2020中考数学重难点专练一 新定义型问题（含答案解析）

2020中考数学重难点专01 新定义型问题
【命题趋势】
新定义型问题是中考数学的热点问题，一般为小题（选择题或填空题）。这种类型的问题通常不会单独考查，往往会结合初中数学中某个知识点进行命题，进而既能考查初中数学中某个知识点的掌握情况，又能考查学生的自学能力和分析问题、解决问题的能力．这种类型的问题往往与代数知识结合的比较多，所以同学们一定要重视，一般这种类型的问题难度不大，平时多注意对这种问题的训练拿下这个问题不是难事．
新定义型问题是在问题中定义了初中数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.一般有三种类型问题：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂;（3）定义新概念.这类试题考查考生对＂新定义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.
【满分技巧】
一．读懂题目，搜集信息，理解本质﹕
要想做好这类新定义型问题，关键在于读懂题目中所给新定义的信息，真正理解新概念的本质．题目中可能会给出很多信息，有些是无关紧要的，有些是重要的，我们一定要抓住关键词，关键信息，彻底弄懂其问题的本质，这是我们解决问题的关键所在．
二．新定义型问题一般与代数知识结合较多，多关注初中数学中以下几个部分的代数知识﹕
实数的运算→高中的虚数的运算、数列的求和等知识．
反比例函数，一次函数，二次函数→幂函数或指数函数
一元一次、一元二次方程、分式方程→指数方程、三角方程等特殊方程
物理力学→向量的运算（平行四边形法则）
其他类型
三．熟练掌握和运用数学的常用思想方法
我们在解决新定义型问题时，往往都是利用现有的知识结合一些重要的数学思想方法去解决新定义的问题，比如，我们用初中所学的实数的知识结合类比和转化的数学思想方法来解决复数或者虚数的一些问题等等．所以一定要把未学的问题转化成已学的数学问题，利用现有的知识和方法，结合转化、类比等数学思想解决问题．
【限时检测】（建议用时：30分钟）
选择题
1. (2019 湖南省株洲市)从﹣1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作ak，bk）构成一个数组MK＝{ak，bk}（其中k＝1，2…S，且将{ak，bk}与{bk，ak}视为同一个数组），若满足：对于任意的Mi＝{ai，bi}和Mj＝{ai，bj}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi≠aj+bj，则S的最大值（　　）
A．10 B．6 C．5 D．4
2. (2019 四川省达州市) a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（　　）
A．5 B．﹣ C． D．
3. (2019 广西玉林市)定义新运算：，例如：，，则的图象是　　
A． B．
C． D．
二、填空题
4. (2019 河北省)如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
示例：即4+3＝7
则（1）用含x的式子表示m＝　 　；
（2）当y＝﹣2时，n的值为　 　．
5. (2019 湖北省荆州市)对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x），即当n为非负整数时，若n﹣0.5≤x＜n+0.5，则（x）＝n．如（1.34）＝1，（4.86）＝5．若（0.5x﹣1）＝6，则实数x的取值范围是　 　．
6. (2019 湖北省十堰市)对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝　 　．
7. (2019 湖北省襄阳市)定义：a*b＝，则方程2*（x+3）＝1*（2x）的解为　 　．
8. (2019 湖南省常德市)规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是　 　．（填序号）
9. (2019 湖南省怀化市)探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是　 　．
10. (2019 湖南省娄底市)已知点，到直线的距离可表示为，例如：点到直线的距离．据此进一步可得两条平行线和之间的距离为　　．
11. (2019 湖南省湘西市)阅读材料：设＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果∥，则x1?y2＝x2?y1，根据该材料填空，已知＝（4，3），＝（8，m），且∥，则m＝　 　．
12. (2019 江苏省连云港市)如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C的坐标可表示为　 　．
13. (2019 山东省德州市)已知：表示不超过的最大整数．例：，．现定义：，例：，则　　．
14. (2019 山东省临沂市)一般地，如果x4＝a（a≥0），则称x为a的四次方根，一个正数a的四次方根有两个．它们互为相反数，记为±，若＝10，则m＝　 　．
15. (2019 上海市)已知，那么　　．
16. (2019 四川省遂宁市)阅读材料：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i；
（2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i；
（4+i）（4﹣i）＝16﹣i2＝16﹣（﹣1）＝17；
（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i
根据以上信息，完成下面计算：
（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝　 　．
17. (2019 重庆市)《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数﹣“纯数”．
定义；对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，
例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；
23不是“纯数”，因为计算23+24+25时，个位产生了进位．
（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数．
2020中考数学重难点专01 新定义型问题
【命题趋势】
新定义型问题是中考数学的热点问题，一般为小题（选择题或填空题）。这种类型的问题通常不会单独考查，往往会结合初中数学中某个知识点进行命题，进而既能考查初中数学中某个知识点的掌握情况，又能考查学生的自学能力和分析问题、解决问题的能力．这种类型的问题往往与代数知识结合的比较多，所以同学们一定要重视，一般这种类型的问题难度不大，平时多注意对这种问题的训练拿下这个问题不是难事．
新定义型问题是在问题中定义了初中数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.一般有三种类型问题：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂;（3）定义新概念.这类试题考查考生对＂新定义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.
