(共26张PPT)
第四章 因式分解
1 .因式分解
·
1.让学生了解多项式因式分解的意义.
2.使学生弄清因式分解与整式乘法的关系.
·
重点：多项式因式分解的意义及识别.
难点：因式分解与整式乘法的关系.
互逆
多项式
积
因式分解
1.计算。
ab2·(b3c2)=_______ a(m+n)= ______ (a+1)(a-2)=_______ (a-3)(a+3)=____ (a+2b)2=________
2.整式乘法的几种形式：
3.用简便方法计算
（1） 736×95+736×5＝__________
（2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67=_____
993-99能被100整除吗?
探究1:
尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式.
探究2:
书92页“做一做”
因式分解定义
把一个多项式化成____________的形式,这种变形叫做把这个多项式
几个整式的积
分解因式，也叫因式分解。
比较以下两种运算的联系与区别：
a(a+1)(a-1)= a3-a
a3-a = a(a+1)(a-1)
计算下列各式:
3x(x-1)= _____
m(a+b-1)=______
(m+4)(m-4)= ____
(y-3)2= _______
根据左面的算式进行因式
分解:
3x2-3x=_______
ma+mb-m=______
(3) m2-16=__________
(4) y2-6y+9=______
3x2-3x
ma+mb-m
m2-16
y2-6y+9
3x(x-1)
(m+4)(m-4)
(y-3)2
探究3:
m(a+b-1)
分解因式与整式乘法是互 为逆运算关系.
规律总结
对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变形.
整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，特征是向着积化和差的形式发展；
多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，特征是向着和差化积的形式发展.
分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式.
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
D
C
C
因式分解
整式乘法
2
【例1】把下列多项式因式分解：(1)x2－4；(2)x2－2x＋1.
解析：因为（x＋2）（x－2）＝x2－4，所以x2－4可分解为（x＋2）（x－2）；x2－2x＋1符合x2－2xy＋y2的形式，可按（x－y）2＝x2－2xy＋y2分解.
解：（1）x2－4＝（x＋2）（x－2）；
（2）x2－2x＋1＝（x－1）（x－1）＝（x－1）2.
【例2】在下列变形中，找出是因式分解的.
（1）x2－10＝（x＋2）（x－5）；
（2）a（a＋3b）＝a2＋3ab；
（3）x2＋2x＋1＝x（x＋2）＋1；
（4）x2＋2x＝x2（1＋2x）；
（5）x3y＝x·x·x·y；
（6）（x＋1）（x－1）－8＝（x＋3）（x－3）.
解析：准确理解因式分解的定义，由因式分解的定义来判断.
解：（1）x2－10＝（x＋2）（x－5）不是因式分解，原因是x2－10≠（x＋2）（x－5）；
（2）a（a＋3b）＝a2＋3ab不是因式分解，而是整式的乘法运算；
（3）x2＋2x＋1＝x（x＋2）＋1不是因式分解，原因是它只有局部是乘积的形式；
（4）x2＋2x＝x2（1＋2x）不是因式分解，原因是（1＋2x）不是整式；
（5）x3y＝x·x·x·y不是因式分解，原因是x3y不是一个多项式；
（6）（x＋1）（x－1）－8＝（x＋3）（x－3）是因式分解，原因是（x＋1）（x－1）－8＝x2－1－8＝x2－9，而（x＋3）（x－3）＝x2－9，符合因式分解的定义.
所以只有（6）是因式分解.
练习：（1）下列各式中由等号的左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A.（x＋3）（x－3）＝x2－9
B.x2＋x－5＝（x－2）（x＋3）＋1
C.a2b＋ab2＝ab（a＋b）
D.x2＋1＝x（x＋1x）
C
证明：设原数百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，则原数可表示为100x＋10y＋z，交换位置后数字为100z＋10y＋x.
则：（100z＋10y＋x）－（100x＋10y＋z）
＝100z－100x＋x－z
＝100（z－x）－（z－x）
＝99（z－x）则原结论成立.
（2）证明：一个三位数的百位数字与个位数字交换位置，则新数与原数之差能被99整除.
（3）如图①所示，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②所示），通过两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A.（a＋2b）（a－b）＝a2＋ab－2b2
B.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
C.（a－b）2＝a2－2ab＋b2
D.a2－b2＝（a＋b）（a－b）
D
D
B
B
210
4
解：（1）1999
解：（2）9
解：设污染部分为a，由整式乘法，得（x+3）（x－a）＝x2+3x－ax－3a＝x2+（3－a）x－3a.
