2020中考数学重难点专练六 二次函数综合题（含答案解析）

2020中考数学重难点专练06 二次函数综合题
【命题趋势】
首先告诉各位同学二次函数是中考必考内容之一，往往也是中考数学的压轴大戏．涉及题目数量一般2-3题，其中有一道大题．所占分值大约20-25分．二次函数在中考数学中常常作为压轴题，而在压轴题中，一般都设计成三至四小问，其中第一、二小问比较简单，最后一至两问难度很大．二次函数在考查时，往往会与一次函数、反比例函数、圆、三角形、四边形相结合，综合性很强，技巧性也很强，同时计算量一般很大，加上二次函数本身就比较抽象，这就导致了题目得分率非常低．其实我们只要能熟练掌握二次函数的基本知识，同时掌握一些常见的题型，提高对于二次函数的得分，不是什么难事，多多练习，多多总结．
【满分技巧】
一．通过思维导图整体把握二次函数所有考点
二．熟练掌握各种常见有关二次函数的题型和应对策略
1．线段最值（周长）问题——斜化直策略
2．三角形或多边形面积问题——铅垂高、水平宽策略
3．线段和最小值问题——胡不归+阿氏圆策略问题
4．线段差——三角形三边关系或函数
5．相似三角形存在性问题——根据相等角分类讨论
6．平行四边形存在性问题——中点公式+平移法
【限时检测】（建议用时：120分钟）
1. (2019 山东省淄博市)如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点，满足，过作轴于点，设的内心为，试求的最小值．
2. (2019 四川省巴中市)如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝x+n．
①求抛物线的解析式．
②点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．
③过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．
3. (2019 四川省成都市)如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；
（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．
4. (2019 天津市)已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．
（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点D（b，yD）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；
（Ⅲ）点Q（b+，yQ）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值．
5. (2019 新疆建设兵团)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）三点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）将（1）中的抛物线向下平移个单位长度，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点D′在△ABC内，求h的取值范围；
（3）点P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线交（1）中的抛物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积．
6. (2019 浙江省湖州市)如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA＝3，tan∠OAC＝，D是BC的中点．
（1）求OC的长和点D的坐标；
（2）如图2，M是线段OC上的点，OM＝OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F．
①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；
②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长．
7. (2019 广西百色市)已知抛物线和直线都经过点，点为坐标原点，点为抛物线上的动点，直线与轴、轴分别交于、两点．
（1）求、的值；
（2）当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
（3）满足（2）的条件时，求的值．
8. (2019 广西防城港市)如果抛物线的顶点在拋物线上，抛物线的顶点也在拋物线上时，那么我们称抛物线与 “互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线与是“互为关联”的拋物线，点，分别是抛物线，的顶点，抛物线经过点．
（1）直接写出，的坐标和抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点，使得是直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，点在抛物线上，点，分别是抛物线，上的动点，且点，的横坐标相同，记面积为（当点与点，重合时，的面积为（当点与点，重合时，，令，观察图象，当时，写出的取值范围，并求出在此范围内的最大值．
9. (2019 四川省广元市)如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交AB于点F，当△BEF的面积是时，求点E的坐标；
（3）在（2）的结论下，将△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，试判断点E′是否在抛物线上，并说明理由．
10. (2019 四川省遂宁市)如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．
（1）求该二次函数的关系式．
（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：
①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．
②求证：∠BNM＝∠ONM．
2020中考数学重难点专练06 二次函数综合题
【命题趋势】