【满分技巧】
一．读懂题目，搜集信息，理解本质﹕
要想做好这类新定义型问题，关键在于读懂题目中所给新定义的信息，真正理解新概念的本质．题目中可能会给出很多信息，有些是无关紧要的，有些是重要的，我们一定要抓住关键词，关键信息，彻底弄懂其问题的本质，这是我们解决问题的关键所在．
二．新定义型问题一般与代数知识结合较多，多关注初中数学中以下几个部分的代数知识﹕
实数的运算→高中的虚数的运算、数列的求和等知识．
反比例函数，一次函数，二次函数→幂函数或指数函数
一元一次、一元二次方程、分式方程→指数方程、三角方程等特殊方程
物理力学→向量的运算（平行四边形法则）
其他类型
三．熟练掌握和运用数学的常用思想方法
我们在解决新定义型问题时，往往都是利用现有的知识结合一些重要的数学思想方法去解决新定义的问题，比如，我们用初中所学的实数的知识结合类比和转化的数学思想方法来解决复数或者虚数的一些问题等等．所以一定要把未学的问题转化成已学的数学问题，利用现有的知识和方法，结合转化、类比等数学思想解决问题．
【限时检测】（建议用时：30分钟）
选择题
1. (2019 湖南省株洲市)从﹣1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作ak，bk）构成一个数组MK＝{ak，bk}（其中k＝1，2…S，且将{ak，bk}与{bk，ak}视为同一个数组），若满足：对于任意的Mi＝{ai，bi}和Mj＝{ai，bj}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi≠aj+bj，则S的最大值（　　）
A．10 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【解析】∵﹣1+1＝0，﹣1+2＝1，﹣1+4＝3，1+2＝3，1+4＝5，2+4＝6，
∴ai+bi共有5个不同的值．
又∵对于任意的Mi＝{ai，bi}和Mj＝{ai，bj}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi≠aj+bj，
∴S的最大值为5．
故选：C．
2. (2019 四川省达州市) a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（　　）
A．5 B．﹣ C． D．
【答案】D
【解析】分析根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2019除以3，根据余数的情况确定出与a2019相同的数即可得解．
∵a1＝5，
a2＝＝＝﹣，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝5，
…
∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，
∵2019÷3＝673，
∴a2019＝a3＝，
故选：D．
3. (2019 广西玉林市)定义新运算：，例如：，，则的图象是　　
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】分析根据题目中的新定义，可以写出函数解析式，从而可以得到相应的函数图象，本题得以解决．
，
，
故选：D．
二、填空题
4. (2019 河北省)如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
示例：即4+3＝7
则（1）用含x的式子表示m＝　 　；
（2）当y＝﹣2时，n的值为　 　．
【答案】3x;1
【解析】（1）根据约定的方法可得：
m＝x+2x＝3x；
故答案为：3x；
（2）根据约定的方法即可求出n
x+2x+2x+3＝m+n＝y．
当y＝﹣2时，5x+3＝﹣2．
解得x＝﹣1．
∴n＝2x+3＝﹣2+3＝1．
故答案为：1．
5. (2019 湖北省荆州市)对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x），即当n为非负整数时，若n﹣0.5≤x＜n+0.5，则（x）＝n．如（1.34）＝1，（4.86）＝5．若（0.5x﹣1）＝6，则实数x的取值范围是　 　．
【答案】13≤x＜15
【解析】依题意得：6﹣0.5≤0.5x﹣1＜6+0.5
解得13≤x＜15．
故答案是：13≤x＜15．
6. (2019 湖北省十堰市)对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝　 　．
【答案】﹣3或4
【解析】根据题意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，
（2m﹣1）2﹣49＝0，
（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，
2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0，
所以m1＝﹣3，m2＝4．
故答案为﹣3或4．
7. (2019 湖北省襄阳市)定义：a*b＝，则方程2*（x+3）＝1*（2x）的解为　 　．
【答案】x＝1
【解析】2*（x+3）＝1*（2x），
＝，
4x＝x+3，
x＝1，
