(共24张PPT)
1.理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言，利用综合法证明等腰三角形的性质定理.
2.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生初步的演绎逻辑推理的能力.
重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的要求和方法.
难点：明确推理证明的要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等.
对边
对应边
对应角
相等
等角
中线
高线
1.两点确定一条直线；
2.两点之间线段最短；
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
4.两直线被第三条直线所截,如果________相等,那么这两条直线平行，（简述为：________相等，两直线平行）;
5. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
6. ____________对应相等的两个三角形全等; （SAS）
7. ____________对应相等的两个三角形全等; （ASA）
8. _____对应相等的两个三角形全等; （SSS）
基本事实(八条公理）:
同位角
同位角
两边及其夹角
两角及其夹边
三边
你能证明下面的定理吗？
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（AAS）
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（AAS）
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：
在△ABC和△DEF中.
∵ ∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
∴ △ABC≌△DEF.
D
AC＝DF
6
(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?尽可能回忆出来.
(2)你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?
定理: 等腰三角形的两个底角相等. (等边对等角)
已知：如图, 在△ABC中, AB=AC.
求证：∠B=∠C.
证法:作BC边上的中线交BC于D，
∴BD=CD
∵AB=AC，AD=AD
∴ △ABD≌△ACD.
∴ ∠B=∠C
在上面的图形中,线段AD还具有怎样的性质?为什么?由此你能得到什么结论?
推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合. (三线合一)
(1)∵AB=AC,AD⊥BC
∴________________ (三线合一）
(2)∵AB=AC,BD=CD
∴____________________(三线合一）
(3)∵AB=AC, ∠BAD=∠CAD
∴____________________ (三线合一）
BD=CD,∠BAD=∠CAD
AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
AD⊥BC ,BD=CD
D
D
35°
【例1】填空题：
（1）在△ABC中，AB＝AC；若∠A＝40°，则∠B＝ ；（2）在△ABC中，AB＝AC；若∠B＝40°，则∠A＝ ；
（3）若等腰三角形的一个角为70°，则顶角为 ；
（4）若等腰三角形的一个角为90°，则顶角为 ；
（5）若等腰三角形的一个角为100°，则顶角为 .
解析：给出的条件中，若底角、顶角已确定，直接利用三角形内角和定理与等腰三角形的性质求解；若给出的条件中底角、顶角不确定，要分两种情况求解.
70°
100°
90°
40°或70°
100°
【例2】在△ABC中，∠BAD＝30°，AB＝AC，且AD＝AE.求∠EDC的底数.
解析：由AD＝AE，AB＝AC均可推出相等的角，从而转换∠EDC而求之.
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（等边对等角）.又AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED（等边对等角）.
∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，∠AED＝∠C＋∠EDC，
∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝∠B＋∠BAD－（∠C＋∠EDC）＝∠BAD－∠EDC.
∴∠EDC＝12∠BAD＝12×30°＝15°.
【例3】已知AB＝AC，AD＝AE，且B、D、E、C在同一直线上.求证：BD＝EC.
解析：要证BD＝EC，只证△ABD≌△ACE即可.而其中AB＝AC，因此还需找两个相等的角，显然由AB＝AC可推出∠B＝∠C，由AD＝AE，可推出∠ADE＝∠AED，再推出它们的邻补角相等即可.
解：证法一：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（等边对等角）.又AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED（等边对等角），
而∠ADB＋∠ADE＝180°，∠AED＋∠AEC＝180°，∴∠ADB＝∠AEC，
在△ABD和△ACE中，
∵ ∠B＝∠C，∠ADB＝∠AEC，AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD＝EC.
解析：因为△ABC和△ADE有公共顶点，且底边在同一直线上的等腰三角形，所以作△ABC（或△ADE）的高AH可同时平分BC和DE.
解：证法二：
作AH⊥BC于H.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BH＝CH，DH＝EH（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合），
∴BH－DH＝CH－EH，即BD＝EC.
解：证明：在△BAD与△CAD中，
∵ AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD，∴△BAD≌△CAD（SSS），
∴∠BAE＝∠CAE.
∵AB＝AC，
∴AE⊥BC（“三线合一”）.
【例4】如图，AB＝AC，BD＝CD，AD的延长线交BC于点E.求证：AE⊥BC.
解析：考虑到△ABC是等腰三角形，用等腰三角形的性质——等腰三角形的顶角平分线、底边上的高相互重合去证明较方便.
