人教版九年级数学中考专题讲义 最值问题学案（无答案）

第5讲 最值问题（一）
知识目标：
目标一 掌握线段条件产生的隐圆问题的解题思路
目标二 掌握角度与线段条件的隐圆问题的解题思路

模块一 线段条件产生的隐圆


若OA=OB=OC，则以O为圆心OA为半径作圆，B、C两点在圆上. 到平面中定点O等于定长r的点A，可看作在以O为圆心半径为r的圆上运动.

题型一 以等长线段构造隐圆
例1
如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB中点，AE=EC，∠BAC=3∠DBC，BD= +，求AB的长度 .



练
已知四边形ABCD中，AB∥ CD，BC=6，AB=AC=AD=5，则BD=





题型二 以定长线段构造隐圆
例2
在坐标系中，点A坐标为（4，0），点B为y轴正半轴上一点，点C是坐标系中一点，且AC=2，则∠BOC度数取值范围 .

练
在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为（0°<<180°），得到△MNC，P，Q分别是AC、MN的中点，AC=2t，连接PQ，则旋转时PQ长度的最大值是
A.t B. t C. t D. 3t

模块二 角度与线段条件中的隐图


BC为定长线段，A为动点，∠BAC=90°时，A可以看作是以BC为直径的圆上的动点. BC为定长线段，A为动点，∠BAC为一定值，则作△ABC的外接圆，A可以看作是上的动点.

题型一 定边对定角
例3
1.在平面直角坐标系中，直线y=-x+6分别与x轴、y轴交于点A、B两点，点P在y轴左边，且∠APB=90，则点P的横坐标a的取值范围是 .

2.如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H ，若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 .


3.如图，线段AB上有一动点M，分别是以AM、BM为边作正方形AMFE、MBCD，正方形AMFE、MBCD的外接圆⊙O、 ⊙O′交于M，N两点，则直线MN的情况是（ ）
A.定直线 B.经过定点 C.一定不过定点 D.以上都有可能


例4
1.如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的面积的最大值是 .




2.如图，△ABC中，BC=4，∠BAC=45°，以为半径，过B、C两点作⊙O，连OA，则线段OA的最大值为 .


练
1.如图，P为正方形ABCD的边CD上任意一点，E为AP上一点，BE=AB，∠CBE的平分线交AP延长线于点Q，若正方形的边长为a，当点P在CD边上由C移动到D时，则点Q到CD的最大距离为 .


2.如图，已知在等边△ABC中，AB=AC=BC=8，点D、E分别是边AC、AB上两点，且AE=CD，BD交CE于F，连接AF，则AF的最小值为 .

例5
1.如图，在弓形BAC中，∠BAC=60°，BC=，若点A在优弧BAC上由点B向点C移动，记△ABC的内心为I，则△ABC内切圆半径的最大值为 .



2.如图在扇形AOB中，OA ⊥OB，D是上一动点，DE⊥OA于E，若OA=，记
△DEO的内心为I，则△DEO内切圆半径的最大值为 .

3.如图，已知△ABC，外心为O，BC=10， ∠BAC=60°，分别以AB，AC为腰向形外作等腰直角三角形△ABD与△ACE，连接BE，CD交于点P，则OP的最小值是 .

题型二 定边对动角
例6
1.已知A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当∠ACB最大时，则点C的坐标为 .

2.如图，在展览大厅中，墙壁上的展品最高处点P距离地面2.5米，最低处点Q距地面2米，观赏者的眼睛（在E点）距离地面1.6米，当视角∠PEQ最大时，站在这个位置的观赏效果最理想，求此时E到墙壁的距离为 米.

3.如图，P为的⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点，若⊙O的半径长为3，OP=，则弦BC的最大值为（ ）
A.2 B.3 C. D.3

第5讲 【课后作业】 最值问题（一）
1.如图，已知矩形ABCG（AB
2.如图，∠XOY=45°，一把直角三角尺ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，其中AB=10，那么点O到AB的距离的最大值为 .

3.如图，正方形ABCD的边长为4，∠AED=45°，P为AB的中点，当点E运动时，求PE的最值.




4.如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE与点F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为 .

5.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=45°，AC=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC、于E、F，连接EF，则线段EF的最小值为 .