由题意可知：－3a＝－6，
所以a＝2.
1.多项式因式分解的意义及识别.
2.因式分解与整式乘法的关系.
(共29张PPT)
第四章 因式分解
2 提公因式法
·
1.让学生了解多项式的公因式及提公因式法的意义.
2.初步会用提公因式法分解因式.
重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式
提出来.
难点：让学生识别多项式的公因式.
相同
提出来
乘积
1、填空：x3=x·_______ 8a3b2=4a2b·____________
2、什么叫因式分解？________________________
3.下列由左到右的变形，哪些是分解因式？哪些不是？
(1)a(a+b-c)=a2+ab-ac (2)x2-2x+4=x2-2(x-2) (3)a(x2-9)=a(x+3)(x-3) (4)x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1
2.计算：
将下面的多项式分别写成几个因式的乘积。
（1）ma+mb （2）3x2+x (3)mb2+nb-b
公因式
多项式中各项都含有的相同因式，
叫做这个多项式各项的公因式。
中各项的公因式是什么？
①多项式
你能尝试将它
因式分解吗？
②
多项式 中各项的公因式是什么？
你认为怎样确定一个多项式的公因式？
（1）公因式的系数是各项系数的最大公约数；
（2）相同字母的指数取最低次。
议一议
例: 找 7x 3- 21x 2 的公因式。
定系数
7
定字母
x
定指数
2
练习：下列的公因式是多少？
（1）3y2+6y3 (2)12a2b3- 8a3b2-16ab4c
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
提公因式法分解因式
注意：
1 多项式是几项，提公因式后也剩几项.
2 当多项式的某一项和公因式相同时提公因式后剩余的项是1.
3、当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号，使等式成立：
(1) 2-a= ___ (a-2)
(2) b+a=___ (a+b)
(3) (b-a)2=___(a-b)2
(4) -m-n=___ (m+n)
(5) -s2+t2=___ (s2-t2)
_
+
+
_
_
n 为偶数:
(a-b)n =(b-a)n
n 为奇数:
(a-b)n=-(b-a)n
由此可知规律：
(1)a-b 与 -a+b 互为相反数.
(a-b)n = (b-a)n (n是偶数）
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇数）
(2) a+b与b+a 互为相同数,
(a+b)n = (b+a)n (n是整数）
B
4（m－n）
－3a
C
ab（3b+a）
a（a+3）
【例1】将下列各式分解因式：（1）3x＋6；（2）7x2－21x；（3）8a3b2－12ab3c＋abc；（4）－24x3－12x2＋28x.
解析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.
解：（1）3x＋6＝3x＋3×2＝3（x＋2）；
（2）7x2－21x＝7x·x－7x·3＝7x（x－3）；
（3）8a3b2－12ab3c＋abc
＝8a2b·ab－12b2c·ab＋ab·c
＝ab（8a2b－12b2c＋c）；
（4）－24x3－12x2＋28x＝－4x（6x2＋3x－7）.
【例2】把下列各式分解因式.
（1）8m2n＋2mn
（2）a2x2y－axy2
（3）－24x2y－12xy2＋28y3
（4）－4a3b3＋6a2b－2ab
（5）－2x2－12xy2＋8xy3
（6）－3ma3＋6ma2－12ma
解析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.
解：（1）8m2n＋2mn＝2mn（4m＋1）；
（2）a2x2y－axy2＝axy（ax－y）；
（3）－24x2y－12xy2＋28y3＝－（24x2y＋12xy2－28y3）
＝－4y（6x2＋3xy－7y2）；
（4）－4a3b3＋6a2b－2ab＝－（4a3b3－6a2b＋2ab）
＝－2ab（2a2b2－3a＋1）；
（5）－2x2－12xy2＋8xy3＝－（2x2＋12xy2－8xy3）
＝－2x（x＋6y2－4y3）；
（6）－3ma3＋6ma2－12ma＝－（3ma3－6ma2＋12ma）
＝－3ma（a2－2a＋4）.
【例3】把a（x－3）＋2b（x－3）分解因式.
解析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x－3）与2b（x－3），每项中都含有（x－3），因此可以把（x－3）作为公因式提出来.
解：a（x－3）＋2b（x－3）
＝（x－3）（a＋2b）
【例4】把下列各式分解因式：
（1）a（x－y）＋b（y－x）；
（2）6（m－n）3－12（n－m）2.