C
C
AD＝BC
证明：∵ OA＝OC，
∠AOB＝∠COD，
OB＝OD，
∴△AOB≌△COD，
∴∠A＝∠C，
∴AB∥CD
｛
证明： ∵BC∥DE，
∴∠ABC＝∠D，
∵AB＝DE，BC＝DB，
∴△ABC≌△EDB，
∴∠A＝∠E
1.全等三角形的判定AAS及应用.
2.全等三角形的性质及应用.
3.等腰三角形的性质及简单应用.
(共23张PPT)
1.探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性.
2.让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生初步的演绎逻辑推理的能力；在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性.
重点：能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论.
难点：用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论.
相等
相等
相等
相等
60°
1.判定两个三角形全等的方法有________________
2.等腰三角形的两个______相等，简述为_________
3.等腰三角形的__________、____________及________互相重合，简述为________
4、如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，AB＝AC，
AD⊥BC, 则∠BAD的度数为________
SAS，ASA，SSS,AAS
底角
等边对等角
顶角的平分线
底边上的中线
底边上的高线
三线合一
55°
在等腰三角形中作出一些线段:两底角的平分线、
两腰上的中线、两腰上的高，你能发现其中一些相等的线段吗?
作图观察,我们可以发现：
等腰三角形两底角的平分线相等；
等腰三角形两腰上的高相等；
等腰三角形两腰上的中线相等．
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的角平分线．
例题.
1.证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.
求证：BD=CE．
简述为：在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的中线．
2.证明: 等腰三角形两腰上的中线相等.
求证：BD=CE．
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的高．
3. 证明: 等腰三角形两腰上的高相等.
求证：BD=CE．
D
5
D
120°
【例1】如图，△ABC中，AD⊥BC于D，若AB＋BD＝CD.求证：∠B＝2∠C.
解：证明：在DC上截取BD＝DE，连结AE.
∵BD＝DE，AD⊥BE，
∴AD是BE的中垂线，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，
又AB＋BD＝CD，而BD＝DE，
∴AB＝EC，又AB＝AE，∴AE＝EC，
∴∠C＝∠EAC，
∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2∠C，∴∠B＝2∠C.
解析：由AD⊥BC，在DC上截取DE＝BD，连结AE，构造以AD为底边上的高的等腰三角形AEB，则∠B＝∠AEB.再由已知条件易得AE＝EC，从而∠AEB＝2∠C.
【例2】等边三角形ABC中，BE和CD分别是AC、AB边上的高.求∠BFC的度数.
解析：由于等边三角形三边均相等，每个角都为60°，故BE、CD也是角平分线，因而∠FBC＝∠FCB＝30°，∴∠BFC＝120°.
解：∵△ABC是等边三角形，BE、CD是高，
∴∠FBC＝∠FCB＝12×60°＝30°，
∴∠BFC＝180°－30°－30°＝120°.
解析：∠APE＝∠BAD＋∠ABE，由已知易知△ABD≌△BCE（SAS），∴∠DAB＝∠EBC，故∠APE＝∠ABE＋∠EBC＝60°.
【例3】如图，已知等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE交于P，则∠APE＝（ ）
A.45° B.55° C.60° D.75°
C
C
D
120°
证明：∵△ABC是等边三角形，BF是高，
∴∠ABO＝12∠ABC＝30°，
再根据SAS证明△AOE≌△AOB，
∴∠E＝∠ABF＝30°
1.等腰三角形相关线段的性质及其应用；
2.等边三角形的性质及其应用.
(共23张PPT)
1.探索等腰三角形判定定理.
2.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.
3.了解反证法的基本证明思路，并能简单应用.
4.培养学生的逆向思维能力.
重点：等腰三角形的判定定理及其运用.
难点：反证法的基本证明思路，并能简单应用.
一定成立
等腰三角形
等角对等边
不成立
相矛盾
1.等腰三角形性质定理：等腰三角形的_________相等，
简述为_________________
这个命题的条件是______________________，
结论是_______________
2. 我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗？
如果一个三角形有两个角相等，
那么这个三角形是等腰三角形吗？
两个底角
一个三角形是等腰三角形
它的两个底角相等
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(简述为：等角对等边.)
等边对等角
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(等角对等边.)
等腰三角形的判定定理：
推导过程：
在△ABC中
∵∠B＝∠C（已知），
∴__________（_________）.
AB=AC
等角对等边
D
等腰
小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?
