9.4.3矩形、菱形、正方形
1、教学目标
1．理解菱形的概念、性质，知道菱形与平行四边形的关系.
2．经历探索菱形概念、性质的过程，在活动中发展学生的探究意识.
3. 会有条理的思考与表达，并逐步学会分析与综合的思考方法．
2.教学重点
重点：能运用菱形的性质进行有关的计算与证明.
3、教学难点
难点：菱形的性质定理的探索.
4、教学过程：
1）课堂导入
方案 通过多媒体课件展示一些含有菱形的图片，引导学生观察.
（1） 上面的图片中有你熟悉的图形吗？
（2） 学生举出生活中类似的图形.
（3） 菱形的结构特征是什么？
2）重点讲解
一个平行四边形的活动木框，对角线是两根橡皮筋．如果把DC沿CB方向平行移动，那么□ABCD的边、内角、对角线都随着变化．
当平移DC使BC=AB时：
（1）平行四边形ABCD四条边的大小有什么关系？
（2）对角线AC、BD的位置有什么关系？
解:（1）
当BC=AB时，
由平行四边形的性质，可知AB=DC，AD=BC.
于是AB=BC=CD=DA.
（2）当BC=AB时，
由平行四边形对角线的性质，
可知AO=CO.
于是BD⊥AC
于是，我们得到如下定理：
菱形的四条边相等，对角线互相垂直.
如图，在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD．
3）问题探究
例1 如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B、M处固定．已知菱形ABCD的边长为13cm，要使两排挂钩间的距离为24cm，求B、M之间的距离．
解：如图，连接AC、BD，AC与BD相交于点O.
∵四边形ABCD是菱形.
∴∠AOB=90°，
AO=AC/2=1/2×24=12（菱形的对角线互相垂直平分）
∴BO=√AB2-AO2 = √132-122 =5.
∴BD=2BO=10（菱形的对角线互相平分）.
BM=3BD=30.
B、M之间的距离是30cm.
4）难点剖析
1．如果平行四边形ABCD满足条件_________________ (填写一个合适的条件)，那么它的对角线AC、BD就互相垂直.
2．菱形的两对角线长分别为10㎝和24㎝，则周长为_________㎝；面积为_________㎝2.
3.菱形的周长为24㎝，相邻两内角比为1：2，则其对角线长分别为__________________．
4.菱形的周长为24㎝，较短一条对角线长是6㎝，则这个菱形的面积为_________㎝2.
教学注意点：①引导学生探索解题途径，培养学生有条理地思考能力.②规范解答过程，培养学生有条理地表达能力.③引导学生归纳：计算菱形的面积有哪些方法？
5）训练提升
1．矩形具有而菱形不具有的性质是 ( )
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
2．已知一个菱形的周长是20 cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是 ( )
A．12 cm2x B．24 cm2 C．48 cm2 D．96 cm2
3．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴对应的数分别为－4和1，则BC＝_______．
4．若菱形的两条对角线长分别为2和3，则此菱形的面积是_______．
5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝_______
6．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AD、CD上的两点，且AE＝DF．那么△ABE与△DBF是否全等？为什么？
7．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A<90°，边BC、CA、AB的中点分别是D、E、F，则四边形AFDE是 ( )
A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．梯形
8．如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则此菱形的边长为 ( )
A．5 B．6 C．8 D．10
9．已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值是_______．
10．菱形的两条对角线的长分别是10 cm和24 cm，则菱形的周长是_______cm．
11．如图，活动衣帽架由三个菱形组成，利用四边形的不稳定性，调整菱形的内角α，使衣帽架拉伸或收缩，当菱形的边长为18 cm，α＝120°时，A、B两点的距离为_______cm．
12．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
(1)求证：BD＝EC；
(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
13．如图：已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．
14．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE＝DF．
(1)求证：AE＝AF；
(2)若∠B＝60°，点E、F分别为BC和CD的中点，求证：△AEF是等边三角形．
参考答案
1．B 2．B 3．5 4．3 5． 6．△ABE≌△DBF．
7．A 8．A 9．5 10．52 11．54 12．(1)略 (2)40° 13．(1)略(2)5． 14．略
5、板书设计：
9.4.3矩形、菱形、正方形
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结
（二）探索新知 例1、例2
（四）课堂练习 练习设计
6、教学反思：
A
D
B
C
E
F
G
H
M
(共24张PPT)
>> 课程名称
9.4.3矩形、菱形、正方形
感受
生活
>> 情景导入
三菱越野汽车欣赏
菱形就在我们身边
D
C
B
A
一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的定义
菱形
平行四边形
记一记
>> 要点学习
边菱形的性：菱形的对边平行且相等．
角：菱形的对角相等．
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质．即
对角线：菱形的对角线互相平分．
对称性：菱形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心.
