9.4.2矩形、菱形、正方形
1、教学目标
1．理解矩形的判定定理并会用矩形的判定定理证明一个四边形（平行四边形）是矩形．
2．了解两条平行线之间的距离的意义，并会求两条平行线之间的距离．
3． 会有条理的思考与表达，并逐步学会分析与综合的思考方法．
2.教学重点
重点：会用矩形的判定定理证明一个四边形（平行四边形）是矩形．
3、教学难点
难点：综合运用矩形的性质定理与判定定理进行计算与证明．
4、教学过程：
1）课堂导入
1．有一个角是的平行四边形是矩形；对角线相等的＿＿＿＿是矩形；
2. 矩形具有而一般平行四边形不具有的特征是（ ）A、对角相等；B、对边相等；C、对角线相等；D、对角线互相平分；
3.已知如图，四边形ABCD中，GM、GN、HM、HN、分别平分∠AGH、∠BGH、∠CHG、∠DHG，试判断四边形GMHN的形状，并说明你的理由
2）重点讲解
活动1
（1）矩形的四个角都是直角，反过来，四个角（或三个角）都是直角的四边形是矩形吗？如果是，请给出证明．
已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°
求证：四边形ABCD是矩形。
证明：∵ ∠A=∠B=90°
∴ ∠A+∠B=180°
∴AD∥BC
同理可证：AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵ ∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形
（2）当一个平行四边形框架扭动成矩形时，它的两条对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？如果是， 请给出证明．
已知：平行四边形ABCD，AC=BD。
求证：四边形ABCD是矩形。
证明: ∵ AB=CD, BC=BC, AC=BD
∴ △ABC≌ △DCB（SSS）
∴∠ABC=∠DCB
∵ AB//CD
∴ ∠ABC+∠DCB=180°
∴ ∠ABC=∠DCB=90°
又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形
归纳矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形 。
3）问题探究
例 1．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形．
证明：
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴DC= AB=DA=DB
∵ DC=DA，DF平分∠ADC，
∴DF⊥AC
即∠DFC=90°
同理∠DEC=90 °
∴四边形DECF是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）
4）难点剖析
例2．如图，直线∥，A、C是直线上任意两点，AB⊥，CD⊥，垂足分别为B、D．线段AB、CD相等吗？为什么？
解：由AB⊥l2 ，CD⊥ l2 ，
可知AB ∥ CD．
又因为l1∥l2 ，
所以四边形ABCD是矩形，
AB=CD．
两条平行线之间的距离处处相等．
5）训练提升
1．下列说法中，正确的是 ( )
A．有1个角是直角的四边形是矩形 B．2条对角线相等的四边形是矩形．
C．2条对角线互相垂直的四边形是矩形 D．有3个角是直角的四边形是矩形
2．下列关于矩形的说法中正确的是 ( )
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分
3．如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可判断了．
(1)当AC_______（填“等于”或“不等于”）BD时，门框符合要求；
(2)这种做法的根据是___________________________________．
4．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝D C．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是_______（填上你认为正确的一个答案即可）．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，则四边形ADCE的形状是_______．
6．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．
(1)四边形EFGH是矩形吗？请证明你的结论；
(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2 cm，求矩形ABCD的面积．
7．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是 ( )
A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD
8．下列说法正确的是 ( )
A．两个角为直角的四边形是矩形
B．有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形
C．一组对边平行，一个角是直角的四边形是矩形
D．两条对角线垂直且相等的四边形是矩形
9．□ABCD中，AC交BD于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A．AB＝AD B．OA＝OB C．AC＝BD D．DC⊥BC
10．如图所示，已知□ABCD，下列条件：①AC＝BD．②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明□ABCD是矩形的有_______（填写序号）．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE、BF．当∠ACB为_______度时，四边形ABFE为矩形．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E．求证：四边形ADCE为矩形．
13．如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．
(1)求证：△ABF≌△ECF．
(2)若∠AFC＝2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．
参考答案
1．D 2．D 3．(1)等于 (2)对角线相等的平行四边形是矩形 4．∠A＝90° 5．矩形 6．(1)四边形EFGH是矩形．(2)16(cm2)
7．B 8．B 9．A 10．①④ 11．60 12．略 13．略
5、板书设计：
9.4.2矩形、菱形、正方形
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结
（二）探索新知 例1、例2
（四）课堂练习 练习设计
6、教学反思：
A
D
B
C
l2
l1(共19张PPT)
>> 课程名称
9.4.2矩形、菱形、正方形
一个角是直角
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形
平行四边形
矩形的 两条对角线相等且互相平分
矩形的对边平行且相等
矩形的四个角都是直角
边
对角线
角
矩形的定义
矩形的性质
>> 情景导入
对称性
边
角
对角线
既是轴对称图形，又是中心对
称图形．
对边平行且相等.