我们来看一位同学的想法：
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．
假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，这与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此 AB≠AC
你能理解他的推理过程吗?
1.先假设命题的结论不成立
2.从假设出发，然后推导出与定义、公理、定理或已知条件相矛盾的结果
3.从而判定假设不正确，肯定命题的结论正确
反证法的一般步骤：
用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角
已知：△ABC．
求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则
∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．
这与三角形内角和定理矛盾，
所以∠A=∠B=90°的假设不成立．
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
D
AB∥CD
【例1】如图所示，∠ABC和∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E.求证：BD＋EC＝DE.
证明：∵BF平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，又DE∥BC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴DB＝DF（等角对等边），同理可得：EC＝EF，
∵DF＋EF＝DE，
∴BD＋EC＝DE.
解析：分别证△DBF和△EFC为等腰三角形，运用线段相等再转化.
【例2】如图，已知BC＝CD，∠ABC＝∠ADC.求证：AB＝AD.
证明：连结BD，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC－∠CBD＝∠ADC－∠CDB，
即∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD.
解析：欲证AB＝AD，只需证它们所在的三角形中所对的角相等，于是想到连结BD，构造等腰△ABD，同时还构造了另一个等腰△BCD.
【例3】如图所示，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠ODC；③BE＝CD；④OB＝OC.（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形，用序号写出所有情形；（2）选择第（1）题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形.
解析：这是一道开放型的题目，要研究各个条件之间制约和依赖关系，将4个条件不重不漏分类组合，再逐一选择条件尝试探索证明.
解：（1）有四种情形：①③，②③，①④，②④.
证明：选择①④，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB（等边对等角），
又∠EBO＝∠DCO，
∴∠EBO＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB，
∴∠EBC＝∠DCB，
∴AB＝AC（等角对等边），即△ABC为等腰三角形.
【例4】已知如图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.求证：AD垂直平分EF.
解析：要证AD垂直平分EF，由于已知AD平分∠BAC，所以只需证AE＝AF即可.要证AE＝AF，可证∠3＝∠4，由于∠DEA＝∠DFA＝90°，所以只需证∠1＝∠2即可，要证∠1＝∠2，需证DE＝DF，因为DE、DF是AD上的点到∠BAC两边的距离，所以问题得证.
解：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF（角平分线上的点到这个角两边的距离相等），
∴∠1＝∠2（等边对等角），
∵∠AED＝∠AFD＝90°（垂直定义），
∴∠3＝∠4（等角的余角相等），
∴AE＝AF（等角对等边），
∵AD是等腰△AEF的顶角平分线，
∴AD垂直平分EF（三线合一）.
B
是
3
证明：假设AB＝AC，
那么根据“等边对等角”可得∠C＝∠B，
但已知条件是∠B≠∠C，
所以∠C＝∠B与已知条件∠B≠∠C相矛盾，
因此AB≠AC.
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC.
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AD，
∴∠AEF＝∠BAD，∠F＝∠CAD，
∴∠AEF＝∠F，
∴△AEF是等腰三角形.
1.本节课学习了哪些内容？
2.等腰三角形的判定方法有哪几种？
3.结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系.
4.举例谈谈用反证法说理的基本思路.
(共26张PPT)
1.理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30°角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题.
2.探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力.
重点：①等边三角形判定定理的发现与证明.
②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与
证明.
难点：含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.
斜边的一半
等边
相等
（2） 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？
（3）一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形?
有一个角是60°
三条边相等的三角形是等边三角形（定 义）
三个角相等的三角形是等边三角形
（１）等边三角形有哪些性质？
等边三角形的三条边相等，三个角相等，“三线合一”
证明定理：有一个角等于60°的等
腰三角形是等边三角形
已知：△ABC中，AB=AC
情况一：如果顶角∠Ａ=60°
情况二：如果底角∠B=60°zxxkw
1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.
等边三角形的判定方法：
3.定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等
边三角形．
2.定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.
推导过程：∵AB＝BC＝CA
∴ △ABC等边三角形（ －－）
推导过程：∵∠A＝ ∠ B＝ ∠ C
∴ △ABC等边三角形（ －－）
推导过程：∵AB＝AC，∠A＝ 60°
∴ △ABC等边三角形（ －－）
D
AB＝AC或∠B＝∠C
用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗 ? 说说你的理由．
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?
