9.4.4矩形、菱形、正方形
1、 教学目标
掌握菱形的判别条件并能应用于菱形的判定.
在操作和观察、分析过程中发展主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法.
2.教学重点
菱形的判定定理的综合应用
3、教学难点
菱形的判定定理的综合应用
4、教学过程：
1）课堂导入
我们知道，菱形的四条边相等，对角线互相垂直。反之，如果一个四边形的四条边相等，或一个平行四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形是不是菱形呢？
2）重点讲解
问题：
1．如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA,判断四边形ABCD的形状并说明理由.
证明：∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD,
∴ABCD是菱形
2．如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BD，判断四边形ABCD的形状并说明理由.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
又∵AC⊥BD;
∴BD是AC的垂直平分线
∴BA=BC
∴ABCD是菱形
小结：菱形的判定定理：
（1）四条边相等的四边形是菱形.
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3）问题探究
例4 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与AD、BC分别相交于点E、F。四边形AFCE是菱形吗？为什么？
证明： ∵ AD∥BC ， ∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC, ∠AOE=∠COF.
∴ΔAOE≌ΔCOF.∴OE=OF.
∴四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
4）难点剖析
1．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（ ）
A、对角线垂直 B、两对角线相等
C、两对线互相平分 D、两对角线互相垂直平分
2．一张矩形纸片纸对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）
A、三角形 B、矩形
C、菱形 D、梯形
3．画一个菱形，使它的两条对角线长分别是4cm和2cm.
提炼总结：
证明一个四边形是菱形的方法有：
（1）
（2）先证明是平行四边形，再证明 或者 。
5）训练提升
1．下列命题中正确的是 ( )
A．对角线相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
2．如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则需要添加的条件是 ( )
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
3．如果□ABCD满足条件_______（填写一个合适的条件），那么它的对角线AC、BD就互相垂直．
4．如图所示，DE是□ABCD的∠ADC的平分线，EF∥AD，交DC于F．则四边形AEFD的形状是_______．
5．如图，□ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB＝，AO＝2，OB＝1，则AC、BD的位置关系是_______，四边形ABCD是菱形的理由是_______．
6．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．
(1)求证：四边形BMDN是菱形；
(2)若AB＝4，AD＝8．求MD的长．
7．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定
四边形ABCD为菱形的是 ( )
A．BA＝BC
B．AC、BD互相平分
C．AC＝BD
D．AB∥CD
8．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是 ( )
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
9．如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D．已知AB＝BC＝CD＝DA＝5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是 ( )
A．3公里 B．4公里 C．5公里 D．6公里
10．如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形，其中，正确的有_______（填写序号）．
11．如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件_______，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别与BC、CD交于E、F，EH⊥AB于H，连接FH．求证：四边形CFHE是菱形．
13．如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．
(1)求证：DE∥BF；
(2)若∠G＝90°，那么四边形DEBF是菱形吗？请证明你的结论．
参考答案
1．D 2．C 3．答案不唯一 4．菱形 5．垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6．(1)略 (2)5
7．B 8．B 9．B 10．①②③④ 11．本题答案不唯一
12．略 13．(1)略 (2)四边形DEBF是菱形
5、板书设计：
9.4.4矩形、菱形、正方形
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结
（二）探索新知 例1、例2
（四）课堂练习 练习设计
6、教学反思：
(共15张PPT)
>> 课程名称
9.4.4矩形、菱形、正方形
菱形
1. 平行四边形有哪些性质?矩形、菱形与平行四边形比较有哪些特殊的性质?
平行四边形
边:
角:
对角线:
对边平行且相等
对角相等邻角互补
对角线互相平分
矩形
角:
四个角是直角
对角线:
对角线相等
边:
四条边都相等
对角线:
对角线互相垂直
注：菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半．
>> 情景导入
>> 要点学习
1. 四边形是菱形的条件。
2.培养学生的探究能力。
3. 运用菱形的性质及判定定理定理解决问题．
我们知道，菱形的四条边相等．反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？
探索活动一
已知：
求证：
A
B
C
D
你有什么结论？
>> 问题探究
四边相等的四边形是菱形．
∵在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，
∴四边形ABCD是菱形.
