苏教版高中数学必修五《正弦定理、余弦定理的应用》自主学习任务单（Word版）

《正弦定理、余弦定理的应用》自主学习任务单
一、学习目标 ：
1．能熟练应用正弦、余弦定理及相关公式解决三角形中的有关问题；
2. 综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题;
3．培养学生对知识的应用能力和逻辑思维能力，培养学生严谨的学习态度和实事求是的生活观念。
二、学习过程：
（一）复习引入
根据前面我们学习的内容，请同学们将以下的内容补充完整：在中，为其内角，分别表示的对边．则有：
1． 三角形内角和：A＋B＋C＝ ．
2． 正弦定理： = = = ，其中R是三角形外接圆的半径．
由正弦定理可以变形为：.
（1）= : : ；
（2）a= , b= , c= ；
（3）sinA= , sinB= , sinC= 等形式，以解决不同的三角形问题．
3．面积公式：S= = = ．
4．余弦定理：
,
余弦定理可以变形为：
．
（二）问题探究
问题1：在三角形中，正、余弦定理有哪些应用？



问题2：在实际生活问题中，遇到距离、方向等问题时，我们又如何处理呢？例如：某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile／h的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以21 n mile／h的速度前去营救．求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1°，时间精确到1min）．
好，下面我们一起来研究。首先，我们先看下面这样一个问题：
例1 如图，为了测量河对岸两点A,B之间的距离，在河岸这边取点C，D，测得，设A,B,C,D在同一平面内，试求A,B两点之间的距离（精确到1m）．
问题3：如何来计算AB距离呢？实际问题又如何转化呢？



问题4：通过图形我们可以观察到：AB既是的一条边，也是的一条边，我们是否可以放在（或）中来求呢？



问题5：如果放在中，根据题意我们需要哪些条件（或者说能推出哪些条件）？
我们可以在三角形中求出,在三角形中求出,又由已知条件求出，从而在三角形中，求出AB．

问题6：如果放在中，根据题意我们需要哪些条件（或者说能推出哪些条件）？同学们课后自己动手做一做。



【总结】在实际问题中，我们把实际问题转化为数学问题，而在测量距离问题中我们通常把所求量和和已知量集中到同一个（或多个）三角形中，借助正、余弦定理来求．
这样对于前面的问题2就很容易求解了:
例2 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile／h的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以21 n mile／h的速度前去营救．求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1°，时间精确到1min）．
问题7：要解决这个问题，首先，我们要弄清楚以下几个概念：
(1)仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫 ，目标视线在水平视线下方叫 (如图①).

(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等；
(3)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)。
问题8：由例1可知，只要找出该实际问题对应的图形，就很容易解出本题。那么，本题对应的图形是什么样，请同学们画一下？如下图：






根据以上分析将问题转化成解三角形ABC,求AB,即可得到例2的答案．
【总结】解决实际问题基本步骤是：
① 分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；
② 建模：根据给定条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
③ 求解：利用正弦定理、余弦定理解这些三角形，求得数学模型的解；
④ 检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
（四）反思感悟（小结）
本节课你学到了什么？主要从以下几个方面总结：
（1）总结出你能解的关于三角形题型有哪些？
（2）在判断三角形时，有哪些方法？
（3）解决实际问题的一般步骤是什么？


三、效果检测：
1.海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于(　　) ．
A．10 n mile　　　　　　 B. n mile
C．5 n mile D．5 n mile
2.一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南海里方向直线航行，30分钟后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是东偏南，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么、两点间的距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
3.如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高______________．






4.如图所示，为了测量、处岛屿的距离，小海在处现测，、分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两岛屿的距离为__________海里.
5.如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值．







附：正弦定理、余弦定理的应用（课本教材）




《正弦定理、余弦定理的应用》参考答案
【例1】

【例2】
解：设舰艇收到信号后x h在B处靠拢渔轮，则AB＝21x，BC＝9x，
又AC＝10，∠ACB＝45°＋（180°－105°）＝120°．
由余弦定理，得AB２＝AC２＋BC２-2AC·BCcos∠ACB，
即（21x）２＝10２＋（9x）２－2×109xcos120°．
化简，得36x２－9x－10＝0，
解得x＝（h）＝40（min）（负值舍去）．
由正弦定理，得，
所以∠BAC≈21.8°，方位角为45°＋21.8°＝66.8°．
答:舰艇应沿着方位角66.8°的方向航行，经过40min就可靠近渔轮
三、效果检测：
1.D 2.A 3.150 4.
5.解：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800?BC＝20.
由正弦定理，得＝?sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.
由θ＝∠ACB＋30°，
得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB cos 30°－sin∠ACB sin 30°＝.

第3题图

第4题图

第5题图