>> 要点学习
把一张矩形纸片对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下、打开，你能发现它是一个什么样的图形吗？
折纸探究
>> 问题探究
①、菱形的四边在数量上有什么关系?
②、菱形是轴对称图形吗?如果是,那么对称轴是?
③、菱形的两对角线有什么位置关系?
④、菱形的每一条对角线是否平分一组对角?
谈谈你的发现
>> 问题探究
菱形是特殊的平行四边形,它有不同于平行四边形的特殊性质：
①、菱形的四边相等；
②、菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴；
③、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3
4
5
6
7
1
8
2
D
C
B
A
O
归纳总结：菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形是中心对称图形，也是轴对称图形；
③菱形的四边都相等；
④菱形的对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角。
>> 问题探究
菱形是特殊的平行四边形,
那么能否利用平行四边形
面积公式计算菱形的面积吗?
菱形
A
B
C
D
O
E
S菱形=BC×AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能 计算菱形的面积公式吗?
S菱形=底×高=对角线乘积的一半
为什么?
菱形的面积
ABCD=S△ABD+S△BCD= AC×BD
S菱形
例1 菱形的周长为20cm，相邻两角的度数
的比1 : 2.求菱形的较短的对角线.
A
B
C
D
>> 难点剖析
例2 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，求点O到边AB的距离OH．
>> 难点剖析
例3 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、
BD的长分别为a、b，AC、BD相交于点O.
(1)若a=3cm，b=4cm，求菱形ABCD的面积与
周长；
(2)用含a、b的代数式表示菱形ABCD的面积S.
O
A
B
C
D
>> 难点剖析
1.菱形具有，一般平行四边形不具有的性
质是 ( )
A. 对角相等 B. 对边相等
C. 四边相等 D. 对角线互相平分
C
2.菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角互补
A
>> 随堂巩固训练
3.如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为_______cm2．
菱形面积的求解方法.
>> 随堂巩固训练
4. 如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF．
说明△ACE≌△ACF.
>> 随堂巩固训练
如图，四条公路AB、BC、CD、AD围
成了一个菱形，现要建造一个加油站O，使
加油站到公路AB、AD、DC、BC的距离相
等.画出点O的位置，说明理由.
A
B
C
D
O
E
F
H
K
>> 知识拓展
>> 知识小结概括
谈谈这节课你的收获是什么？
1. 本节课我们从身边熟悉的图形出发，学习
了一种特殊的平行四边形 菱形，知道它具有
平行四边形的一切性质，还具有一些特殊的性质．
>> 知识导图
2.菱形的性质：
菱形的对角相等；
菱形的两条对角线互相垂直
且平分；每一条对角线平分
一组对角
从角看：
从对角线看：
从边看:
菱形的四边都相等；
从对称性看：
菱形既是轴对称图形，又是
中心对称图形．
>> 知识导图
3.菱形的两条对角线将矩菱形分成四个直角
三角形；菱形的两条对角线将菱形分成四个等腰
三角形，菱形问题往往可化为直角三角形或等腰
三角形的问题来解决．
>> 知识导图
9.4.3矩形、菱形、正方形
1、基础夯实
单项选择题：
1.如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（ ）
A．12m B．20m C．22m D．24m
答案：C
分析：本题综合考查了菱形的性质和等边三角形的性质．
解答：连接AC，已知∠A=120°，ABCD为菱形，则∠B=60°，从而得出△ABC为正三角形，以△ABC的顶点所组成的小三角形也是正三角形，所以正六边形的边长是△ ABC边长的，则种花部分图形共有10条边，所以它的周长为×6×10＝20m，故选B．
2. 如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（ ）
A．3.5 B．4 C．7 D．14
答案：A
分析：根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．
解：∵菱形ABCD的周长为28，
∴AB=28÷4=7，OB=OD，
∵E为AD边中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE=AB=×7=3.5．
故选A．
3. 如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1： D．1：
答案：D
分析：首先设设AC，BD相较于点O，由菱形ABCD的周长为8cm，可求得AB=BC=2cm，又由高AE长为cm，利用勾股定理即可求得BE的长，继而可得AE是BC的垂直平分线，则可求得AC的长，继而求得BD的长，则可求得答案．
解：如图，设AC，BD相较于点O，
∵菱形ABCD的周长为8cm，
∴AB=BC=2cm，
∵高AE长为cm，
∴BE==1（cm），
∴CE=BE=1cm，
∴AC=AB=2cm，
∵OA=1cm，AC⊥BD，
∴OB==（cm），
∴BD=2OB=2cm，
∴AC：BD=1：．
故选D．
4. ．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB等于（ ）
A．10 B． C．6 D．5
答案：D
分析：根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=AC，OB=BD，AC⊥BD，
∵AC=8，BD=6，
∴OA=4，OB=3，
∴AB==5，
即菱形ABCD的边长是5．
故选：D．
5. 如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（ ）
A．6米 B．6米 C．3米 D．3米
答案：A
分析：由四边形ABCD为菱形，得到四条边相等，对角线垂直且互相平分，根据∠BAD=60°得到三角形ABD为等边三角形，在直角三角形ABO中，利用勾股定理求出OA的长，即可确定出AC的长．
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD=24÷4=6（米），
∵∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=6（米），OD=OB=3（米），
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：OA==3（米），
则AC=2OA=6米，
故选A．
6. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA=OB；③∠ADB=∠CDB；④△ABC是等边三角形，其中一定成立的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①③
答案：.D
分析：根据菱形的性质即可直接作出判断．
解：根据菱形的对角线互相垂直平分可得：①正确；②错误；
根据菱形的对角线平分一组内角可得③正确．
④错误．
故选D．
7. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
答案：D
分析：根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直．
解：A、不正确，两组对边分别平行；
B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，；
C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；
D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．
故选D．
8. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．4 B．4 C．4 D．28
答案： C
分析：首先利用三角形的中位线定理得出AC，进一步利用菱形的性质和勾股定理求得边长，得出周长即可．
解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF=，
∴AC=2EF=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC=，OB=BD=2，
∴AB==，
∴菱形ABCD的周长为4．
故选：C．
9. 如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（ ）
A．6.5 B．6 C．5.5 D．5
答案： C
分析：根据菱形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，推出平行四边形ABHF、AEGD、GCHO，得出AF=FO=OE=AE和OH=CH=GC=GO，根据菱形的判定得出四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，再解答即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC=AB=CD，AD∥BC，AB∥CD，
∵EG∥AD，FH∥AB，
∴四边形AEOF与四边形CGOH是平行四边形，
∴AF=OE，AE=OF，OH=GC，CH=OG，
∵AE=AF，
∴OE=OF=AE=AF，
∵AE=AF，
∴BC﹣BH=CD﹣DG，即OH=HC=CG=OG，
∴四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，
∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12，
∴4AE﹣4（8﹣AE）=12，
解得：AE=5.5，
故选C
10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE为（ ）．
A． B．6 C．5.5 D．5
答案：A
分析：先根据菱形的性质得AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，再在Rt△OBC中利用勾股定理计算出BC=5，然后利用面积法计算OE的长．
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，
在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，
∴BC==5，
∵OE⊥BC，
∴OE?BC=OB?OC，
∴OE==．
故答案为．故选A。
2、能力提升
非选择题（共5道）
1. 已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC=6cm，则这个菱形的边长为 5 cm．
分析：根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出另一条对角线BD的长．然后根据勾股定理即可求得边长．
解：菱形ABCD的面积=AC?BD，
∵菱形ABCD的面积是24cm2，其中一条对角线AC长6cm，
∴另一条对角线BD的长=8cm；
边长是： =5cm．
故答案为：5．
2. 在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8，则菱形的周长是 ．
分析：AC与BD相交于点O，如图，根据菱形的性质得AC⊥BD，OD=OB=BD=4，OA=OC=AC=3，AB=BC=CD=AD，则可在Rt△AOD中，根据勾股定理计算出AD=5，于是可得菱形ABCD的周长为20．
解：AC与BD相交于点O，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OD=OB=BD=4，OA=OC=AC=3，AB=BC=CD=AD，
在Rt△AOD中，∵OA=3，OB=4，
∴AD==5，
∴菱形ABCD的周长=4×5=20．
故答案为20．
3. 如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为 ．
分析：连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AC⊥BD，AE=CE=AC，BE=DE=BD，由点B的坐标和点D的坐标得出OD=2，求出DE=4，AC=4，即可得出点C的坐标．
解：连接AC、BD交于点E，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE=CE=AC，BE=DE=BD，
∵点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），
∴OD=2，BD=8，
∴AE=OD=2，DE=4，
∴AC=4，
∴点C的坐标为：（4，4）；
故答案为：（4，4）．
4. 菱形0BCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为 （ ） ．
分析：点B的对称点是点D，连接ED，交OC于点P，再得出ED即为EP+BP最短，解答即可．
解：连接ED，如图，
∵点B关于OC的对称点是点D，
∴DP=BP，
∴ED即为EP+BP最短，
∵四边形OBCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB=60°，
∴点D的坐标为（1，），
∴点C的坐标为（3，），
∴可得直线OC的解析式为：y=x，
∵点E的坐标为（0，﹣1），
∴可得直线ED的解析式为：y=（1+）x﹣1，
∵点P是直线OC和直线ED的交点，
∴点P的坐标为方程组的解，
解方程组得：，
所以点P的坐标为（），
故答案为：（）．
5.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.求证：OE＝BC.