菱形判定定理一：
符号语言：
A
B
C
D
>> 问题探究
我们知道，当平移一个平行四边形活动框架的一边，使这个平行四边形成菱形时，它的两条对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
探索活动二
已知：
求证：
你有什么结论？
A
B
C
D
O
>> 问题探究
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
∵在□ABCD 中，AC⊥BD,
∴□ABCD是菱形.
菱形判定定理二：
符号语言：
A
B
C
D
O
>> 问题探究
例1 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．
求证：四边形AFCE是菱形．
想一想：你有其他证明方法吗？
>> 难点剖析
例2 如图，已知：△ABC中，AD是角平分线，DE∥AB ，DF∥AC．
例题讲解
A
D
B
C
E
F
求证：四边形AEDF是菱形．
1.判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等
的四边形是菱形；
(4)两条邻边相等的四边形是菱形．
√
╳
╳
╳
>> 随堂巩固训练
2.□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 形；
（2）若AC=BD，则□ABCD是 形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形；
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形。
A
B
C
D
O
菱
矩
矩
菱
>> 随堂巩固训练
3.下列命题中正确的是（ ）
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.四个角相等的四边形是菱形
C
4.对角线互相垂直且平分的四边形是（ ）
A.矩形 B.一般的平行四边形
C.菱形 D.以上都不对
C
5.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A.AC⊥BD,AC与BD互相平分
B.AB=BC=CD=DA
C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD
D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD
C
>> 随堂巩固训练
1.如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.
证明：四边形AEDF是菱形吗？
A
B
C
D
E
F
1
2
3
>> 知识拓展
A
B
C
D
O
E
2.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE ∥BD.
求证：四边形OCED是菱形
>> 知识拓展
判定一个平行四边形是菱形
菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
判定1：有四条边相等的四边形是菱形.
判定2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
判断3：对角线垂直且互相平分的四边形是菱形．
A
B
C
D
>> 知识导图
9.4.4矩形、菱形、正方形
1、基础夯实
单项选择题：
1.在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（ ）
A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、梯形
答案：B
知识点：坐标与图形性质；菱形的判定
解析：
解答：画出草图，求得各边的长，再根据特殊四边形的判定方法判断．在平面直角坐标系中画出图后，可发现这个四边形的对角线互相平分，先判断为平行四边形，对角线还垂直，那么这样的平行四边形应是菱形．
分析：动手画出各点后可很快得到四边形对角线的特点．
2.用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（ ）
A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、等腰梯形
答案：B
知识点：等边三角形的性质；菱形的判定
解析：
解答：由题可知，得到的四边形的四条边也相等，得到的图形是菱形．由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，即是菱形．故选B．
分析：本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形．
3.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ）
①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．
A、①③ B、②③ C、③④ D、①②③
答案：A
知识点：菱形的判定；平行四边形的性质
解析：
解答：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．根据菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形可知：①，③正确．故选A．
分析：本题考查菱形的判定，即对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
4.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（ ）
A、正方形 B、等腰梯形 C、菱形 D、矩形
答案：C
知识点：菱形的判定
解析：
解答：首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条彩带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，
所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S?ABCD=BC?AE=CD?AF．又AE=AF．
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选C．
分析：本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．
5.在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（ ）
A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、梯形
答案：B
知识点：等边三角形的性质；菱形的判定
解析：
解答：用两个边长为a的等边三角形拼成的四边形，它的四条边长都为a，根据菱形的定义四边相等的四边形是菱形．根据题意得，拼成的四边形四边相等，则是菱形．故选B．
分析：此题主要考查了等边三角形的性质，菱形的定义．
6.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）
A、等腰梯形 B、正方形 C、矩形 D、菱形
答案：D
知识点：等边三角形的性质；菱形的判定
解析：
解答：由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，即是菱形．由题意可得：得到的四边形的四条边相等，即是菱形．故选D．
分析：本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形．
7.汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（ ）
A、正方形 B、等腰梯形 C、菱形 D、矩形
答案：C
知识点：菱形的判定
解析：
解答：首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，
所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S?ABCD=BC?AE=CD?AF．又AE=AF．