四个角都是直角.
对角线互相平分且相等.
矩形的性质
>> 要点学习
一天,小丽和吴娟到一个商店准备给今天要过生日的肖华买生日礼物,选了半天,她们俩最后决定买相框送给她,在里面摆放她们三个好朋友的相片,为了保证相框摆放的美观性,她们选择了矩形的相框,那么她们是用什么方法可以知道她们拿的就是矩形相框呢
思考与探究
>> 问题探究
小丽和吴娟是怎样知道所买的相框是矩形的呢
请你思考
通过测量四个角是直角
>> 问题探究
猜想加证明
有三个角是直角的四边形是矩形吗
已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
证明:
∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
求证:四边形ABCD是矩形.
∴四边形ABCD是平行四边形.
D
B
C
A
∴四边形ABCD是矩形.
>> 问题探究
矩形判定1：有三个角是直角的四边形是矩形
∠A= ∠B= ∠C=90°
四边形ABCD
是矩形
D
B
C
A
>> 问题探究
除度量角度之外,她们需要度量什么也能知道做好的相框是矩形呢
能证明它的正确性吗
>> 问题探究
活动一:
>> 问题探究
证明：
在
ABCD中
AB=DC,BD=CA,AD=DA
∴△BAD≌△CDA(SSS)
∴∠BAD=∠CDA
∵AB∥CD
∴∠BAD +∠CDA=180°
∴∠BAD＝90°
∴四边形ABCD是矩形（有一个内角是直角的平行四边形是矩形）
对角线相等的平行四边形是矩形吗？
猜想加证明
四边形ABCD是平行四边形,AC=BD
四边形ABCD是矩形
已知:
求证:
>> 问题探究
矩形判定2：对角线相等的平行四边形是矩形
ABCD
AC = BD
ABCD
是矩形
推论:对角线互相平分且相等的四边形是矩形
四边形ABCD
是矩形
>> 问题探究
1、为了庆祝十一国庆节，八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛。计划用“一串红”摆成两条对角线。如果一条对角线用了37盆“一串红”，还 需要从花房运来多少盆“一串红”？为什么？如果一条对角线用了48盆呢？为什么？
活动二:
>> 问题探究
例 1 已知：如图．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，求证四边形EFGH是矩形．
证明：
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD（矩形的对角线相等)
AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分）
∵ E、F、G、H分别是AO、BO、
CO、DO的中点
∴OE=OF=OG=OH
∴四边形EFGH是平行四边形（对角
线互相平分的四边形是平行四边形）
∵EO+OG=FO+OH
即EG=FH
∴四边形EFGH是矩形（对角线相等的
平行四边形是矩形）。
>> 难点剖析
已知：如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G 、 H分别是AO 、BO 、 CO 、 DO上的一点 ,且AE=BF=CG=DH.
求证:四边形EFGH是矩形
变式一:
B
C
D
E
F
G
H
O
A
>> 难点剖析
（1）矩形具有而平行四边形不具有的性质（ ）
（A）内角和是360度（B）对角相等（C）对边平行且相等（D）对角线相等
（2）下面性质中，矩形不一定具有的是（ ）
（A）对角线相等（B）四个角相等（C）是轴对称图形（D）对角线垂直
D
D
一.选择题
>> 随堂巩固训练
二.判断题
对角线相等的四边形是矩形。
对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
有一个角是直角的四边形是矩形。
四个角都是直角的四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。
>> 随堂巩固训练
如图，将□ABCD的边DC延长到点E，
使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
(1)四边形ABEC是平行四边形吗？为什么？
(2)请添加一个条件，使四边形ABEC是矩形．
(3)小明添加的条件是∠AFC=2∠D，他的
做法正确吗？说明理由.
