(共34张PPT)
第六章 平行四边形
1 平行四边形的性质
第1课时
·
1.了解平行四边形的定义.
2.掌握平行四边形的中心对称性及其对边、对角相等的性质.
3.会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，
并会进行有关的论证.
重点：平行四边形的中心对称性及其对角、对边相等的性质，
以及性质的应用.
难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.
相等
对角线
对称中心
平行
相等
平行四边形特征的探索
做一做 :小组活动1：
请同学制作两个全等的三角形。
想一想:
观察两个全等的三角形，将它们相等的一组边重合，得到一个怎样的四边形？对边有什么特征？
问题二：你能给平行四边形下定义吗？
对角线 ：平行四边形不相邻的两个
顶点连成的线段
平行四边形的概念
定义包括两重意思：
（1）如果两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形；
（2）如果一个四边形是 平行四边形，那么它的两组对边就分别平行
用符号表示是：
AB//CD
AD//BC
四边形ABCD是平行四边形
AB//CD
AD//BC
∵ ∠1=∠2
∴ AD∥BC
∵ ∠3=∠4
∴ AB∥DC
∴ 四边形ABCD是平行四边形
生活中常见到那些平行四边形的实例,你能举出几个吗?
体验感知
B
平行
小组活动3
用一张半透明的纸复制你刚才画的平行四边形，并将复制后的四边形绕对角线交点旋转180°，观察旋转后的四边形，它与你画的平行四边形重合吗？由此你能得到哪些结论？四边形的对边、对角分别有什么关系？能用别的方法验证你的结论吗？
平行四边形性质的探索
结论1：平行四边形是中心对称图形，
两条对角线的交点是他的对称中心
结论：
平行四边形的对边平行且相等。
平行四边形的对角相等。
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=DC , AD=BC.
∠A=∠C , ∠B=∠D.
∴ AB∥DC, AD∥BC
问题四：
平行四边形的对边、对角分别有 什么关系？
问题四：
平行四边形的性质：
平行四边形的对边相等
平行四边形的对角相等
能用别的方法验证你的结论吗？
推理论证 感悟升华
可以通过推理来证明这个结论：
例：如图6-2（1），四边形ABCD是平行四边形.
求证:AB=CD,BC=DA.
证明:如图6-2(2),连接AC.
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AD // BC，AB // CD
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4
∴ △ABC和△CDA中
∠2=∠1
AC=CA
∠3=∠4
∴ △ABC≌△CDA（ASA）
∴ AB=DC， AD=CB
1
2
3
4
你能证明平行四边形的对角相等吗？
如图6-2（1），四边形ABCD是平行四边形.
求证: ∠A=∠C,∠B=∠D.
证明:如图6-2(2),连接AC.
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AD // BC， AB // CD
∴ ∠A+∠B=180 °
∠A+∠D=180 °
∴ ∠B=∠D
同理可得：∠A=∠C
1
2
3
4
C
12
70°
【例1】已知：如图，在?ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，并且AE＝CF.求证：BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD（平行四边形的对边相等），
AB∥CD（平行四边形的定义），
∴∠BAE＝∠DCF，
∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF.
【例2】?ABCD的周长为30cm，两邻边的长度之比为2∶3（AB＜BC），求它的各边的长.
解析：依题意，设AB＝2xcm，则BC＝3xcm.根据平行四边形的对边相等，得AD＝3xcm，CD＝2xcm.根据等量关系可列方程为2x＋3x＋2x＋3x＝30，解出x值后即可算出各边长
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD.
又∵两邻边的长度之比为2∶3（AB＜BC），
∴可设AB＝2xcm，则BC＝3xcm.
依题意可列方程2x＋3x＋2x＋3x＝30.
解得x＝3，
∴2x＝2×3＝6，3x＝3×3＝9.
∴它的各边的长分别为6cm、9cm、6cm、9cm.
【例3】如图，在?ABCD中，已知∠A＋∠C＝120°，求平行四边形各角的度数.
