沪科版九年级数学下册《第24章 圆》单元测试卷及解析

沪科版九年级数学下册《第24章圆》单元测试卷及解析
一、选择题（本大题共10小题，共50分）
如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=( ? )
A. 5B. 7C. 9D. 11
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为(????)
A. 30°B. 50°C. 60°D. 70°
如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为(????)
A. 22B. 4C. 42D. 8
如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于(????)
A. 255B. 55C. 2D. 12
下列命题中，真命题的个数是(????)①平分弦的直径垂直于弦；②圆内接平行四边形必为矩形；③90°的圆周角所对的弦是直径；④任意三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等．
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=22，以BC的中点O为圆心⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，则DE的长为(????)
A. π4B. π2C. πD. 2π
已知：如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为(????)
A. 30°B. 35°C. 45°D. 70°
如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和BC的长分别为(????) ??
A. 2，π3 B. 23，π C. 3，2π3 D. 23，4π3
已知圆锥的底面面积为9πcm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是(????)
A. 18πcm2 B. 27πcm2 C. 18cm2 D. 27cm2
如图，等腰直角△ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为(结果保留π)(????)
A. 16B. 24?4πC. 32?4πD. 32?8π
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=10，CD=12，则四边形ABCD的周长为______．
如图，⊙O的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B.连接OA，OB，AB，PO，若∠APB=60°，则△PAB的周长为______．
如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC=1，则AE?BE=______．
如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于______．
三、计算题（本大题共2小题，共20分）
如图，已知⊙O的直径d=10，弦AB与弦CD平行，它们之间的距离为7，且AB=6，求弦CD的长．

如图，BD为⊙O的直径，点A是劣弧BC的中点，AD交BC于点E，连结AB．(1)求证：AB2=AE?AD；(2)若AE=2，ED=4，求图中阴影的面积．

四、解答题（本大题共5小题，共60分）
如图，⊙C经过原点，并与两坐标轴分别相交于A，D两点，已知∠OBA=30°，点A的坐标为(4,0)，求圆心C的坐标．

如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连接CD交AB于点E．求证：(1)PD=PE；(2)PE2=PA?PB．

已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．(1)求证：BD=CD；(2)如果AB2=AO?AD，求证：四边形ABDC是菱形．

如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．(1)证明：DE为⊙O的切线；(2)若BC=4，求DE的长．