经检验：x＝1是原方程的解，
故答案为：x＝1．
8. (2019 湖南省常德市)规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是　 　．（填序号）
【答案】①②③
【解析】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；
②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；
③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；
④设点P（m，m2），则Q（m，﹣1），
∴MP＝＝，PQ＝+1，
∵点P在第一象限，
∴m＞0，
∴MP＝+1，
∴MP＝PQ，
又∵MN∥PQ，
∴四边形PMNQ是广义菱形．
④正确；
故答案为①②③；
9. (2019 湖南省怀化市)探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是　 　．
【答案】n﹣1
【解析】由题意“分数墙”的总面积＝2×+3×+4×+…+n×＝n﹣1，
故答案为n﹣1．
10. (2019 湖南省娄底市)已知点，到直线的距离可表示为，例如：点到直线的距离．据此进一步可得两条平行线和之间的距离为　　．
【答案】
【解析】当时，，即点在直线上，
因为点到直线的距离为：，
因为直线和平行，
所以这两条平行线之间的距离为．
故答案为．
11. (2019 湖南省湘西市)阅读材料：设＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果∥，则x1?y2＝x2?y1，根据该材料填空，已知＝（4，3），＝（8，m），且∥，则m＝　 　．
【答案】6
【解析】∵＝（4，3），＝（8，m），且∥，
∴4m＝3×8，
∴m＝6；
故答案为6；
12. (2019 江苏省连云港市)如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C的坐标可表示为　 　．
【答案】（2，4，2）
【解析】根据题意得，点C的坐标可表示为（2，4，2），
故答案为：（2，4，2）．
13. (2019 山东省德州市)已知：表示不超过的最大整数．例：，．现定义：，例：，则　　．
【答案】0.7
【解析】根据题意可得：{}+{-}-{1}=-3-+2-1+1=， 故答案为：
14. (2019 山东省临沂市)一般地，如果x4＝a（a≥0），则称x为a的四次方根，一个正数a的四次方根有两个．它们互为相反数，记为±，若＝10，则m＝　 　．
【答案】±10
【解析】∵＝10，
∴m4＝104，
∴m＝±10．
故答案为：±10
15. (2019 上海市)已知，那么　　．
【答案】0
【解析】当时，．
故答案为：0．
16. (2019 四川省遂宁市)阅读材料：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i；
（2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i；
（4+i）（4﹣i）＝16﹣i2＝16﹣（﹣1）＝17；
（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i
根据以上信息，完成下面计算：
（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝　 　．
【答案】7﹣i
【解析】（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝2﹣i+4i﹣2i2+4+i2﹣4i
＝6﹣i﹣i2
＝6﹣i+1
＝7﹣i．
故答案为：7﹣i．
17. (2019 重庆市)《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数﹣“纯数”．
定义；对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，
例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；
23不是“纯数”，因为计算23+24+25时，个位产生了进位．
（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数．
【解析】当n＝2019时，n+1＝2020，n+2＝2021，
∵个位是9+0+1＝10，需要进位，
∴2019不是“纯数”；
当n＝2020时，n+1＝2021，n+2＝2022，
∵个位是0+1+2＝3，不需要进位，十位是2+2+2＝6，不需要进位，百位为0+0+0＝0，不需要进位，千位为2+2+2＝6，不需要进位，
∴2020是“纯数”；
（2）由题意可得，
连续的三个自然数个位数字是0，1，2，其他位的数字为0，1，2，3时，不会产生进位，
当这个数是一位自然数时，只能是0，1，2，共三个，
当这个自然数是两位自然数时，十位数字是1，2，3，个位数是0，1，2，共九个，
当这个数是三位自然数是，只能是100，
由上可得，不大于100的“纯数”的个数为3+9+1＝13，
即不大于100的“纯数”的有13个．