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选C．
分析：本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．
8.能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A、对角线相等且互相垂直 B、对角线相等且互相平分
C、对角线互相垂直 D、对角线互相垂直平分
答案：D
知识点：菱形的判定
解析：
解答：根据菱形的判定方法：对角线互相垂直平分来判断即可．菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．只有D能判定为是菱形，故选D．
分析：本题考查菱形对角线互相垂直平分的判定．
9.四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（ ）
A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形
答案：C
知识点：菱形的判定；平方的非负性
解析：
解答：本题可通过整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，
得到（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2=0，从而得出a=b=c=d，
∴四边形一定是菱形．
解：整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，
2（a2+b2+c2+d2）=2（ab+bc+cd+ad），）
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2=0，
由非负数的性质可知：（a﹣b）=0，（b﹣c）=0，（c﹣d）=0，（a﹣d）=0，
∴a=b=c=d，
∴四边形一定是菱形，
故选C．
分析：此题主要考查了菱形的判定，关键是整理配方式子，还利用了非负数的性质．
10.如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（ ）
A、是正方形 B、是长方形 C、是菱形 D、以上答案都不对
答案：C
知识点：垂径定理；菱形的判定
解析：
解答：根据垂径定理和特殊四边形的判定方法求解．由垂径定理知，OC垂直平分AB，即OC与AB互相垂直平分，所以四边形OACB是菱形．故选C．
分析：本题综合考查了垂径定理和菱形的判定方法．
2、能力提升
非选择题（共5道）
1.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 _________ （只填一个你认为正确的即可）．
答案：AC⊥BD或AB=BC或BC=CD或AB=AD
知识点：菱形的判定
解析：
解答：根据平行四边形的性质和菱形的性质，可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD．四边形ABCD的对角线互相平分，则四边形ABCD为平行四边形，
再依据：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD（答案不唯一）
分析：本题考查平行四边形及菱形的判定．菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
2.如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是_________．
答案：AB=AD或AC⊥BD
知识点：菱形的判定
解析：
解答：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．∴可添加：AB=AD或AC⊥BD．因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB=AD或AC⊥BD．
分析：本题考查菱形的判定，答案不唯一．
3.如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是 _________．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）
答案：AC⊥EF或AF=CF等
知识点：菱形的判定；平行四边形的性质；角平分线的性质
解析：
解答：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．根据平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形，由平行四边形的性质知，对角线互相平分，又对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，可得：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形．
解：则添加的一个条件可以是：AC⊥EF．
证明：∵AD∥BC，
∴∠FAD=∠AFB，
∵AF是∠BAD的平分线，
∴∠BAF=FAD，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
同理ED=CD，
∵AD=BC，AB=CD，
∴AE=CF，
又∵AE∥CF
∴四边形AECF是平行四边形，
∵对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，
则添加的一个条件可以是：AC⊥EF．
分析：本题考查了菱形的判定，利用角的平分线的性质和平行四边形的性质求解，答案不唯一．
4.在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如（1）（2）（5）?ABCD是菱形，再写出符合要求的两个： _________?ABCD是菱形；_________?ABCD是菱形．
答案：（1）（2）（6）?ABCD是菱形；（3）（4）（5）或者（3）（4）（6）?ABCD是菱形．
知识点：菱形的判定
解析：
解答：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
解：（1）（2）（6）?ABCD是菱形．
先由（1）（2）得出四边形是平行四边形，
再由（6）和（2）得出∠DAC=∠DCA，
由等角对等边得AD=CD，
所以平行四边形是菱形．
（3）（4）（5）?ABCD是菱形．
由对角线互相平分且垂直的四边形是菱形．
（3）（4）（6）?ABCD是菱形．
由（3）（4）得出四边形是平行四边形，
再由（6）得出∠DAC=∠DCA，
由等角对等边得AD=CD，
所以平行四边形是菱形．
分析：本题考查菱形的判定．
5.若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件_________（写一个即可），使四边形ABCD是菱形．
答案：AB=BC或者AC⊥BD
知识点：菱形的判定
解析：
解答：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．
解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．可补充条件：AB=BC或AC⊥BD．
分析：主要考查了菱形的特性．菱形的特性：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角．
3、个性创新
选答题（共1-3个）
1.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE．
（1）求证：△ABE≌△ACE；
（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．
分析：本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质和菱形的判定定理，比较容易．
解答：由题意可知三角形三线合一，结合SAS可得△ABE≌△ACE．四边形ABEC相邻两边AB=AC，只需要证明四边形ABEC是平行四边形的条件，当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形．