已知：△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，点D是边AB上的一点，过C，D两点的⊙O分别与边CA，CB交于点E，F． (1)若点D是AB的中点，①在图1中用尺规作出一个符合条件的图形(保留作图痕迹，不写作法)；②如图2，连结EF，若EF//AB，求线段EF的长；③请写出求线段EF长度最小值的思路．(2)如图3，当点D在边AB上运动时，线段EF长度的最小值是______．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题.根据⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，可以求得AN的长，从而由勾股定理可以求得ON的长．【解答】
解：由题意可得，OA=13，ON⊥AB，∴∠ONA=90°，∴AN=BN=12，∴ON=OA2?AN2=132?122=5，故选A．
2.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，解答本题的关键是掌握圆周角定理的推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得∠ABD=∠ACD，从而可得到∠BAD的度数．【解答】解：连接BD， ∵∠ACD=30°，∴∠ABD=∠ACD=30°，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°?∠ABD=60°．故选C．3.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=22OC=22，然后利用CD=2CE进行计算．【解答】解：如图， ∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=22OC=22，∴CD=2CE=42．故选C．4.【答案】D
【解析】解：∵∠DAB=∠DEB，∴tan∠DAB=tan∠DEB=12．故选：D．根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解．此题主要考查了圆周角定理(同弧或等弧所对的圆周角相等)和正切的概念，正确得出相等的角是解题关键．5.【答案】C
【解析】【分析】根据垂径定理、圆内接四边形的性质、圆周角定理、过不在同一直线上的三个点确定一个圆即可对每一种说法的正确性作出判断．本题考查了垂径定理、圆内接四边形的性质、圆周角定理和过不在同一直线上的三个点确定一个圆，准确掌握各种定理是解题的关键．【解答】
解：∵平分弦(不能是直径)的直径垂直于弦，故①错误；∵圆内接四边形对角互补，平行四边形对角相等，∴圆的内接平行四边形中，含有90°的内角，即为矩形，故②正确；∵由圆周角定理的推论可知：90°的圆周角所对的弦是直径，故③正确；∵经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故④错误；∵由圆周角定理可知：同弧或等弧所对的圆周角相等．故⑤正确，∴真命题的个数为3个，故选C．
6.【答案】B
【解析】【分析】本题考查切线的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，弧长的计算，解题的关键是连接OE、OD后利用中位线的性质求出半径r的值，本题属于中等题型．【解析】解：连接OE、OD，设半径为r，∵⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，∴OE⊥AC，OD⊥AB，∵∠A=90°，∴∠EOD=90°，∵O是BC的中点，∴OD是中位线，∴OD=AE=12AC，∴AC=2r，同理可知：AB=2r，∴AB=AC，∵BC=22∴由勾股定理可知?AB2+AC2=BC2，即8r2=8，∴r=1，∴DE=90π×1180=π2故选B．7.【答案】B
【解析】【分析】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、圆心角与弧的关系定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．先根据垂径定理得出AB=AC，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：如图，连接OC． ∵OA⊥BC，∴AB=AC，∴∠AOC=∠AOB=70°，∴∠ADC=12∠AOC=35°．故选B．8.【答案】D
【解析】解：连接OB， ∵OB=4，∴BM=2，∴OM=OB2?BM2=42?22=23，BC=60π×4180=43π，故选：D．正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．9.【答案】A
【解析】解：∵圆锥的底面积为9πcm2，∴圆锥的底面半径为3，∵母线长为6cm，∴侧面积为3×6π=18πcm2，故选：A．首先根据圆锥的底面积求得圆锥的底面半径，然后代入公式求得圆锥的侧面积即可．本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的侧面积的计算方法，难度不大．10.【答案】B
【解析】【分析】连接AD，因为△ABC是等腰直角三角形，故∠ABD=45°，再由AB是圆的直径得出∠ADB=90°，故△ABD也是等腰直角三角形，所以AD=BD，S阴影=S△ABC?S△ABD?S弓形AD由此可得出结论．本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出三角形及扇形是解答此题的关键．【解答】解：连接AD，OD，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°．∵AB是圆的直径，∴∠ADB=90°，∴△ABD也是等腰直角三角形，∴AD=BD．∵AB=8，∴AD=BD=42，∴S阴影=S△ABC?S△ABD?S弓形AD=S△ABC?S△ABD?(S扇形AOD?12S△ABD)=12×8×8?12×42×42?90π×42360+12×12×42×42=16?4π+8=24?4π．故选B．11.【答案】44