首先告诉各位同学二次函数是中考必考内容之一，往往也是中考数学的压轴大戏．涉及题目数量一般2-3题，其中有一道大题．所占分值大约20-25分．二次函数在中考数学中常常作为压轴题，而在压轴题中，一般都设计成三至四小问，其中第一、二小问比较简单，最后一至两问难度很大．二次函数在考查时，往往会与一次函数、反比例函数、圆、三角形、四边形相结合，综合性很强，技巧性也很强，同时计算量一般很大，加上二次函数本身就比较抽象，这就导致了题目得分率非常低．其实我们只要能熟练掌握二次函数的基本知识，同时掌握一些常见的题型，提高对于二次函数的得分，不是什么难事，多多练习，多多总结．
【满分技巧】
一．通过思维导图整体把握二次函数所有考点
二．熟练掌握各种常见有关二次函数的题型和应对策略
1．线段最值（周长）问题——斜化直策略
2．三角形或多边形面积问题——铅垂高、水平宽策略
3．线段和最小值问题——胡不归+阿氏圆策略问题
4．线段差——三角形三边关系或函数
5．相似三角形存在性问题——根据相等角分类讨论
6．平行四边形存在性问题——中点公式+平移法
【限时检测】（建议用时：120分钟）
1. (2019 山东省淄博市)如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点，满足，过作轴于点，设的内心为，试求的最小值．
【解析】（1）抛物线过点，
解得：
这条抛物线对应的函数表达式为
（2）在轴上存在点，使得为直角三角形．
顶点
设点坐标为
，
①若，则
解得：
②若，则
解得：，
或
③若，则
解得：
综上所述，点坐标为或或或时，为直角三角形．
（3）如图，过点作轴于点，于点，于点
轴于点
四边形是矩形
点为的内心
，，，
矩形是正方形
设点坐标为
，
化简得：
配方得：
点与定点，的距离为
点在以点，为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动
当点在线段上时，最小
最小值为．
2. (2019 四川省巴中市)如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝x+n．
①求抛物线的解析式．
②点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．
③过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．
【解析】①∵点B、C在直线为y＝x+n上，
∴B（﹣n，0）、C（0，n），
∵点A（1，0）在抛物线上，
∴，
∴a＝﹣1，b＝6，
∴抛物线解析式：y＝﹣x2+6x﹣5；
②由题意，得，
PB＝4﹣t，BE＝2t，
由①知，∠OBC＝45°，
∴点P到BC的高h为BPsin45°＝（4﹣t），
∴S△PBE＝BE?h＝＝，
当t＝2时，△PBE的面积最大，最大值为2；
③由①知，BC所在直线为：y＝x﹣5，
∴点A到直线BC的距离d＝2，
过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H．
设N（m，﹣m2+6m﹣5），则H（m，0）、P（m，m﹣5），
易证△PQN为等腰直角三角形，即NQ＝PQ＝2，
∴PN＝4，
Ⅰ．NH+HP＝4，
∴﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝4
解得m1＝1，m2＝4，
∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴m＝4；
Ⅱ．NH+HP＝4，
∴m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）＝4
解得m1＝，m2＝，
∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，
m＞5，
∴m＝，
Ⅲ．NH﹣HP＝4，
∴﹣（﹣m2+6m﹣5）﹣[﹣（m﹣5）]＝4，
解得m1＝，m2＝，
∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，
m＜0，
∴m＝，
综上所述，若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，点N的横坐标为：4或或．
3. (2019 四川省成都市)如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；
（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．
【解析】（1）由题意得：
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵抛物线与x轴交于B（﹣1，0），C（3，0），
∴BC＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，
如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2，
由翻折得C′B＝CB＝4，
在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C′H＝＝＝2，
∴点C′的坐标为（1，2），tan，
∴∠C′BH＝60°，
由翻折得∠DBH＝∠C′BH＝30°，
在Rt△BHD中，DH＝BH?tan∠DBH＝2?tan30°＝，
∴点D的坐标为（1，）．
（3）取（2）中的点C′，D，连接CC′，
∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°，
∴△C′CB为等边三角形．分类讨论如下：
①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P．
∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，
∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°，
∴∠BCQ＝∠C′CP，
∴△BCQ≌△C′CP（SAS），
∴BQ＝C′P．
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴BQ＝CQ，
∴C′P＝CQ＝CP，
又∵BC′＝BC，
∴BP垂直平分CC′，
由翻折可知BD垂直平分CC′，
∴点D在直线BP上，
设直线BP的函数表达式为y＝kx+b，
则，解得，
∴直线BP的函数表达式为y＝．
②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．
∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，