证明定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD．
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
A
C
B
推导过程：Rt△ABC中
∵∠A＝30°
∴ B C＝ AB
D
A
（ 30°角所对的直角边等于斜边的一半 ）
B
3cm
【例1】如图，在等边△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，BO、OC的垂直平分线分别交BC于E和F.求证：△OEF是等边三角形.
解：∵E、F分别是BO、OC的垂直平分线上的点，
∴OE＝BE，OF＝CF.
∵△ABC是等边三角形，且OB、OC分别
平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBE＝∠BOE＝∠OCF＝∠COF＝30°，
∴∠OEF＝∠OFE＝60°
.∴∠EOF＝60°，
∴△OEF是等边三角形.
【例2】已知，如图，E为等边△ABC边AC上一点，∠1＝∠2，CD＝BE，判断△ADE的形状.
解析：不难发现△ABE≌△ACD，从而AE＝AD，∠CAD＝∠BAE＝60°，由此知△ADE为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）.
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝60°，
在△ABE和△ACD中，AB＝AC,∠1＝∠2,BE＝CD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AE＝AD，∠CAD＝∠BAE＝60°，
∴△ADE为等边三角形.
【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝15°，求等腰三角形ABC腰上的高的长.
解析：△ABC为钝角三角形，先要准确地作出高CD，并为用30°的直角三角形的性质创造了条件.
解：过C点作CD⊥BA交BA的延长线于点D，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝15°，
∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝30°，Rt△ADC中，∠DAC＝30°，
∴CD＝12AC＝1，
∴等腰三角形ABC腰上的高的长为1.
【例4】如图，已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点，∠EBC＝∠DAC，CE∥AB.求证：△CDE是等边三角形.
解析：欲证△CDE是等边三角形，可选择三边相等或证有一个角为60°.先由等边三角形的性质得出边相等和角相等，再利用ASA证明△EBC≌△DAC，得出CE＝CD，即△CDE是等边三角形.
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠BAC＝60°，∠ECD＝60°，∴∠ACD＝∠BCE＝120°，
在△EBC和△DAC中，∠EBC＝∠DAC，
BC＝AC，∠BCE＝∠ACD，
∴△EBC≌△DAC（ASA），
∴CE＝CD，
∴△CDE是等边三角形.
【例5】△ABC是等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，BD、AE交于N，BM⊥AE于M，AD＝CE.求证：MN＝ BN.
解析：MN、BN分别是Rt△BMN的直角边、斜边，要证MN＝ BN，只证∠MBN＝30°即可.由已知条件可得△BAD≌△ACE，可得∠BNM＝60°，即∠NBM＝30°.
解：在△ABD和△CAE中，AB＝AC
∠BAD＝∠C＝60°
AD＝CE，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠CAE，
∴∠BNM＝∠ABN＋∠BAN＝∠CAE＋∠BAN＝60°.又∠BMN＝90°，
∴∠MBN＝30°，
∴MN＝ BN（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半）.
A
2
等边三角形
证明：∵CD＝BD，∠B＝30°，
∴∠BCD＝∠B＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°－∠B＝60°，∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝90°－30°＝60°，
∴∠ADC＝180°－∠A－∠ACD＝60°，∴∠A＝∠ACD＝∠ADC＝60°，
∴△ACD是等边三角形
提示：证△BFH≌△CEH，得∠FBH＝∠ECH，又HB＝HC，
∴∠HBC＝∠HCB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC.又∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形.
1.等边三角形判定定理的发现与证明及应用.
2.含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明及应用.
(共27张PPT)
1.掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题.
2.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立.
重点：①了解勾股定理及其逆定理的证明方法.
②结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆
命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立.
难点：勾股定理及其逆定理的证明方法.
互余
互余
平方和
平方和
结论
条件
逆命题
真命题
1.如图，在△ ABC 中， ∠C=90°，
AB=4， ∠A=30°，则BC=______
AC=________
2.命题“对顶角相等”的条件是___________,
结论是____________它是一个____命题（填“真”或“假”）
3.一般的直角三角形有哪些性质？（从边、角 考虑）
4.怎样判断一个三角形是直角三角形？（从边、角考虑）
2
两直线相交
对顶角相等
真
直角三角形的性质定理:
1.直角三角形的两个锐角______.
2.勾股定理：直角三角形两条__________________
____________
互余
直角边的平方和等于
斜边的平方.