【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AD+BC=AB+CD=22，∴四边形ABCD的周长=AD+BC+AB+CD=44，故答案为：44．根据圆外切四边形的对边之和相等求出AD+BC，根据四边形的周长公式计算即可．本题考查的是切线长定理，掌握圆外切四边形的对边之和相等是解题的关键．12.【答案】33
【解析】【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质，锐角三角函数定义，等边三角形的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键．根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，推出△PAB是等边三角形，根据锐角三角函数定义得到PA=3AO=3，于是得到结论．【解答】解：∵PA、PB是半径为1的⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，而∠APB=60°，∴∠APO=30°，△PAB是等边三角形，∴在Rt△APO中，，∴△PAB的周长=3PA=33．故答案为33．13.【答案】1
【解析】解：如图连接OE． ∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，∴OE⊥AB，AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAD=∠OAE，∠OBC=∠OBE，∴AD//BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠AOB=90°，∵∠OAE+∠AOE=90°，∠AOE+∠BOE=90°，∴∠EAO=∠EOB，∵∠AEO=∠OEB=90°，∴△AEO∽△OEB，∴AEOE=OEBE，∴AE?BE=OE2=1，故答案为1．想办法证明△AEO∽△OEB，可得AEOE=OEBE，推出AE?BE=OE2=1．本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．14.【答案】5π
【解析】解：由图形可知，圆心先向前走OO1的长度，从O到O1的运动轨迹是一条直线，长度为14圆的周长，然后沿着弧O1O2旋转14圆的周长，则圆心O运动路径的长度为：14×2π×5+14×2π×5=5π，故答案为：5π．根据题意得出半圆在无滑动旋转中通过的路程为12圆弧，根据弧长公式求出弧长即可．本题考查的是弧长的计算和旋转的知识，解题关键是确定半圆作无滑动翻转所经过的路线并求出长度．15.【答案】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，则AM=12AB=3，∵AB//CD，∴点M、O、N在同一条直线上，在Rt△AOM中，OM=OA2?AM2=4，∴ON=MN?OM=3，在Rt△CON中，CN=OC2?ON2=4，∵ON⊥CD，∴CD=2CN=8．
【解析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，根据垂径定理求出AM，根据勾股定理求出OM，根据题意求出ON，根据勾股定理、垂径定理计算即可．本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．16.【答案】解：(1)∵点A是劣弧BC的中点，∴∠ABC=∠ADB．又∵∠BAD=∠EAB∴△ABE∽△ADB．∴ABAE=ADAB，∴AB2=AE?AD．(2)连OA，∵AE=2，ED=4，由(1)可知AB2=AE?AD，∴AB2=AE?AD=AE(AE+ED)=2×6=12． ∴AB=23(舍去负值)，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°，在Rt△ABD中，BD=AB2+AD2=12+36=43，∴OB=23．∴OA=OB=AB=23，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB=60°．∴S阴影=S扇形AOB?S△AOB=60×π×(23)2360?12×23×3=2π?33．
【解析】(1)点A是劣弧BC的中点，即可得∠ABC=∠ADB，又由∠BAD=∠EAB，即可证得△ABE∽△ADB，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得AB2=AE?AD；(2)由(1)可知AB2=AE?AD，可求AB的长，根据勾股定理求出BD长，得出△AOB为等边三角形，利用S阴影=S扇形AOB?S△AOB即可得解．此题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理、扇形的面积计算以及勾股定理等知识．17.【答案】解：如图所示，连接OC、AC，过点C作CM⊥OA于点M， ∵∠OBA=30°，∴∠OCA=60°，又OC=AC，∴△OCA为等边三角形，则OM=12OA，点A的坐标为(4,0)，∴OA=OC=4，OM=2，在Rt△OMC中，CM=OC2?OM2=23，故点C的坐标为：(2,23).