∴CP＝CQ，BC＝CC′，∠CC′B＝∠QCP＝∠C′CB＝60°．
∴∠BCP＝∠C′CQ，
∴△BCP≌△C′CQ（SAS），
∴∠CBP＝∠CC′Q，
∵BC′＝CC′，C′H⊥BC，
∴．
∴∠CBP＝30°，
设BP与y轴相交于点E，
在Rt△BOE中，OE＝OB?tan∠CBP＝OB?tan30°＝1×，
∴点E的坐标为（0，﹣）．
设直线BP的函数表达式为y＝mx+n，
则，解得，
∴直线BP的函数表达式为y＝﹣．
综上所述，直线BP的函数表达式为或．
4. (2019 天津市)已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．
（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点D（b，yD）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；
（Ⅲ）点Q（b+，yQ）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值．
【解析】（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣bx+c经过点A（﹣1，0），
∴1+b+c＝0，
即c＝﹣b﹣1，
当b＝2时，
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣bx﹣b﹣1，
∵点D（b，yD）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，
∴yD＝b2﹣b?b﹣b﹣1＝﹣b﹣1，
由b＞0，得b＞＞0，﹣b﹣1＜0，
∴点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x＝的右侧，
如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，则点E（b，0），
∴AE＝b+1，DE＝b+1，得AE＝DE，
∴在Rt△ADE中，∠ADE＝∠DAE＝45°，
∴AD＝AE，
由已知AM＝AD，m＝5，
∴5﹣（﹣1）＝（b+1），
∴b＝3﹣1；
（Ⅲ）∵点Q（b+，yQ）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，
∴yQ＝（b+）2﹣b（b+）﹣b﹣1＝﹣﹣，
可知点Q（b+，﹣﹣）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，
∵AM+2QM＝2（AM+QM），
∴可取点N（0，1），
如图2，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，
由∠GAM＝45°，得AM＝GM，
则此时点M满足题意，
过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），
在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，
∴QH＝MH，QM＝MH，
∵点M（m，0），
∴0﹣（﹣﹣）＝（b+）﹣m，
解得，m＝﹣，
∵AM+2QM＝，
∴[（﹣）﹣（﹣1）]+2[（b+）﹣（﹣）]＝，
∴b＝4．

5. (2019 新疆建设兵团)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）三点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）将（1）中的抛物线向下平移个单位长度，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点D′在△ABC内，求h的取值范围；
（3）点P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线交（1）中的抛物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积．
【解析】（1）函数表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
即﹣4a＝4，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4，
函数顶点D（，）；
（2）物线向下平移个单位长度，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新抛物线的顶点D′（﹣h，1），
将点AC的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AC的表达式为：y＝4x+4，
将点D′坐标代入直线AC的表达式得：1＝4（﹣h）+4，
解得：h＝，
故：0＜h；
（3）过点P作y轴的平行线交抛物线和x轴于点Q、H
∵OB＝OC＝4，∴∠PBA＝∠OCB＝45°＝∠QPC，
直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，
则AB＝5，BC＝4，AC＝，
S△ABC＝×5×4＝10，
设点Q（m，﹣m2+3m+4），点P（m，﹣m+4），
CP＝m，PQ＝﹣m2+3m+4+m﹣4＝﹣m2+4m，
①当△CPQ∽△CBA，
，即，
解得：m＝，
相似比为：，
②当△CPQ∽△ABC，
同理可得：相似比为：，
利用面积比等于相似比的平方可得：
S△PQC＝10×（）2＝或S△PQC＝10×（）2＝．
6. (2019 浙江省湖州市)如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA＝3，tan∠OAC＝，D是BC的中点．
（1）求OC的长和点D的坐标；
（2）如图2，M是线段OC上的点，OM＝OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F．
①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；
②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长．
【解析】（1）∵OA＝3，tan∠OAC＝＝，
∴OC＝，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝OA＝3，
∵D是BC的中点，
∴CD＝BC＝，
∴D（，）；
（2）①∵tan∠OAC＝，
∴∠OAC＝30°，