直角三角形的判定定理:
1.有两个角_______三角形是直角三角形
2.如果三角形_______________________________,
那么这个三角形是直角三角形
互余
两边的平方和等于第三边的平方
A
A
（4，0）
定理：直角三角形的两个锐角互余
定理：有两个角互余三角形是直角三角形
观察上面两个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系?
第一个定理的条件是第二个定理的结论，
第一个定理的结论是第二个定理的条件．
观察下面三组命题：
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?
与同伴交流．
在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题!!
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，我们称它们为互逆定理.其中一个定理称为另一个定理的逆定理
举例说出我们已学过的互逆定理.
每个定理都有逆命题，
但每个定理不一定有逆定理
A
若|x|＝|y|，则x＝y
假
【例1】已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.
解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5，BC＝3，
由勾股定理得AC2＝AB2－BC2，
∴AC＝25－9＝4，
又S△ABC＝ BC·AC＝ AB·CD，
CD＝BC·ACAB＝3×0.8＝2.4，
∴CD的长是2.4cm.
证法：过点A作AE⊥BC于E，
则在Rt△ADE中，AD2＝DE2＋AE2，
又∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴AE＝BE＝CE，
∵BD2＋CD2＝（BE－DE）2＋（CE＋DE）2＝BE2＋CE2＋2DE2＝2AE2＋2DE2＝2AD2，
即BD2＋CD2＝2AD2.
【例2】如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC上任一点.求证：BD2＋CD2＝2AD2.
【例3】如图所示，四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，CF＝14CD，连接AE、EF.求证：AE⊥EF.
解析：欲证明AE⊥EF，只需证明∠AEF＝90°即可.故可考虑用勾股定理的逆定理来判定△AEF是直角三角形.
解：如图，连接AF.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠D＝90°.设CF＝1，则CD＝4.
∴CE＝BE＝2，AB＝AD＝4，DF＝3.
在Rt△CEF中，EF2＝CF2＋CE2＝12＋22＝5.
同理，AE2＝20，AF2＝25.∴EF2＋AE2＝AF2.
∴△AEF是直角三角形，且∠AEF＝90°.
∴AE⊥EF.
【例4】如图，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m.求图中阴影部分的面积.
解析：如图中阴影部分的面积是一个不规则的图形，因此我们首先应考虑如何转化为规则图形的和差形，这是方向，同学们记住，实际上S阴＝S△ABC－S△ACD，现在只要明确怎样计算S△ABC和S△ACD了.
解：在Rt△ADC中，AC2＝AD2＋CD2
＝62＋82＝100（勾股定理），
∴AC＝10m.
∵AC2＋BC2＝102＋242＝676＝AB2，
∴△ACB为直角三角形（如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形），
∴S阴影部分＝S△ACB－S△ACD＝ ×10×24－
12×6×8
＝96（m2）.
【例5】说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假；（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，内旁内角互补；（3）如果ab＝0，那么a＝0，b＝0
解析：互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应不会有什么困难，尤其是对以“如果……那么……”形式给出的命题，写出其逆命题较为容易，但对于那些不是以这种形式给出的命题，叙述其逆命题有一定困难.可先分析命题的条件和结论，然后写出逆命题
解：（1）逆命题为：多边形是四边形.原命题是真命题，而逆命题是假命题.（2）逆命题为：同旁内角互补，两直线平行.原命题与逆命题同为真命题.（3）逆命题为：如果a＝0，b＝0，那么ab＝0.原命题是假命题，而逆命题是真命题.
C
3
直角三角形
解：设旗杆的高度AC为x，
则AB＝x+1.
∵BC＝5，
∴由勾股定理得：52+x2＝（x+1）2，
解得：x＝12.
即旗杆的高度为12米.
解：（1）逆命题为：直角三角形的两个锐角互余，原命题和逆命题都是真命题（2）逆命题为：如果两个有理数相等，那么这两个有理数的绝对值相等.原命题是假命题，其逆命题是真命题（3）逆命题：等腰三角形是等边三角形.原命题是真命题，其逆命题是假命题
了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方法，进一步发展了演绎推理能力.
(共21张PPT)
1.能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性.
2.利用“HL”定理解决实际问题.
重点：证明直角三角形全等的“HL”的判定定理及其应用.
难点：利用“HL”定理解决实际问题，进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力.