解析：由平行四边形的对角相等，得∠A＝∠C，结合已知条件∠A＋∠C＝120°，即可求出∠A和∠C的度数；再根据平行线的性质，进而求出∠B、∠D的度数.
解：在?ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D.
又∵∠A＋∠C＝120°，
∴∠A＝∠C＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠D＝180°－∠A＝180°－60°＝120°.
∴∠B＝∠D＝120°.
【例4】如图甲所示，在?ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，且分别交CD于点E、F，AE、BF相交于点M.（1）求证：AE⊥BF；（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明.
解析：（1）要证AE⊥BF，只需证∠AMB＝90°.在△ABM中，利用平行四边形邻角互补及角平分线的定义证明∠MAB＋∠MBA＝90°即可，此为证法1；由条件及结论“平分、垂直”联想到构造等腰三角形，再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可证明，此为证法2；（2）DF和CE均不在独立的几何图形中，利用EF将其转化为证明DE＝CF，即可利用平行四边形和三角形的有关知识来证明
解：（1）证法1：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB＋∠ABC＝180°，
∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴2∠EAB＋2∠FBA＝180°，
∴∠EAB＋∠FBA＝90°.
∴∠AMB＝90°，即AE⊥BF.
证法2：如图乙所示，延长BC、AE交于点P.
在?ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAP＝∠P，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAP＝∠PAB，
∴∠PAB＝∠P，
∴BA＝BP，
∵BF平分∠ABC，
∴BM⊥AP，即AE⊥BF；
（2）解：DF＝CE.理由如下：
在?ABCD中，CD∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB.
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB.
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝DA.
同理可得CF＝CB.
∵AD＝BC，
∴DE＝CF，
∴DE－EF＝CF－EF，
即DF＝CE.
D
A
B
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF.
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF
证明：∵四边形ADEF为平行四边形，
∴AD＝EF，AD∥EF，
∴∠ACB＝∠FEB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠FEB，
∴BF＝EF，
∴BF＝AD.
1.平行四边形的定义；
2.平行四边形的中心对称性，对角、对边相等的性质，以及
性质的应用.
(共20张PPT)
第六章 平行四边形
1 平行四边形的性质
第2课时
·
1.理解并掌握平行四边形对角线互相平分的性质.
2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算
问题和简单的证明题.
3.培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力.
重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应
用.
难点：综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关
计算问题和简单的证明题.
互相平分
全等
探索发现，灵活运用
在上节课的做一做中,我们发现平行四边形除了边、角有特殊的关系以外，对角线还有怎样的特殊关系呢？
结论：平行四边形的对角线互相平分.
已知：如图6-4，平行四边形ABCD的对角线AC、
BD相交于点O.
求证:OA=OC,OB=OD.
证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=CD AB//DC
∴ ∠BAO=∠DCO ∠ABO=∠CDO
∴ △AOB≌△COD
∴ OA=OC,OB=OD.
B
D
C
25cm
3＜x＜11
【例1】已知：如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F.求证：OE＝OF，AE＝CF，BE＝DF.
证明：在?ABCD中，AB∥CD，
∴ ∠1＝∠2，∠3＝∠4.
又OA＝OC（平行四边形的对角线互相平分），
∴△AOE≌△COF（ASA）.
∴OE＝OF，AE＝CF（全等三角形对应边相等）.
∵?ABCD，
∴AB＝CD（平行四边形对边相等）.
∴AB－AE＝CD－CF.
即BE＝FD
【例2】已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及 ABCD的面积.
解析：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长.再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积＝底×高（高为此底上的高），可求得?ABCD的面积.（平行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了.）
解：BC=8cm, CD=10cm, AC=6cm, OA=3cm,
S ABCD=48cm2
【例3】如图，?ABCD的对角线相交于点O，且AB≠BC，过点O作OE⊥AC交BC于点E，如果△ABE的周长为b，则?ABCD的周长是（ ）
A.b B.1.5b C.2b D.3b
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD，OA＝OC.∵OE⊥AC，∴AE＝CE.∵AB＋BE＋AE＝b，即AB＋BE＋CE＝b，∴AB＋BC＝b.∴?ABCD的周长为2（AB＋BC）＝2b.