（1）证明：∵AB=AC，点D为BC的中点，
∴∠BAE=∠CAE，
∵AE=AE
∴△ABE≌△ACE（SAS）．
（2）解：当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，四边形ABEC是菱形
理由如下：
∵AE=2AD，∴AD=DE，
又∵点D为BC中点，
∴BD=CD，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∵AB=AC，
∴四边形ABEC为菱形．
2.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
分析：本题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质和菱形的判定等知识点．
解答：（1）根据题中已知条件不难得出，AD=BC，∠A=∠C，E、F分别为边AB、CD的中点，那么AE=CF，这样就具备了全等三角形判定中的SAS，由此可得出△AED≌△CFB．
（2）直角三角形ADB中，DE是斜边上的中线，因此DE=BE，又由DE=BF，FD∥BE那么可得出四边形BFDE是个菱形．
（1）证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE=CF．
在△AED和△CFB中，
∴△AED≌△CFB（SAS）；
（2）解：若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．
证明：∵AD⊥BD，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°．
∵E是AB的中点，
∴DE=AB=BE．
由题意可知EB∥DF且EB=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∴四边形BFDE是菱形．
3.如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：AE=DF；
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
解答：（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF；
（2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是平行四边形，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AF=DF，从而可证平行四边形AEDF实菱形．
证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，
同理∠DAE=∠FDA，
∵AD=DA，
∴△ADE≌△DAF，
∴AE=DF；
（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴∠DAF=∠FDA．
∴AF=DF．
∴平行四边形AEDF为菱形．
分析：考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况．
4、其他题型（自由添加）
1.已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．
分析：此题主要考查菱形的判定，综合利用了直角三角形的性质和平行线的性质．
解答：由题意易得DE=BE，再证四边形BCDE是平行四边形，即证四边形BCDE是菱形．
证明：∵AD⊥BD，
∴△ABD是Rt△
∵E是AB的中点，
∴BE=AB，DE=AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴BE=DE，
∴∠EDB=∠EBD，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠EBD=∠CDB，
∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，
∵BD=BD，
∴△EBD≌△CBD （ASA ），
∴BE=BC，
∴CB=CD=BE=DE，
∴菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）
2.如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．
分析：此题主要考查全等三角形和菱形的判定．
解答：（1）由SSS可证△ABC≌△DCB；（2）BN=CN，可先证明四边形BMCN是平行四边形，由（1）知，∠MBC=∠MCB，可得BM=CM，于是就有四边形BMCN是菱形，则BN=CN．
（1）证明：如图，在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC，AC=DB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB；
（2）解：据已知有BN=CN．证明如下：
∵CN∥BD，BN∥AC，
∴四边形BMCN是平行四边形，
由（1）知，∠MBC=∠MCB，
∴BM=CM（等角对等边），
∴四边形BMCN是菱形，
∴BN=CN．
9.4.4矩形、菱形、正方形
菱形的判定方法的应用
菱形是特殊的平行四边形，它的常用判定方法有：
（1）四条边都相等的四边形是菱形；
（2）有一组临边相等的平行四边形是菱形；
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
下面，就给同学们说说如何应用这些方法进行判定一个四边形是菱形。
一、四条边都相等的四边形是菱形
例1（郴州）如图1，ΔABC为等腰三角形，把它沿底边BC翻折后，得到ΔDBC．请你判断四边形ABDC的形状，并说出你的理由．
分析：翻折就是对称，也就是全等。
解：四边形ABCD为菱形。 理由是：
由翻折，得：△ABC≌△DBC．
所以，
因为，△ABC为等腰三角形，
所以，
所以，AC＝CD＝AB＝BD，
故，四边形ABCD为菱形
点评：本题主要是应用对称的知识得出一组临边相等，在运用等腰三角形的两腰相等得到四条边都相等来解答。
二、有一组临边相等的平行四边形是菱形
例2（永州）如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB
（1）求证：四边形EFCD是菱形；
（2）设CD＝4，求D、F两点间的距离．
分析：在四边形EFCD中，由题意我们知道有一组临边ED和CD相等是很容易得到的，只要在说明这个四边形是平行四边形即可以。
（1）证明：
与都是等边三角形
又
EF∥CD，
四边形EFCD是平行四边形，
平行四边形是菱形。
（2）解：连结，与相交于点
由，可知
点评：观察是解答问题的途径和窗口。
三、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
例3（上海）如图，已知平行四边形中，对角线交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．
求证：四边形是菱形；
分析：本题主要是利用等边三角形顶角的平分线、底边上的高和中线三线合一，得出AC⊥BD，然后在利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
证明：在平行四边形中，
AO=OC,
又因为，是等边三角形，
所以，OC是底边AC上的中线，也是底边上的高
即AC⊥BD，
所以，平行四边形是菱形。
点评：判定方法的确定要依据题目的特征来选择，要因题而宜，灵活运用。
以一当十：
1、（无锡）如图，四边形中，，平分，交于．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若点是的中点，试判断的形状，并说明理由．
参考答案：
1、（1），即，又，
四边形是平行四边形．
AC平分，，
又AD∥CE，，，，
四边形是菱形．
（2）是中点，．又，，
，
，
，．
即，是直角三角形．
2.图片素材
图1
E
C
D
B
A
O
9.4.4矩形、菱形、正方形
1.学习目标：
1)知识目标
掌握菱形的判别条件并能应用于菱形的判定.