SSS.SAS.ASA.AAS.HL
直角
HL
5
1.判定两个三角形全等有哪些方法？_____________________
2.两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个三 角形全等吗？如图
如果其中一组等边所对的角是直角呢？
SAS，ASA，SSS，AAS
A
D
B
C
E
F
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形
已知：如图，线段a，c（a﹤c）,
直角 ɑ
求作：Rt△ABC，使∠C＝ ∠ ɑ，
BC＝a，AB＝czxxkw
你们所作的直角三角形全等吗？
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′
求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
直角三角形全等的判定定理
定理：斜边和一条直角边分别相等的
两个直角三角形全等．
可以述“斜边、直角边”或“HL”表示．
A
C
BD＝CE或BE＝CD
相等
【例1】如图，AC⊥AD，BC⊥BD，AC＝BD.求证：AD＝BC.
解析：由条件可知∠A＝∠B＝90°，AC＝BD，结合结论AD＝BC，显然AD与AC夹∠A，BC与BD夹∠B，要证△ADC与△BCD全等，连DC即可证明.
解：连结DC，∵AC⊥AD，BC⊥BD，
∴∠A＝∠B＝90°.
在Rt△ADC与Rt△BCD中，DC＝CD（公共边）
AC＝BD（已知），
∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL），
∴AD＝BC.
【例2】已知：线段a，如图.求作：Rt△ABC，使BC＝a，AB＝32a，∠C＝90°.
解析：已知直角三角形的斜边和一条直角边，先考虑作出直角，然后截取直角边，再作出斜边即可.
解：作法：如图所示.
（1）作l1⊥l2于点C；
（2）在l1上截取CB＝a；
（3）以点B为圆心，以1.5a的长为半径画弧，交l2于点A；
（4）连接AB，Rt△ABC即为所求.
【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥CE，垂足分别为D、E，且AD＝AE，BD、CE交于点O.求证：OB＝OC.
解析：要证明OB＝OC，在同一个三角形中，只需要证明它们所对的两个角相等即可.
解：∵AD⊥BD，AE⊥CE，
∴∠D＝∠E＝90°.在Rt△ABD和Rt△ACE中，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），
∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACE，即∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC.
【例4】如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F.求证：CE＝DF.
解析：从已知入手分析：由前三个已知条件易知Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），能提供AC＝BD，∠CAB＝∠DBA和∠ABC＝∠BAD.再由第4、5个条件可知△ACE≌△BDF（AAS），△BCE≌△ADF，均可得到结论：CE＝DF.
解：∵AC⊥BC，AD⊥BD.
∴在Rt△ABC和Rt△BAD中AB＝AB,BC＝AD，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠DAF＝∠CBE.在△BCE和△ADF中∠CEB＝∠DFA＝90°
∠CBE＝∠DAF,BC＝AD，
∴△BCE≌△ADF（AAS），
∴CE＝DF.
B
C
8
①②③④
证明：∵EF⊥AC，
∴∠F+∠C＝90°，
∵∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠F，
又∵DB＝BC，∠FBD＝∠ABC＝90°，
∴△FBD≌△ABC，
∴AB＝BF
证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°.
∵∠C＝90°，
∴∠AED＝∠C＝90°.
在Rt△ACD和Rt△AED中，AC＝AE，
AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴∠CAD＝∠EAD，
∴AD平分∠BAC.
我们有五种判定三角形全等的方法：
1.边边边（SSS）
2.边角边（SAS）
3.角边角（ASA）
4.角角边（AAS）
5.HL（仅用在直角三角形中）
(共30张PPT)
3 线段的垂直平分线
·
1.能够证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理，证明三角形三边垂直平分线交于一点.
2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力.经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形.
·
重点：运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题，能够证明与线段垂直平分线相关的结论，已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形.
难点：垂直平分线的性质与判定在实际问题中的运用，证明三线共点.
顶点
相等
垂直平分线上
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?
P
N
M
点P是码头的位置
垂直底边，并且平分底边．
AD所在的直线即线段AB的垂直平分线 ．
等腰三角形顶角平分线有哪些性质？
线段的垂直平分线
PA=PB
P1
P1A=P1B
……
命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
由此你能得出什么规律
命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
线段的垂直平分线
C
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段 的两端点的距离相等．
温馨提示：这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
B
8
你能写出上面这个定理的逆命题吗？
如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上，即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等．
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
证明：过点P作已知线段AB的垂线PC，
∵PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL）
∴AC=BC，
即P点在AB的垂直平分线上．
性质定理的逆命题：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
∵PA=PB（已知），
∴点P在AB的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
温馨提示：这个结论是经常用来证明点在直线上（或直线经过某一点）的根据之一．
判定定理 ：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
利用尺规作三角形三条边的垂直平分线做完之后，你发现了什么？
发现：三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等．
剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线．
结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点．
点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可．
命题：三角形三条边的垂直平分线相交于一点．
已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点P．
求证：点P也在AC的垂直平分线上．
证明：连接AP，BP，CP.
