AN⊥EN．
(2)如图2，M为CD的中点，连接AM、BE交于点F．求证：①BE＝AM．②∠MFE＝45°．
(3)如图3，在(2)的条件下，连接DF，猜想DF、EF、MF之间的数量关系，并证明你的结论．

图1 图2 图3

































第6讲 旋转综合(二)课后作业
1．如图，△ACB、△AED都为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，点D在AB上，连CE，M、N分别为BD、CE的中点．
(1)如图1，当点D在线段AB上时，求证：MN⊥CE；
(2)如图2，将(1)中的△AED绕A点逆时针旋转30°，求证：CE＝2MN；
(3)当△AED绕A点逆时针旋转过程中，试判断是否为定值，若为定值，求出此值，若不是，求出变化范围．

图1 图2




























2．
(1)如图1，∠BAC＝∠BEC＝90，且BE＝CE，求证：AE平分∠BAC；
(2)如图2，四边形ABCD为菱形，E、F分别在对角线AC、边AB的延长线上，试探究：当∠BAD与∠DFE满足什么关系时，使得DF＝EF成立？并证明你的结论；
(3)在(1)的条件下，若AE＝4，请求出线段BE的取值范围．

图1 图2