苏教版高中数学必修二《空间两直线的位置关系（2）》自主学习任务单（Word版）

《空间两条直线的位置关系（2）》自主学习任务单
一、学习目标
1. 理解异面直线的概念，掌握异面直线的判定定理．
2. 理解异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义，体会空间问题平面化的基本思想．
3. 会解决简单几何体中异面直线的所成角的计算．
二、学习过程
1.导入学习
先回顾一下异面直线的定义：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
异面直线的性质：既不平行，也不相交.
2.问题导学
问题1：大家已经知道什么是异面直线，你能在纸上画出两条异面直线吗？
问题2：对比你画的异面直线，指出下列几组异面直线画法中哪些更为直观．

问题3：你能根据异面直线的定义判断两直线是否为异面直线吗？试试看在图15-1的长方体ABCD—A1B1C1D1中，哪些棱所在直线与直线A1B是异面直线？
追问1：哪些棱所在直线与直线BC是异面直线？
追问2：直线A1B与直线AC是异面直线吗？
追问3：在平面ABCD中怎样的直线与直线A1B是异面直线？
问题4：结合问题3，总结判断异面直线的方法，并说明你方法的合理性.
问题5：在问题3中，有6条直线与直线A1B互为异面直线，但它们都是不同的直线，说明仅用“异面”来描述异面直线间的相对位置显然是不够的.那怎样刻划异面直线间的这种相对位置？
异面直线所成角定义：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的一条线上.异面直线所成的角的范围：.



当两异面直线所成角为90o时，则称异面直线互相垂直，记作．今后所说的两直线垂直，可能是相交直线，也可能是异面直线．
3.例题导析
例1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中．
(1)求AC与A1D所成角的大小；
(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．
问题1：在正方体ABCD－A1B1C1D1中你能做出AC与A1D，以及A1C1与EF所成角？
问题2：怎样利用平面图形来求异面直线所成的角？





例2.如果AB，CD是两条异面直线，求证：直线AC，BD也是异面直线.
问题1：如何证明异面直线？
问题2：直接证明有什么困难，能否从反面寻找论据?



4.反馈训练
1．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)

2．和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 (　　)
A．异面 B．相交
C．平行 D．异面或相交
3．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为 （ ）

A． B． C． D．
5.异面直线所成角的求法总结
(1)通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线，这两条相交直线所成的锐角（或直角）即为所求的角.
(2)同时作两条异面直线的平行线，并使它们相交则所成的锐角（或直角）即为所求的角.
(3)求异面直线的夹角的一般步骤是：“作—证—算—答”
注：无论用哪种方法都应注意到异面直线所成角的范围.以及利用三角形中位线平移法、三角形相似、构造平行四边形等知识进行直线的平移.
3、效果检测
1. 完成教材30页练习：1,2，3,6,7.
2．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，求异面直线BA1与AC1所成的角．









1.2.2空间两条直线的位置关系（2）参考答案
问题1：略．
问题2：图15-3或图15-4较好．表示异面直线时，以平面衬托可以显示得更清楚，离开平面的衬托，不同在任何一个平面的特征难以体现．
问题3：依据定义可得，与直线A1B是异面直线的棱所在直线有B1C1、AD、CC1、DD1、DC、D1C1.
追问1：与直线BC是异面直线的棱所在直线有AA1、DD1、D1C1、A1B1 .
追问2：是异面直线
追问3：在平面ABCD中不经过B点直线都和直线A1B是异面的直线.
问题4：定理:过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线都是异面直线．
说明：借助简单几何体，如在图15-1，长方体ABCD—A1B1C1D1中，假设直线A1B与直线CD共面，由于经过点B和直线CD的平面只能有一个，所以直线A1B与直线CD都应该在平面ABCD内，于是点A1在平面ABCD内，这与点A1在平面ABCD外矛盾.因此，直线A1B与直线CD是异面直线.
问题5：因为异面直线既不平行，也不相交，所以，刻画异面直线位置既要用角，又要用距离．异面直线的距离到后面空间向量再做研究．
例1.解：(1)如图所示，连接AB1，B1C，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．
∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.
即A1D与AC所成的角为60°.
(2)如图所示，连接AC、BD，在正方体
ABCD－A1B1C1D中，AC⊥BD，AC∥A1C1，
∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC.
∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.

例2.证明：假设AC，BD不是异面直线，那么，AC，BD一定共面，不妨令AC，BD确定的平面为，则AC，BD，可得点A，B，C，D都属于，根据公理1得，AB，CD都在平面内，这与已知矛盾，所以AC，BD不共面，命题得证.
4. 反馈训练
1．答案：②④
解析：图①中，直线GH∥MN；
图②中，G、H、N三点共面，但M ?面GHN，因此直线GH与MN异面；
图③中，连接MG，GM∥HN；因此GH与MN共面；
图④中，G、M、N共面，但H ?面GMN，∴GH与MN异面．
所以图②、④中GH与MN异面．

2．答案：D
解析：如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB与B′C′为两条异面直线，则BB′与AC′两条直线都与AB 、B′C′相交，BB′与AC′异面，而BB′、BC′都与AB 、B′C′相交，BB′、BC′却相交．

3．答案：D．
解析：如图所示，连接B1C，

则B1C∥A1D，B1C⊥BC1，∴A1D⊥BC1，∴A1D与BC1所成的角为90°．


三、效果检测
1.（1）正确；（2）不正确；2.CD，C1D1，BC，B1C1；3.平行或异面；6.(1)正确，（2）不正确；7.（1）45o,(2)略；（3）．
2．120°
解析：分别取AB、AA1、A1C1的中点D、E、F，则BA1∥DE，AC1∥EF，所以异面直线BA1与AC1所成的角为∠DEF(或其补角)，设AB＝AC＝AA1＝2，则DE＝EF＝，DF＝，由余弦定理得，∠DEF＝120°.