分析：先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明OCED是矩形，利用勾股定理即可求出BC=OE．?
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠COD=90°，
∴四边形OCED是矩形，
∴DE=OC，
∵OB=OD，∠BOC=∠ODE=90°，
∴BC= =OE= ，
∴BC=OE．
3、个性创新
选答题（共1-3个）
1.如图所示，等边三角形CEF的边长与菱形ABCD的边长相等.
(1)求证：∠AEF=∠AFE；
(2)求∠B的度数.
分析：本题中比较多的条件是相等的线段，出现了较多的等腰三角形．
（1）根据等腰三角形的性质可以得到∠B=∠BEC，∠D=∠CFD，∠CEF=∠CFE．因而就可以证明：∠AEF=∠AFE．
（2）连接AC，设∠BCE=y，∠B=x，根据三角形内角和定理得到方程组
，求解即可．
解：(1)证明：∵等边三角形CEF的边长与菱形ABCD的边长相等，
∴BC=CE.∴∠B=∠BEC.
同理∠D=∠CFD.
又∵∠B=∠D，∴∠BEC=∠CFD.
∵EC=FC，∴∠CEF=∠CFE.
∵∠BEC+∠CEF+∠AEF=∠CFD+∠CFE+∠AFE=180°，
∴∠AEF=∠AFE.
(2)连接AC.
设∠BCE=y°.∠B=x°.
∵△CEF是等边三角形，∴∠ECF=60°.
又根据对称性得到CA为∠ECF的平分线，因而∠ACE=30°.
∴在△ABC和△BCE中，根据三角形内角和定理分别得到方程组
解得
即∠B的度数是80°.
2.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点．
（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
（2）若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长．
分析：（1）利用菱形的性质结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而求出即可；
（2）利用勾股定理得出BO的长再利用三角形中位线定理得出EF的长．
解：（1）△OEF是等腰三角形，
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，
∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EO=AB，OF=AD，
∴EO=FO，
∴△OEF是等腰三角形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AC=10，
∴AO=5，∠AOB=90°，
∴BO===12，
∴BD=24，
∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EFBD，
∴EF=12．
9.4.3菱形的性质
中考菱形探索题
探索性试题是中考中的热点之一．在中考试题中，出现了一些和相似三角形有关的中考探索试题．为帮助你复习好相似三角形有关内容，现请欣赏几道探索题．
一、条件探索题
条件探索性试题就是给出了结论，要求探索使结论成立所具备的条件．
例1 如图1，点E,F分别是菱形ABCD中BC,CD边上的点（E,F不与B,C,D重合）在不连辅助线的情况下请添加一个条件，说明AE=AF,并证明.
分析:本题主要是考查三角形全等的方法和菱形性质，由菱形性质可知、，若用SAS需要添加条件;若用ASA需要添加条件或;若用ASA需要添加条件∠AEB=∠AFD.
解：添加条件：或或等.
若添加条件.证明如下：四边形是菱形
在和中.
评注：只需添加一条边或一个角满足三角形的判定方法即可，但是需注意添加边时，不能构成SSA的形式.