∴∠ACB＝∠OAC＝30°，
设将△DBF沿DE所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B'处，
则DB'＝DB＝DC，∠BDF＝∠B'DF，
∴∠DB'C＝∠ACB＝30°
∴∠BDB'＝60°，
∴∠BDF＝∠B'DF＝30°，
∵∠B＝90°，
∴BF＝BD?tan30°＝，
∵AB＝，
∴AF＝BF＝，
∵∠BFD＝∠AEF，
∴∠B＝∠FAE＝90°，
∴△BFD≌△AFE（ASA），
∴AE＝BD＝，
∴OE＝OA+AE＝，
∴点E的坐标（，0）；
②动点P在点O时，
∵抛物线过点P（0，0）、D（，）、B（3，）
求得此时抛物线解析式为y＝﹣x2+x，
∴E（，0），
∴直线DE：y＝﹣x+，
∴F1（3，）；
当动点P从点O运动到点M时，
∵抛物线过点P（0，）、D（，）、B（3，）
求得此时抛物线解析式为y＝﹣x2+x+，
∴E（6，0），
∴直线DE：y＝﹣x+，
∴F2（3，）；
∴点F运动路径的长为F1F2＝＝，
∵△DFG为等边三角形，
∴G运动路径的长为．
7. (2019 广西百色市)已知抛物线和直线都经过点，点为坐标原点，点为抛物线上的动点，直线与轴、轴分别交于、两点．
（1）求、的值；
（2）当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
（3）满足（2）的条件时，求的值．
【解析】（1）将代入，得：，
；
将代入，得：，
．
（2）由（1）得：抛物线的解析式为，直线的解析式为．
当时，，
解得：，
点的坐标为，．
设点的坐标为，则，．
是以为底边的等腰三角形，
，即，
整理，得：，
解得：，，
点的坐标为或．
（3）过点作轴，垂足为点，如图所示．
当点的坐标为时，，，
；
当点的坐标为时，，，
．
满足（2）的条件时，的值的值为或．
8. (2019 广西防城港市)如果抛物线的顶点在拋物线上，抛物线的顶点也在拋物线上时，那么我们称抛物线与 “互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线与是“互为关联”的拋物线，点，分别是抛物线，的顶点，抛物线经过点．
（1）直接写出，的坐标和抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点，使得是直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，点在抛物线上，点，分别是抛物线，上的动点，且点，的横坐标相同，记面积为（当点与点，重合时，的面积为（当点与点，重合时，，令，观察图象，当时，写出的取值范围，并求出在此范围内的最大值．
【解析】由抛物线可得，
将，代入
得，
解得，
，
；
（2）易得直线的解析式：，
①若为直角顶点，，，
，
直线解析式为
联立，
解得，或，，
；
②若为直角顶点，，
同理得解析式：，
联立，
解得，或，，
；
③若为直角顶点，设
由得，
即，
解得或（不符合题意舍去），
点的坐标或；
（3），
，
设，，且，
易求直线的解析式：，
过作轴的平行线交于，
则，
设交于点，易知，
，
当时，
的最大值为16．
9. (2019 四川省广元市)如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交AB于点F，当△BEF的面积是时，求点E的坐标；
（3）在（2）的结论下，将△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，试判断点E′是否在抛物线上，并说明理由．
【解析】（1）y＝﹣x+4…①，
令x＝0，y＝4，令y＝0，则x＝4，
故点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4），
抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
即﹣4a＝4，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4…②；
（2）设点E（m，0），
直线BC表达式中的k值为4，EF∥BC，
则直线EF的表达式为：y＝4x+n，
将点E坐标代入上式并解得：直线EF的表达式为：y＝4x﹣4m…③，
联立①③并解得：x＝（m+1），
则点F（，），
S△BEF＝S△OAB﹣S△OBE﹣S△AEF＝×4×4﹣×4m﹣（4﹣m）×＝，解得：m＝，
故点E（，0）、点E（2，2）；
（3）△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，则点E′（，4），
当x＝时，y＝﹣x2+3x+4＝﹣（）2+3×+4≠4，
故点E′不在抛物线上．
10. (2019 四川省遂宁市)如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．
（1）求该二次函数的关系式．
（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：
①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．
②求证：∠BNM＝∠ONM．
【解析】（1）∵二次函数顶点为P（3，3）
∴设顶点式y＝a（x﹣3）2+3
∵二次函数图象过点A（6，0）
∴（6﹣3）2a+3＝0，解得：a＝﹣
∴二次函数的关系式为y＝﹣（x﹣3）2+3＝﹣x2+2x
（2）设B（b，﹣b2+2b）（b＞3）
∴直线OB解析式为：y＝（﹣b+2）x
∵OB交对称轴l于点M
∴当xM＝3时，yM＝（﹣b+2）×3＝﹣b+6，∴M（3，﹣b+6）
∵点M、N关于点P对称，∴NP＝MP＝3﹣（﹣b+6）＝b﹣3，
∴yN＝3+b﹣3＝b，即N（3，b）
①∵OP＝MN，∴OP＝MP
∴＝b﹣3，解得：b＝3+3
∴﹣b2+2b＝﹣×（3+3）2+2×（3+3）＝﹣3
∴B（3+3，﹣3），N（3，3+3）
∴OB2＝（3+3）2+（﹣3）2＝36+18，ON2＝32+（3+3）2＝36+18，BN2＝（3+3﹣3）2+（﹣3﹣3﹣3）2＝72+36
∴OB＝ON，OB2+ON2＝BN2
∴△NOB是等腰直角三角形，此时点B坐标为（3+3，﹣3）．
②证明：如图，设直线BN与x轴交于点D，
∵B（b，﹣b2+2b）、N（3，b）
设直线BN解析式为y＝kx+d
∴ 解得：
∴直线BN：y＝﹣bx+2b
当y＝0时，﹣bx+2b＝0，解得：x＝6，∴D（6，0）
∵C（3，0），NC⊥x轴，∴NC垂直平分OD
∴ND＝NO
∴∠BNM＝∠ONM