【解析】本题考查坐标与图形性质，圆周角定理，等边三角形性质及勾股定理的简单应用，属于中档题．通过同弧所对圆周角与圆心角的关系，求出∠OCA=60°，进而得到△OCA为等边三角形，通过计算即可求得．18.【答案】证明：(1)连接OC、OD， ∵C是半圆ACB的中点∴∠COA=∠COB∵∠COA+∠COB=180°∴∠COA=∠COB=90°∴OC⊥AB．∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥PD．∴∠PDE=90°?∠ODE，∠PED=∠CEO=90°?∠OCE，又∵OC=OD，∴∠OCE=∠ODE，∴∠PDE=∠PED．∴PE=PD；(2)如上图：连接AD、BD，∴∠ADB=90°．∵∠BDP=90°?∠ODB，∠A=90°?∠OBD，又∵∠OBD=∠ODB，∴∠BDP=∠A，∵∠P=∠P，∴△PDB∽△PAD．∴PDPB=PAPD，∴PD2=PA?PB．∴PE2=PA?PB．
【解析】此题主要考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，能够正确的构建出相似三角形是解答(2)题的关键．(1)求PD=PE，可证所对的角相等；连接OC、OD，C是半圆ACB的中点，则CO⊥AB；由切线的性质易知OD⊥PD，则∠CEO和∠PDE是等角的余角，所以∠CEO=∠PDE，而∠CEO和∠PED是对顶角，等量代换后，根据等腰三角形的判定即可证得所求的结论；(2)由于PD=PE，证PD2=PA?PB，可将乘积式化为比例式，然后证对应的三角形相似即可，即连接AD、BD，证明△PBD∽△PDA即可．19.【答案】证明：(1)如图1，连接BC，OB，OC， ∵AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，∴A在BC的垂直平分线上，∵OB=OA=OC，∴O在BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC，∴BD=CD； (2)如图2，连接OB， ∵AB2=AO?AD，∴ABAO=ADAB，∵∠BAO=∠DAB，∴△ABO∽△ADB，∴∠OBA=∠ADB，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB，∴∠OAB=∠BDA，∴AB=BD，∵AB=AC，BD=CD，∴AB=AC=BD=CD，∴四边形ABDC是菱形．
【解析】(1)连接BC，根据AB=AC，OB=OA=OC，即可得出AD垂直平分BC，根据线段垂直平分线性质求出即可；(2)根据相似三角形的性质和判定求出∠ABO=∠ADB=∠BAO，求出BD=AB，再根据菱形的判定推出即可．本题考查了相似三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，垂径定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．20.【答案】(1)证明：连接OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠B，∵AC=BC，∴∠A=∠B，∴∠ODB=∠A，∴OD//AC，∴∠ODE=∠DEA=90°，∴DE为⊙O的切线； (2)解：连接CD，∵BC为直径，∴∠ADC=90°，∵∠A=30°，又∵AC=BC=4，∴AD=AC?cos30°=4×32=23，∴DE=12AD=3．
【解析】(1)连接OD，由平行线的判定定理可得OD//AC，利用平行线的性质得∠ODE=∠DEA=90°，可得DE为⊙O的切线；(2)连接CD，由BC为直径，利用圆周角定理可得∠ADC=90°，由∠A=30°，AC=BC=4，利用锐角三角函数可得DE．本题主要考查了切线的判定、，圆周角定理，平行线的性质及判定定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．21.【答案】解：(1)①如图1所示： ②如图2，连结CD，FD， ∵AC=6，BC=8，AB=10，∴AC2+BC2=AB2∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∴EF是⊙O的直径，∵D是AB中点，∴DA=DB=DC=5，∴∠B=∠DCB，∵EF//AB，∴∠A=∠CEF，∵∠CDF=∠CEF，∴∠A=∠CDF，∵∠A+∠B=90°，∴∠CDF+∠DCB=90°，∴∠CFD=90°，∴CD是⊙O的直径，∴EF=CD=5，③由AC2+BC2=AB2可得∠ACB=90°，所以，EF是⊙O的直径．由于CD是⊙O的弦，所以，有EF≥CD，所以，当CD是⊙O的直径时，EF最小，(2)245．
【解析】【分析】此题是圆的综合题，主要考查了基本作图，直角三角形的判定，圆的性质，三角形的面积公式，判断出CD是直径是EF最小，是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．(1)①先作出CD的垂直平分线，即可作出图形；②先判断出△ABC是直角三角形，即可得出，EF是⊙O的直径，再用平行线的性质和同弧所对的圆周角相等得出∠A=∠CDF，进而得出∠CFD=90°，得出判断出CD是直径即可；③利用圆中直径大于等于圆中任何一条弦即可得出CD是直径时，EF最小；(2)先得出CD⊥AB时，CD最小，即：EF最小，最后用面积公式即可求出．【解答】
解：(1)①见答案，②见答案，③见答案；(2)如图3，由(1)③知，CD是⊙O的直径时，EF最小，即：最小值为CD，当点D在边AB上运动时，只有CD⊥AB时，CD最小， 由(1)②知，△ABC是直角三角形，∴S△ABC=12AC?BC=12AB?CD，∴AC?BC=AB?CD，∴CD=AC?BCAB=6×810=245，故答案为：245．