二、结论探索型
探索结论试题是给出了条件，要求根据所给条件探索可能得到的结论．
例2如图2，在□ABCD中，分别为边的中点，连接．
（1）求证：．
（2）若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论．
分析：（1）问主要考查平行四边形的性质和全等三角形的判定；（2）问主要考查直角三角形的性质和菱形的判定.
解：（1）在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．
∵E，F分别为AB，CD的中点
∴AE=CF 在和中，．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．
证明：，
是，且是斜边（或）
是的中点，．
由题意可知且，
四边形是平行四边形，四边形是菱形.
评注：判定一个四边形是菱形一般是在平行四边形的基础上来判定.
2.图片素材
图1
A
F
D
C
B
E
图2
A
B
C
D
E
F
9.4.3矩形、菱形、正方形
1.学习目标：
1)知识目标
理解菱形的定义及性质，并能应用菱形的性质解决问题。
2)能力目标
养成主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法.
2.学习重难点：
菱形性质和直角三角形的知识的综合应用.
3.学习过程
1）自主学习：
操作：如图，BO是等腰三角形ABC的底边中线，画出△ABC关于点O的中心对称图形。(把点B的对称点记作D)
思考：
（1）所得四边形ABCD的各边有什么特点？我们以前学过这样的四边形吗
（2）所得四边形ABCD的对角线有什么特点？你能证明吗？
2）即时巩固：
概念探究:有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
1.探索：如图，菱形ABCD中，AC、BD相交点O。
(1)图中有哪些相等的线段？哪些相等的角？
（2）菱形的对角线有什么特殊的位置关系？你能说明理由吗？
2.小结：菱形的特殊性质有：
（1）
（2）
3）要点理解：
例3 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD的长分别为、，AC、BD相交于点O。
（1）用含、的代数式表示菱形ABCD的面积s;
（2）若=3cm，=4cm，求菱形ABCD的面积和周长。
4）难点探究：
问题：菱形ABCD可分成几个三角形，你能求出这些三角形的面积吗？
变式：四边形ABCD 中，AC⊥BD,且AC=a，BD=b，求S四边形ABCD
5）点评答疑：
1．菱形具有而矩形不一定具有的特征是( )
A．四条边相等； B．四个内角都相等
C．对角线互相平分； D．对角线互相垂直
2．菱形的两条对角线把菱形分成＿＿＿＿个全等的＿＿＿＿三角.
3． 如果平行四边形ABCD满足条件 (填写一个合适的条件),那么它的对角线AC、BD就互相垂直.
4． 菱形ABCD的两对角线AC、BD长分别为10cm和24cm，求它的周长与面积
5．已知棱形ABCD的周长为8cm，∠ABC=120°，对角线AC和BD相交于点O，求AC和BD的长
6）训练提升：
1．矩形具有而菱形不具有的性质是 ( )
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
2．已知一个菱形的周长是20 cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是 ( )
A．12 cm2x B．24 cm2 C．48 cm2 D．96 cm2
3．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴对应的数分别为－4和1，则BC＝_______．
4．若菱形的两条对角线长分别为2和3，则此菱形的面积是_______．
5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝_______
6．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AD、CD上的两点，且AE＝DF．那么△ABE与△DBF是否全等？为什么？
7．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A<90°，边BC、CA、AB的中点分别是D、E、F，则四边形AFDE是 ( )
A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．梯形
8．如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则此菱形的边长为 ( )
A．5 B．6 C．8 D．10
9．已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值是_______．
10．菱形的两条对角线的长分别是10 cm和24 cm，则菱形的周长是_______cm．
11．如图，活动衣帽架由三个菱形组成，利用四边形的不稳定性，调整菱形的内角α，使衣帽架拉伸或收缩，当菱形的边长为18 cm，α＝120°时，A、B两点的距离为_______cm．
12．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
(1)求证：BD＝EC；
(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
13．如图：已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．
14．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE＝DF．
(1)求证：AE＝AF；
(2)若∠B＝60°，点E、F分别为BC和CD的中点，求证：△AEF是等边三角形．
参考答案
1．B 2．B 3．5 4．3 5． 6．△ABE≌△DBF．
7．A 8．A 9．5 10．52 11．54 12．(1)略 (2)40° 13．(1)略(2)5． 14．略
7）课堂小结：
1．菱形的特殊性质是：
2．求菱形面积的方法有：（1）
（2）
A
B
C
0
D