>> 知识拓展
∠A= ∠B= ∠C=90°
ABCD
AC = BD
ABCD
是矩形
四边形ABCD
是矩形
>> 知识小结概括
任意一个四边形，
三角直角定矩形。
对于平行四边形，
一个直角即可定；
对线相等也矩形。
矩形的判定口诀：
>> 知识导图9.4.2矩形、菱形、正方形
1、基础夯实
单项选择题：
1．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB=CD，AD=BC，AC=BD
B．AO=CO，BO=DO，∠A=90°
C．∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BD
D．∠A=∠B=90°，AC=BD
【答案】C
【解析】∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，∴A正确；
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形，∴B正确；
∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥DC，
∵∠A=∠C，
∴∠B+∠A=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，∴C不正确；
∵∠A=∠B=90°，
∴∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC，如图所示：
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AC＝BD；AB＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形，∴D正确；
故选：C。
2．检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（ ）
A．测量两条对角线，是否相等
B．测量两条对角线，是否互相平分
C．测量门框的三个角，是否都是直角
D．测量两条对角线，是否互相垂直
【答案】C
【解析】根据“三个角是直角的四边形是矩形”可以得到测量门框的三个角，是否都是直角即可检验该四边形是不是矩形。
故选C。
3．在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．如果再增加条件AC=BD，此四边形一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．都有可能
【答案】B
【解析】∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形。
故选：B。
4．有下列说法：①四个角都相等的四边形是矩形；②有一组对边平行，有两个角为直角的四边形是矩形；③两组对边分别相等且有一个角为直角的四边形是矩形；④对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形；⑤对角线互相平分且相等的四边形是矩形；⑥一组对边平行，另一组对边相等且有一角为直角的四边形是矩形．其中，正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】
如图1，∠A=∠B=∠C=∠D=360°÷4=90°，∴①正确；
如图1AD∥BC，∠A=∠B=90°，不能推出∠C和∠D也是90°，如直角梯形，∴②错误；
∵AD=BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，∴③正确；
根据对角线相等和有一个角是直角不能推出四边形是平行四边形，即不是矩形，∴④错误；
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，∴⑤正确；
∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=90°，
即AB是两平行线AD和BC间的高，
∵CD=AB，
∴CD应也是AD和BC间的高，
∴CD⊥BC，
根据矩形的定义得出四边形是矩形，∴⑥正确；
∴正确的个数是4个，
故选C。
5．已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对）
【答案】A
【解析】由甲同学的作业可知，CD=AB，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴□ABCD是矩形．
所以甲的作业正确；
由乙同学的作业可知，CM=AM，MD=MB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴□ABCD是矩形。
所以乙的作业正确；
故选A。
6. 已知：如图，□ABCD的四个内角的角平分线分别交于E,F,G,H.试说明四边形EFGH的形状是（ ）.
A.平行四边形 B.矩形 C.任意四边形 D.不能判断其形状
答案：B
分析：可利用角的变化来证明所形成的图形形状。
解:证明:设∠A的角平分线为AE ∠D的角平分线为DE ∵∠A+∠D=180°∴∠DAE+∠ADE=90°∴∠AED=90°即AE⊥DE垂足为E 同理可证明 ∠B ∠C的角平分线BG CG也互相垂直 在四边形EFGH中，两个内角都为90° ∴四边形EFGH是矩形
7. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是( )
A.①②③ B.②③④ C.②⑤⑥ D.④⑤⑥
答案：C
分析：经过分析，习题“已知：四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列5个条件：①AB∥DC；②OA=OC；③AB=DC；④∠BAD=∠DCB；⑤AD∥BC．（1）从以上5个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD是平...”主要考察你对“平行四边形的判定” 等考点的理解。
解：（1）①与②：∵AB∥CD，OA=OC
∴△AOB≌△COD
故AB=CD，四边形ABCD为平行四边形．
11 与③（根据一组对边平行且相等）
11 与④：∵∠BAD=∠DCB
21 ∴AD∥BC
又AB∥DC
根据两组对边分别平行可推出四边形ABCD为平行四边形．
②与⑤：∵AD∥BC
OA=O
∴△AOD≌△COB
故AD=BC，四边形ABCD为平行四边形．
④与⑤：根据两组对边分别平行可推出四边形ABCD为平行四边形；
（2）③与⑤不能推出四边形ABCD是平行四边形，反例：等腰梯形．故选C.