在操作和观察、分析过程中发展主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法
2)能力目标
菱形的判定定理的综合应用
2.学习重难点：
菱形的判定定理的综合应用
3.学习过程
1）自主学习：
问题：我们知道，菱形的四条边相等，对角线互相垂直。反之，如果一个四边形的四条边相等，或一个平行四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形是不是菱形呢？
1．如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA,判断四边形ABCD的形状并说明理由.
2．如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BD，判断四边形ABCD的形状并说明理由.
2）即时巩固：
1．小明星期天在家用木条和纸做了一个菱形的风筝，你能帮小明想个办法，验证一下这个菱形做得是否准确吗？
2．小结：菱形的判定定理：
（1）
（2）
3）要点理解：
例4 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与AD、BC分别相交于点E、F。四边形AFCE是菱形吗？为什么？
问题1：由EF垂直平分AC，
你能得到什么？
问题2：要证明一个四边形是菱形，有哪些方法？在此题中适用吗？试一试。
变式：如上图，把平行四边形ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合。试判断四边形AECF的形状，并说明理由。
4）难点探究：
1．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（ ）
A、对角线垂直 B、两对角线相等
C、两对线互相平分 D、两对角线互相垂直平分
2．一张矩形纸片纸对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）
A．三角形 B．矩形
C．菱形 D．梯形
3．画一个菱形，使它的两条对角线长分别是4cm和2cm.
4．在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AB、CD的延长线分别相交于点E、F，四边形AFCE是菱形吗？
说明你的理由.
5．矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，AE//DB，AE、DE交于点E，请问：四边形DOAE是什么四边形？请说明理由
5）点评答疑：
证明一个四边形是菱形的方法有：
（1）
（2）先证明是平行四边形，再证明 或者 。
6）训练提升：
1．下列命题中正确的是 ( )
A．对角线相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
2．如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则需要添加的条件是 ( )
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
3．如果□ABCD满足条件_______（填写一个合适的条件），那么它的对角线AC、BD就互相垂直．
4．如图所示，DE是□ABCD的∠ADC的平分线，EF∥AD，交DC于F．则四边形AEFD的形状是_______．
5．如图，□ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB＝，AO＝2，OB＝1，则AC、BD的位置关系是_______，四边形ABCD是菱形的理由是_______．
6．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．
(1)求证：四边形BMDN是菱形；
(2)若AB＝4，AD＝8．求MD的长．
7．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定
四边形ABCD为菱形的是 ( )
A．BA＝BC
B．AC、BD互相平分
C．AC＝BD
D．AB∥CD
8．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是 ( )
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
9．如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D．已知AB＝BC＝CD＝DA＝5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是 ( )
A．3公里 B．4公里 C．5公里 D．6公里
10．如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形，其中，正确的有_______（填写序号）．
11．如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件_______，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别与BC、CD交于E、F，EH⊥AB于H，连接FH．求证：四边形CFHE是菱形．
13．如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．
(1)求证：DE∥BF；
(2)若∠G＝90°，那么四边形DEBF是菱形吗？请证明你的结论．
参考答案
1．D 2．C 3．答案不唯一 4．菱形 5．垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6．(1)略 (2)5
7．B 8．B 9．B 10．①②③④ 11．本题答案不唯一
12．略 13．(1)略 (2)四边形DEBF是菱形
7）课堂小结：
谈谈你这节课的收获有哪些？