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB
同理，PB=PC.
∴PA=PC.
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∴AB，BC，AC的垂直平分线相交于一点.
定理：三角形三条边的垂直平分线相交于
一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
如图，在△ABC中，
∵c，a，b分别是AB，BC，AC的垂直平分线(已知)，
∴c，a，b相交于一点P，且PA=PB=PC
A
3
D
【例1】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明：∵AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点O在线段BC的垂直平分线上.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.
【例2】已知底边及底边上的高，求作等腰三角形.已知：线段a、h求作：△ABC，使AB＝AC，BC＝a，高AD＝h
作法：1.作BC＝a；
2.作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；
3.以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；
4.连接AB、AC.∴△ABC就是所求作的三角形（如图所示）.
【例3】已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP、BP、CP.求证：P点在AC的垂直平分线上.
证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA＝PB（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）.
同理PB＝PC.
∴PA＝PC.
∴P点在AC的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）.
【例4】在△ABC中，D为BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且DE⊥DF.求证：BE＋CF＞EF.
解析：显然需将BE、CF集中在同一个三角形中，图DE⊥DF，故可以DE为对称轴将△EDF翻折.
解：延长FD到G，使DG＝DF.连接EG、BG.
在△CDF和△BDG中，CD＝BD,∠CDF＝∠BDG,DF＝DG，
∴△CDF≌△BDG（SAS），
∴BG＝CF.
∵DE⊥DF，DF＝DG，
∴EG＝EF.在△BEG中，BE＋BG＞EG，
∴BE＋CF＞EF.
C
22
70°
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∵DE＝DF，AD＝AD，∴Rt△AED≌Rt△AFD，
∴AE＝AF，
∴AD垂直平分EF
本节课证明了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，并能利用尺规作出已知线段的垂直平分线.已知等腰三角形的底边和高，作出符合条件的等腰三角形，用尺规作图，逻辑推理多层次地理解并证明了三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等.
(共31张PPT)
4 角平分线
·
1.理解并掌握角的平分线的性质定理及其逆定理.
2.能应用角的平分线的性质定理及其逆定理解决一些简单
的计算及证明等问题.
3.掌握三角形的角平分线的性质，并能进行有关的证明与
计算.
·
重点：角的平分线的性质定理及其逆定理，并能灵活运用.
难点：三角形的角平分线的性质的证明.
三条边
距离
平分线
相等
线段垂直平分线的性质定理 ：
线段垂直平分线上的点到这条线段
两个端点距离相等.
∵ AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点
∴ PA=PB
性质定理的逆定理：
到一条线段两个端点距离相等的点,
在这条线段的垂直平分线上.
∵ PA=PB zxxk
∴ 点P在AB的垂直平分线上.
A
P
“三角形三边中垂线”定理：
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，
并且这一点到三顶点的距离相等.
角平分线的性质
1 你还记得角平分线上的点有什么性质吗？
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
2 你能证明它吗？
O
条件：一个点在已知角的平分线上
结论：这个点到已知角的两边的距离相等
3 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC 上，
PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别为D、E.
.
B
求证：PD=PE
分析:要证明PD=PE,
只要证明它们所在的三角形全等
即 △OPD≌△OPB，
老师期望: zx.xk
你能写出规范的证明过程.
“角平分线的性质”的证明
“角平分线的性质”的三种语言
性质定理 （文字表示）：
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如图,∵ OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点 （已知）
又 PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E (已知 )
∴ PD=PE (角平分线性质定理 ).
（符号表示）：
（图形）
B
B
你能写出 “角平分线性质定理” 的逆命题吗?
原命题：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
条件：一个点在已知角的平分线上，
结论：这个点到这个角的两边的距离相等.
逆命题
条件： 一个点到这个角的两边的距离相等，
结论： 这个点在已知角的平分线上 .
它是真命题吗? 如果是.请你证明它.
已知:如图, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别
是D,E，且PD=PE .
求证: 点P在∠AOB的平分线上.
分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,
可以先作出过点P的射线OC,
然后证明∠1=∠2.