解析：虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x－y）与（y－x）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x＝－（x－y）.（m－n）3与（n－m）2也是如此.
解：（1）a（x－y）＋b（y－x）
＝a（x－y）－b（x－y）
＝（x－y）（a－b）
（2）6（m－n）3－12（n－m）2
＝6（m－n）3－12［－（m－n）］2
＝6（m－n）3－12（m－n）2
＝6（m－n）2（m－n－2）
【例5】把下列各式分解因式：
（1）6（p＋q）2－12（q＋p）；
（2）2（y－x）2＋3（x－y）；
（3）mn（m－n）－m（n－m）2；
（4）（b－a）2＋a（a－b）＋b（b－a）.
解析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.
解：（1）6（p＋q）2－12（q＋p）
＝6（p＋q）2－12（p＋q）
＝6（p＋q）（p＋q－2）
（2）2（y－x）2＋3（x－y）
＝2［－（x－y）］2＋3（x－y）
＝2（x－y）2＋3（x－y）
＝（x－y）（2x－2y＋3）
（3）mn（m－n）－m（n－m）2
＝mn（m－n）－m（m－n）2
＝m（m－n）［n－（m－n）］
＝m（m－n）（2n－m）
（4）（b－a）2＋a（a－b）＋b（b－a）
＝（b－a）2－a（b－a）＋b（b－a）
＝（b－a）［（b－a）－a＋b］
＝（b－a）（b－a－a＋b）
＝（b－a）（2b－2a）
＝2（b－a）（b－a）＝2（b－a）2
【例6】利用因式分解进行计算：
（1）121×0.13＋12.1×0.9－12×1.21；
（2）2.34×13.2＋0.66×13.2－26.4；
（3）当R1＝20，R2＝16，R3＝12，π＝3.14时，πR12＋πR22＋πR32.
解：（1）121×0.13＋12.1×0.9－12×1.21
＝12.1×1.3＋12.1×0.9－1.2×12.1
＝12.1×（1.3＋0.9－1.2）
＝12.1×1＝12.1
（2）2.34×13.2＋0.66×13.2－26.4
＝13.2×（2.34＋0.66－2）
＝13.2×1＝13.2
（3）当R1＝20，R2＝16，R3＝12，π＝3.14时，πR12＋πR22＋πR32
＝π（R12＋R22＋R32）
＝3.14×（202＋162＋122）
＝2512
C
D
a－b－c
15
（x+y）（x+y－3）
解： （4）－3x（x－2y+1）
解：（1）2x（3－2y）
解： （3）ab（2b－6a+1）
解： （2）ab（2a－5b）
解：（1）原式＝π（R12+R22+R32）
＝3.14×（62+82+102）
＝3.14×200＝628
（2）原式＝a（b－c）
＝ ×（21.9－47.9）
＝ ×（－26）
＝－10
1.提公因式法分解因式的一般形式，如：ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）.这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.
2.提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.
3.找公因式的一般步骤：
（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；
（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；
（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的；
（4）所有这些因式的乘积即为公因式.
4.初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因式，也要将它写成乘1的形式，这样可以防范漏项的错误发生.
5.公因式相差符号的，如（x－y）与（y－x）要先统一公因式，同时要防止出现符号问题.
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第四章 因式分解
3 公式法
·
1.使学生了解运用公式法分解因式的意义.
2.使学生掌握用平方差公式、完全平方公式分解因式.
3.使学生了解提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再
考虑运用公式法分解因式.
·
重点：运用平方差公式、完全平方公式分解因式.
难点：分解因式要注意提公因式法优先性和分解因式的彻
底性.
a2－b2
（a+b）（a－b）
（a+b）2
（a－b）2
提公因式
套用公式
检查结果是否分解彻底
平方差公式：
平方差公式因式分解特征：
(1)两部分相减
(2)两部分都可写成某数（式）的平方
(3)结果是两数之和与这两数之差的积
你能将多项式x2-4分解因式吗?
这种分解因式的方法称为运用公式法。
（１）公式左边：
（是一个将要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有两项，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。
(2) 公式右边:
（是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。
说一说 找特征
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
形如 的多项式称为完全平方式.
