苏教版高中数学选修1-1第三章《导数在实际生活中的应用2》自主学习任务单（Word版）

《导数在实际生活中的应用(2)》自主学习任务单
一、学习目标
1．通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决实际问题中的作用，全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值．
2．通过实际问题的研究，促进分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高．
3．掌握利用导数解决函数最值方法及注意点．
二、学习过程
1．导入新课
知识点　生活中的优化问题
（1）生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
（2）利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．
（3）解决优化问题的基本思路是：

上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.

2.问题导学
问题1：上节课我们解决了哪些生活中的实际问题？

问题2：解应用题一般步骤是什么？建立函数关系有哪些注意点？

问题3：利用导数求最优解有哪些注意点？

3.例题导析
例4 强度分别为a,b 的两个光源A，B间的距离为d，试问：在连接这两个光源的线段AB上，何处照度最小？试就a=8，b=1，d＝3时回答上述问题．（照度与光的强度成正比，与光源的距离的平方成反比）．
分析：本题如何表示两光源线段AB上某点的照度．
问题1：如何表示照度？以谁为变量？
问题2：怎么样确定变量的取值范围？
问题3：如何求照度的最小值？



例5 甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 (千米/时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．
（1）把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
分析：成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
问题1：全程的运输成本与时间是否有关？如何求全程的时间？

问题2：运输成本的导数为零的根是否为极值点？如何判断？

4.反馈练习
（1）某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1＝17x2；生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产 千台．
（2）某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．
（1）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数？
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

5.反思总结
（1）利用导数解决生活中优化问题的一般步骤是什么？
（2）利用导数求解是解答应用问题要注意什么？


三、效果检测
1.完成教材习题1.4 感受理解： 第3题，第4题．
2.探究拓展：
（1）某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是 ．

（2）某超市中秋前30天，月饼销售总量f(t)与时间t(0



































《导数在实际生活中的应用2》自主学习任务单
参考答案
1．导入新课
知识点　生活中的优化问题
（1）生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
（2）利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．
（3）解决优化问题的基本思路是：

上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.
2.问题导学
问题1：上节课我们解决了哪些生活中的实际问题？
答：（1）几何方面的应用（面积和体积等的最值）．（2）物理方面的应用（功和功率等最值）．
问题2：解应用题的一般步骤是？建立函数关系有哪些注意点？
解应用题一般有四个要点步骤：设——列——解——答．
建立函数关系的注意点有：如何设变量；建立函数关系后，精确的求出变量的取值范围，也就是函数的定义域．
问题3：利用导数求最优解有哪些注意点？
答：，解方程的根之后要判断是否在定义域内；要说明函数的单调性（列表），比较函数在区间端点和使 的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
3.例题导析
例4 问题1：如何表示照度？以谁为变量？

照度与AB上的点距光源的距离的平方成反比，所以设点P在线段AB上，且P距光源A为x，则P距光源B为3-x；
问题2：怎么样确定变量的取值范围？
因为 ，所以
问题3：如何求照度的最小值？
观察照度函数 我们可以利用导数求函数最值解决．
解答见课本

例5 分析：成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
问题1：全程的运输成本与时间是否有关？如何求全程的时间？
与时间有关，因为已知的是汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，所以最后的运输成本应该乘以时间．时间=路程/速度
问题2：运输成本的导数为零的根是否为极值点？如何判断？
由y＝s＝0得v＝±，与c大小关系不知道，所以不一定为极值点．
要比较大小进行分类讨论．
[错解]　(1)依题意得汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为y＝a·＋bv2·＝s，所求函数及其定义域为y＝s，v∈(0，c]．
(2)由题意知s、a、b、v均为正数，
由y′＝s＝0得v＝±，又0[辨析]　第(2)问中与c未进行比较大小而直接得出结论，故错误．
[正解]　上接错解※处，①若≤c，则v＝是使y的导数为0的点，且当v∈时，y′≤0；v∈时，y′≥0.所以当v＝时，全程运输成本y最小．
②若>c，v∈(0，c]，此时y′<0，即y在(0，c]上为减函数．所以当v＝c时，y最小．
综上可知，为使全程运输成本y最小，当≤c时，行驶速度v＝；当>c时，行驶速度v＝c.
4.反馈练习简明答案
（1）6；
（2）(f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21];定价为18，才能使一个星期的商品销售利润最大．
5.反思总结
（1）利用导数解决生活中优化问题的一般步骤是什么？
答：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系 ；求函数的导数，解方程；判断方程的根是否在定义域内；比较函数在区间端点和使 的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
（2）利用导数求解是解答应用问题要注意什么？
答：正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．
三、效果检测简明答案