8. 在□ABCD中，AC交BD于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的条件是( )
A.AB=AD B.OA=OB C.AC=BD D.DC⊥BC
答案：A
分析： ABCD中，AC交BD于点O，再添加一个条件，...”；主要考察你对 平行四边形性质等知识点的理解。
解：根据矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形）可得
DC⊥BC可证四边形ABCD是矩形．故D不正确．
矩形的对角线相等且相互平分，OA=OB，AC=BD可证四边形ABCD为矩形，故B不正确，C不正确．AB=AD时，可证四边形ABCD为菱形，不能证四边形ABCD为矩形．故A正确．
故选A．
9. 如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )
A.AB∥DC B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB=DC
答案：C
分析：根据矩形的判定定理（有一个角为直角的平行四边形是矩形）．先证四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，需要∠EFG=90度．由此推出AC⊥BD．
解：依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，
连接AC、BD，故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，
所以四边形EFGH是平行四边形，
要使四边形EFGH为矩形，
根据矩形的判定（有一个角为直角的平行四边形是矩形）
故当AC⊥BD时，∠EFG=∠EHG=90度．四边形EFGH为矩形．故选C．
10. 如图△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是( )
A.2 B.3 C.4 D.4
答案：A
分析：因为DE是AC的垂直的平分线，所以D是AC的中点，F是AB的中点，所以DF∥BC，所以∠C=90°，所以四边形BCDE是矩形，因为∠A=30°，∠C=90°，BC=2，能求出AB的长，根据勾股定理求出AC的长，从而求出DC的长，从而求出面积．
解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，
∴DF∥BC，
∴∠C=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，
∴AB=4，
∴AC==2．
∴BE=CD=．
∴四边形BCDE的面积为：2×=2．
故选A．
2、能力提升
非选择题（共5道）
1．已知，平行四边形ABCD中，AB=5，AD=12，BD=13．求证：平行四边形ABCD是矩形。
【答案】∵AB=5，AD=12，BD=13．
∴AB2+AD2=BD2，
∴∠BAD=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形；
2．如图所示，在□ABCD中，E为AD的中点，△CBE是等边三角形，求证：□ABCD是矩形。
【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，AB=DC，
∴∠D+∠A=180°，
∵E是AD边的中点，
∴AE=DE，
∵△CBE是等边三角形，
∴BE=CE，
在△ABE和△DCE中，
AB＝DC ；AE＝DE ；BE＝CE，
∴△ABE≌△DCE（SSS），
∴∠A=∠D，
∵∠D+∠A=90°，
∴∠D=∠A=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴□ABCD是矩形。
3．已知：在△ABC中，∠A=90°，D，E分别是AB，AC上任意一点，M，N，P，Q分别是DE，BE，BC，CD的中点，求证：四边形PQMN是矩形。
【答案】∵M，N分别是DE，BE的中点，
∴MN是△BDE的中位线，
∴MN∥AB，MN=BD，
同理：PN∥CE，PN=CE，MQ∥CE，MQ=CE，
∴PN=MQ，PN∥MQ，
∴四边形PQMN是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴BA⊥CA，
∵MN∥AB，MQ∥AC，
∴MN⊥MQ，
∴∠NMQ=90°，
∴四边形PQMN是矩形。
4．如图，□ABCD与□ABEF中，BC=BE，∠ABC=∠ABE，求证：四边形EFDC是矩形。
【答案】∵在□ABCD与□ABEF中，AB∥CD，AB=CD，AB∥EF，AB=EF，
∴CD∥EF，CD=EF，
∴四边形EFDC是平行四边形，
∵BC=BE，∠ABC=∠ABE，
∴AB⊥CE，
∴CD⊥CE，
∴∠DCE=90°，
∴四边形EFDC是矩形。
5．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F。
（1）求证：AC=BE；
（2）若∠AFC=2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形。
【答案】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵CE=DC，
∴AB=EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC=BE；
（2）∵AB=EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴FA=FE，FB=FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D，
又∵∠AFC=2∠D，
∴∠AFC=2∠ABC，
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形。
3、个性创新
选答题（共1-3个）
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，点P从A点出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动。
（1）从运动开始，经过多少时间点P、Q、C、D为边得四边形是平行四边形？
（2）从运动开始，经过多少时间点A、B、Q、P为边得四边形是矩形？
【答案】（1）当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，
即24-t=3t，
解得，t=6，
即当t=6s时，四边形PQCD为平行四边形；
（2）根据题意得：AP=tcm，CQ=3tcm，
∵AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，
∴DP=AD-AP=24-t（cm），BQ=26-3t（cm），
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP是矩形，
∴t=26-3t，
解得：t=6.5，
即当t=6.5s时，四边形ABQP是矩形。
4、其他题型（自由添加）9.4.2矩形、菱形、正方形
对矩形判定方法的分析
在讲判定方法时，应着重指出：用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法，其他判定方法都是以“定义”为基础推导出来的．常用的判定方法可以归结为：
在证明完判定定理2后，要着重说明这个定理包括两个条件：（1）是平行四边形；（2）两条对角线相等．为了加深印象，可以举反例，如：两条对角线相等的四边形，是不是矩形？同时和判定定理1进行比较，指出判定定理1的题设中只要求是四边形，而判定定理2中要求是平行四边形．因为由有三个角是直角，可以推出四边形是矩形，而由对角线相等却推不出四边形是矩形，以加深学生的印象．
一个角是直角的平行四边形
对角线相等的平行四边形
·是矩形
有三个角是直角的四边形9.4.2矩形、菱形、正方形
1.学习目标：
1)知识目标
理解矩形的判定条件并且能应用相关定理来证明矩形.