老师期望: 你能写出规范的证明过程.
逆命题
条件： 一个点到这个角的两边的距离相等，
结论： 这个点在已知角的平分线上 .
这个
已知
判定定理 (文字表示)：
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
如图,
∵ PD=PE, （已知）
又 PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E( 已知 )
∴点P在∠AOB的平分线上.
( 角平分线判定定理 ).
角平分线的判定
(符号表示)：
35
求证：三角形的三条角平分线相交于一点，
并且这一点到三条边的距离相等．
已知：如图，在△ABC中，角平分线BM、角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别是D,E,Fzxxkw
求证：∠ A的平分线经过点P，
且PD＝PE＝PF
定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
三角形角平分线的性质
B
【例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠CAB，BM＝6.2cm，点M到AB的距离为2cm.求BC的长.
解析：由角平分线的性质可知，CM与点M到AB的距离相等，从而可求出BC的长.
解：过点M作MN⊥AB于点N.
∵AM平分∠CBA，∠C＝90°.
∴CM＝MN＝2cm.
又∵BM＝6.2cm，
∴BC＝CM＋BM＝8.2（cm）.
【例2】如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC.
解析：由角平分线的性质可推出OD＝OE，进而可证OB、OC所在的△BOD和△COE全等，从而证明结论
解：∵AO平分∠BAC，BE⊥AC，CD⊥AB，
∴OD＝OE，∠BDO＝∠CEO＝90°.
在△BOD和△COE中，
∵∠BOD＝∠COE，OD＝OE，∠BDO＝∠CEO，
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴OB＝OC.
【例3】如图所示，在△ABC中，AD是BC边的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF.求证：DA平分∠EDF.
解析：思路1：要证DA平分∠EDF，也就是证明∠ADE＝∠ADF，可先证∠DAE＝∠DAF，即证AD是∠BAC的平分线，既而考虑证DE＝DF.思路2：已知AE⊥DE，AF⊥DF，故可考虑证AE＝AF.又BE＝CF，故可证AB＝AC.
证明：证法1：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD.
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∵BD＝CD，BE＝CF，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是∠BAC的平分线，即∠EAD＝∠FAD.
又∵∠ADE＝90°－∠EAD，∠ADF＝90°－∠FAD，
∴∠ADE＝∠ADF，即DA平分∠EDF.
证法2：同证法1，可得Rt△BED≌Rt△CFD.
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC.
又∵BE＝CF，
∴AE＝AF.
又∵AE⊥DE，AF⊥DF，
∴DA平分∠EDF.
【例4】如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，则DB＝DC.求证：BE＝CF.
解析：要证BE＝CF，可证△BDE≌△CDF.而AD是∠BAC的平分线，利用角平分线的性质可得DE＝DF，又已知DB＝DC，利用HL即得.
证明：∵DE⊥AE，DF⊥AC，AD平分∠BAC，
∴DE＝DF.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∵DB＝DC，DE＝DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
∴BE＝CF.
解析：（1）△ABC三条角平分线的交点到各边的距离相等；
（2）利用面积法可求出这个距离.
【例5】如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7，BC＝24，AC＝25.（1）△ABC内是否存在一点到各边的距离相等？如果存在，请作出这一点，并说明理由；（2）求这点到各边的距离.
解：（1）如图，作∠BAC、∠ACB的平分线，它们的交点P即为符合要求的点.作PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥AC，垂足分别为E、F、G.
∵AP是∠BAC的平分线，
∴PE＝PG.
∵CP是∠ACB的平分线，
∴PF＝PG.
∴PE＝PF＝PG；
（2）连接BP.设PE＝PF＝PG＝x.
∵S△ABC＝S△APB＋S△BPC＋S△APC，
∴0.5AB·BC＝0.5AB·x＋0.5BC·x＋0.5AC·x.
∴7×24＝（7＋24＋25）x.
解得x＝3.
即这点到各边的距离为3.
点拨：面积法是求三角形角平分线的交点到各边距离的常用方法之一.
D
D
15
90°
证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠DFC＝∠DEB＝90°，
又∵∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE＝DF，
∴点D在∠BAC的平分线上
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
在Rt△EBD和Rt△FCD中，
DB＝DC，DE＝DF，
∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL），
∴BE＝CF.
1.角的平分线的性质定理及其逆定理，并会灵活运用.
2.三角形的角平分线的性质并会应用.