学习新知:
（1）形如________________形式的多项式可以用完全平方公式分解因式。
（3）因式分解要_________
（2）因式分解通常先考虑______________方法。再考虑____________方法。
提取公因式法
彻底
运用公式法
总结：
D
(x+5)(x－5)
(3a+1)(a+1)
A
（x+5）2
（x－2）2
（x－y－4）2
【例1】把下列各式分解因式：（1）25－16x2
解析：把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式.
解：（1）25－16x2
＝52－（4x）2
＝（5＋4x）（5－4x）
【例2】把下列各式分解因式：
（1）9（m＋n）2－（m－n）2；（2）2x3－8x
解析：（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式；（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.
解：（1）9（m＋n）2－（m－n）2
＝［3（m＋n）］2－（m－n）2
＝［3（m＋n）＋（m－n）］［3（m＋n）－（m－n）］
＝（3m＋3n＋m－n）（3m＋3n－m＋n）
＝（4m＋2n）（2m＋4n）
＝4（2m＋n）（m＋2n）
（2）2x3－8x
＝2x（x2－4）
＝2x（x＋2）（x－2）
【例3】把下列各式分解因式：
（1）a2b2－m2；
（2）（m－a）2－（n＋b）2；
（3）x2－（a＋b－c）2；
（4）－16x4＋81y4.
解：（1）a2b2－m2
＝（ab）2－m2
＝（ab＋m）（ab－m）；
（2）（m－a）2－（n＋b）2
＝［（m－a）＋（n＋b）］［（m－a）－（n＋b）］
＝（m－a＋n＋b）（m－a－n－b）；
（3）x2－（a＋b－c）2
＝［x＋（a＋b－c）］［x－（a＋b－c）］
＝（x＋a＋b－c）（x－a－b＋c）；
（4）－16x4＋81y4
＝（9y2）2－（4x2）2
＝（9y2＋4x2）（9y2－4x2）
＝（9y2＋4x2）（3y＋2x）（3y－2x）
【例4】把下列完全平方式分解因式：
（1）x2＋14x＋49；（2）（m＋n）2－6（m＋n）＋9.
解析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式.
解：（1）x2＋14x＋49
＝x2＋2×7x＋72
＝（x＋7）2
（2）（m＋n）2－6（m＋n）＋9
＝（m＋n）2－2·（m＋n）×3＋32
＝［（m＋n）－3］2
＝（m＋n－3）2.
【例5】把下列各式分解因式：
（1）3ax2＋6axy＋3ay2；（2）－x2－4y2＋4xy.
解析：（1）对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.（2）如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“＋”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式.
解：（1）3ax2＋6axy＋3ay2
＝3a（x2＋2xy＋y2）
＝3a（x＋y）2
（2）－x2－4y2＋4xy
＝－（x2－4xy＋4y2）
＝－［x2－2·x·2y＋（2y）2］
＝－（x－2y）2
【例6】把下列各式分解因式：
（1）a2－2a（b＋c）＋（b＋c）2；
（2）4xy2－4x2y－y3；
（3）－a＋2a2－a3；
（4）x7y3－x3y3；
（5）16x4－72x2y2＋81y4.
解：（1）a2－2a（b＋c）＋（b＋c）2
＝［a－（b＋c）］2 ＝（a－b－c）2
（2）4xy2－4x2y－y3
＝y（4xy－4x2－y2）
＝－y（4x2－4xy＋y2）＝－y（2x－y）2
（3）－a＋2a2－a3
＝－（a－2a2＋a3）
＝－a（1－2a＋a2）＝－a（1－a）2
（4）x7y3－x3y3＝x3y3（x4－1）
＝x3y3（x2＋1）（x2－1）
＝x3y3（x2＋1）（x＋1）（x－1）
（5）16x4－72x2y2＋81y4
＝（4x2）2－2·4x2·9y2＋（9y2）2
＝［（2x＋3y）（2x－3y）］2＝（2x＋3y）2（2x－3y）2
B
C
2
4
3a－4
（4）（x－y）2（x+2）（x－2）
解：（3）（7x－y）（x－7y）
解：（1）（2x+3y）（2x－3y）
（2）4mn（m+2n）（m－2n）
解 ：（1）（y－ ）2
（2）（3x－ ）2
（3）－x（x－y）2
（4）（x－y－3）2
1.掌握用平方差公式、完全平方公式分解因式.
2.分解因式的一般步骤为：
（1）若多项式各项有公因式，则先提取公因式；
（2）若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点，
选用平方差公式或完全平方公式；
（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.