知道解决矩形问题的基本思想是化为三角形问题来解决，掌握数学转化思想
2)能力目标
矩形的判定方法的理解及综合应用
2.学习重难点：
矩形的判定方法的理解及综合应用
3.学习过程
1）自主学习：
1.有3个角是直角的四边形是矩形吗？为什么？
如图，四边形ABCD中∠A=∠B=∠C=90°,四边形ABCD是矩形吗？为什么？
2.对角线相等的平行四边形是矩形吗？为什么？
如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相等，平行四边形ABCD是矩形吗？为什么？
2）即时巩固：
1.观察桌面、黑板面：它们是什么四边形？如何检验它们是矩形？
2.如何检验木工做成的一个平行四边形窗框是否是矩形？说说你的想法与理由.
【大家充分讨论、交流，发表各自的见解.】
3.小结：矩形的判定定理：
（1）
（2）
3）要点理解：
例2 如图，在△ABC中，点D在AB上，且AD=CD=BD，DE、DF分别是∠BDC、∠ADC的平分线。四边形FDEC是矩形吗？为什么？
问题1：这里有几个等腰三角形？它有什么特殊性质？
问题2：由DE、DF分别是∠BDC、∠ADC的平分线,你能想到什么？
变式：如上图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，DE、DF分别垂直平分BC、AC，探索EF与AB之间的数量关系。
4）难点探究：
1．有一个角是 的平行四边形是矩形；有＿＿＿个角是直角的四边形是矩形；对角线 的平行四边形是矩形；对角线＿＿＿＿＿＿＿＿的四边形是矩形.
2．用刻度尺检查一个四边形零件是矩形，你的方法是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
3.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别在OA、OB、OC、OD上，且AE=BF=CG=DH。探索四边形EFGH的形状并说明理由。
5）点评答疑：
如图,四边形ABCD是平行四边形，CA垂直平分BE,试判断四边形EACD的形状，并说明理由。
6）训练提升：
1．下列说法中，正确的是 ( )
A．有1个角是直角的四边形是矩形 B．2条对角线相等的四边形是矩形．
C．2条对角线互相垂直的四边形是矩形 D．有3个角是直角的四边形是矩形
2．下列关于矩形的说法中正确的是 ( )
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分
3．如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可判断了．
(1)当AC_______（填“等于”或“不等于”）BD时，门框符合要求；
(2)这种做法的根据是___________________________________．
4．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝D C．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是_______（填上你认为正确的一个答案即可）．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，则四边形ADCE的形状是_______．
6．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．
(1)四边形EFGH是矩形吗？请证明你的结论；
(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2 cm，求矩形ABCD的面积．
7．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是 ( )
A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD
8．下列说法正确的是 ( )
A．两个角为直角的四边形是矩形
B．有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形
C．一组对边平行，一个角是直角的四边形是矩形
D．两条对角线垂直且相等的四边形是矩形
9．□ABCD中，AC交BD于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A．AB＝AD B．OA＝OB C．AC＝BD D．DC⊥BC
10．如图所示，已知□ABCD，下列条件：①AC＝BD．②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明□ABCD是矩形的有_______（填写序号）．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE、BF．当∠ACB为_______度时，四边形ABFE为矩形．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E．求证：四边形ADCE为矩形．
13．如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．
(1)求证：△ABF≌△ECF．
(2)若∠AFC＝2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．
参考答案
1．D 2．D 3．(1)等于 (2)对角线相等的平行四边形是矩形 4．∠A＝90° 5．矩形 6．(1)四边形EFGH是矩形．(2)16(cm2)
7．B 8．B 9．A 10．①④ 11．60 12．略 13．略
7）课堂小结：
总结本节课知识点：
1．探索矩形的判定定理，并能运用定理解决问题；
2．两条平行线之间的距离处处相等．
