人教A版（2019）必修第二册 第六章 平面向量及其应用 数形结合思想在《平面向量》中的应用 讲义

《平面向量》
-----数形结合思想在《平面向量》中的应用

向量是数学中重要的、基本的概念，它既是代数的对象，又是几何的对象，它具有代数和几何的双重特征。向量的代数属性源于向量是可以度量的，几何属性源于它有方向。向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段表示，向量是数形结合的最好的载体，在研究向量问题时重点要从“数”与“形”两方面来研究和解决问题。在学习向量时能从“数”与“形”两个方面的特征认识和掌握向量，渗透数形结合的思想。

1、 向量的知识结构：
















2、 数形结合思想在概念方面的体现
在有了向量的“模”的定义以后，就有零向量、单位向量的概念；考虑方向属性，就有了向量的平行、向量的共线、向量的夹角（以后学）、向量的垂直（以后学）；兼顾代数与几何属性，则有相等向量、相反向量的概念。
研究向量的概念都要从“数”和“方向”两方面研究。
例1判断下面说法是否正确
（1）向量模的取值范围是
不正确零向量的模为0
（2）若，都是单位向量，则
正确 单位向量即是长度为1的向量
（3）若向量是共线向量，则A,B,C,D四点共线
不正确 共线向量又称为平行向量，AB与CD可以平行
（4）若，则
正确 从数量和方向都是一样的，所以相等
（5）若，则
正确

例2 下列命题正确的是(　　)
A．若||＝||，则＝
B．若≠，则||≠||
C．若||＝||，则与可能共线
D．若||≠||，则一定不与共线
答案　C
解析　因为向量既有大小又有方向，只有方向相同、大小(长度)相等的两个向量才相等，
因此A错误；两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误；不论两个向量
的模是否相等，这两个向量都可能共线，C正确，D错误．

例3设，是共线的单位向量，则|＋|的值(　　)
A．等于2 B．等于0
C．大于2 D．等于0或等于2
答案　D
解析　∵与是共线的单位向量，
∴当两个向量同向时，|＋|＝2||＝2；
当两个向量反向时，|＋|＝0；综上所述，故选D．

例4 ．设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的条件是(　　)
A．||＝||且∥ B．＝－
C．∥ D．＝2
解析：选D.因为表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，
所以与必须方向相同才能满足.故选D.






3、 数形结合思想在向量运算方面的体现
运算 定义 符号表示 几何表示 坐标表示 运算律及性质
加法 平行四边形法则 三角形法则 +=+= 共起点起点终点顺次连接
减法 = 共起点
实数与向量的乘法 实数λ与向量的积是一个向量记作λ，它的长度方向规定如下：；当时，与的方向相同；当时，与的方向相反；当时，方向是任意的 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) =λλ∈R 记=(x,y)λ=(λx,λy) ∥


例1 已知λ∈R，则下列结论正确的是(　　)
A．|λ|＝λ|| B．|λ|＝|λ|C．|λ|＝|λ| D．|λ|>0
答案　C
解析　当λ<0时，|λ|＝λ||不成立，A错误；|λ|是一个非负实数，而|λ|是
一个向量，B错误；当λ＝0或＝时，|λ|＝0，D错误．故选C.


例2．试判断下列说法的正误，并说明理由．
(1)若λ＝，则λ＝0；
(2)若非零向量，满足|－|＝||＋||，λμ>0，则λ与μ同向．
解析(1)错误．λ＝，则λ＝0或.
(2)错误．由|－|＝||＋||知与反向．由λμ>0知λ与μ同号，所以λ
与μ反向．
例3 对于非零向量,,“+2=”是“∥”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析选A.若+2=,则=-2,所以∥.若∥,则+2=不一定成立,
故“+2=”是“∥”的充分不必要条件.

例4 向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则．答案：4
方法一 代数法（坐标法）


方法二：几何法（作图）
过O点作平行四边形OCBD, =-,
在，方向上分解，
得到
则λ=-2，
所以





例5在中，点满足，．若，则_______；_______．








例6． 如图所示，下列结论正确的是(　　)

①＝＋；②＝－；③＝－； ④＝＋.
A．①② B．③④
C．①③ D．②④
解析：选C.①根据向量的加法法则，得，故①正确；②根据向量的减法法则，得，故②错误；③故③正确；④，故④错误．故选C.







方法一 也可以建系，设坐标求解










借助于平面直角坐标系将图形用坐标表示是很好的解决向量问题的方法。向量的坐标表示实际上是向量的代数表示,是将几何问题代数化的有力工具,它是数形结合思想方法的具体体现.通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模,判断共线、平行等问题。
例7 已知向量,,点A(-1,-2).
(1)求线段BD的中点M的坐标.
(2)若点P(2,y)满足 (),求y与λ的值.
解：(1)设点B的坐标为(x1,y1).
因为=(4,3),A(-1,-2),所以(x1+1,y1+2)=(4,3).
所以所以所以B(3,1).同理可得D(-4,-3).
设线段BD的中点M的坐标为(x2,y2),则,
所以M.
(2)由已知得=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).
又,所以(1,1-y)=λ(-7,-4),
则所以

综上，向量是数形结合最好的载体，从“数”与“形”两方面研究向量，借助于平面直角坐标系将图形用坐标表示出来，更好地解决相关的问题。因此利用数形结合思想解决向量问题是最佳的解决方法。
课后练习题：
1.设，是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
2.是边长为2的等边三角形，已知向量满足，，则下列结论中正确的是。（写出所有正确结论得序号）
①为单位向量；②为单位向量；③
【答案】①③
【解析】∵等边三角形ABC的边长为2,∴＝2＝2,故①正确；
∵ ∴，故②错误，③正确；因此，正确的编号是①③.
3.设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．
【答案】
【解析】向量与平行，所以，则 所以
4.如图,在平行四边形中,对角线与交于点,,则_____________.

【答案】2
5.为边,为对角线的矩形中,,,则实数____________.
【答案】4
6.设分别是的边上的点,,,若 (为实数),则的值为__________.
【答案】