C
【例4】如图，王大爷家有一块平行四边形的土地，地中有一口井P，王大爷的两个儿子要平均耕种这块地，且使这口井在地界上，你能帮助他们把地分开吗？
解析：要使地界经过点P且把土地平分，即过P点作一直线把?ABCD平分.
点拨：因为平行四边形是中心对称图形，所以过对称中心的任意一条直线就可把平行四边形分成面积相等的两部分.
【例5】如图，村里有一四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树，村里准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，村里能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由.
解析：本题主要是利用平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形.
解：如图虚线所示，连结对角线AC、BD交于点O，过点A、C作BD的平行线，过点B、D作AC的平行线，两组平行线相交构成一个平行四边形EFMN，则图中有四个小的平行四边形，△AEB的面积等于△ABO的面积，同理可得结论，于是平行四边形EFMN即为所求.
C
2
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEO＝∠DFO＝90°，
又∵∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴OE＝OF
证明：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形，
∴OA＝OC，OE＝OF，
∴OA－OE＝OC－OF，
∴AE＝CF
1.平行四边形对角线互相平分的性质.
2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计
算问题和简单的证明题.
(共24张PPT)
第六章 平行四边形
2 平行四边形的判定
第1课时
·
1.在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边来判
定平行四边形的方法.
2.会运用平行四边形的判定定理1、2解决问题.
重点：平行四边形的判定定理1、2.
难点：运用平行四边形的判定定理1、2解决问题.
相等
平行且相等
小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？让学生利用手中的学具——硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？（3）你能说出你的做法及其道理吗？（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？
我们知道了平行四边形的性质，那么，有哪些方法可以判断一个四边形是平行四边形呢？
（1）根据定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
因为AB//CD，AD//BC；所以四边形ABCD是平行四边形．
定理探索:
活动1：
工具:两对长度分别相等的笔.
动手:能否在平面内用这四根笔摆成一个
平行四边形？
思考1.1：你能说明你所摆出的四边形是
平行四边形吗？
已知：如图6-8（1），在四边形ABCD中，
AB=CD,BC=AD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
定理探索:
证明:连接BD.
在△ABD和△CDB中
∵ AB=CD AD=CB BD=DB
∴ △ABD≌△CDB
∴ ∠1=∠2 ∠3=∠4
∴ AB∥CD AD∥CB
∴ 四边形ABCD是平行四边形
1
2
3
4
思考1.2： 以上活动事实,能用文字语言表达吗？
平行四边形判定定理：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
定理探索:
∵AB=CD，AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形．
符号语言：
工具:
两根长度相等的笔,两条平行线(可利用横格线）.
动手:
1.请利用两根长度相等的笔能摆出以笔顶端点
为顶点的平行四边形吗?
3.利用两根长度相等的笔和两条平行线,能摆出
以笔顶端点为顶点的平行四边形吗?
思考2.1：
你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗？
定理探索:
如图6-9（1），在四边形ABCD中，AB∥CD,
且AB=CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
定理探索:
证明：连接AC.
∵ AB∥CD
∴ ∠BAC=∠ACD
又∵ AB=CD AC=CA
∴ △BAC≌△DCA
∴ BC=AD
∴ 四边形ABCD是平行四边形
思考2.2： 以上活动事实,能用文字语言表达吗？
平行四边形判定定理：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
定理探索:
C
D
B
C
3
平行四边
平行四边形
【例1】已知：如图，?ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE＝DF.
解析：证明BE＝DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明四边形BEDF是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB.
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴DE∥BF，
∴DE＝BF.
∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
∴BE＝DF.
【例2】已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC.求证：（1）∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；（2）△ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点.
证明：（1）∵A′B′∥BA，C′B′∥BC，
∴四边形ABCB′是平行四边形.
∴ ∠ABC＝∠B′（平行四边形的对角相等）.
同理∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；
（2）由（1）证得四边形ABCB′是平行四边形.
同理，四边形ABA′C是平行四边形.
∴AB＝B′C，AB＝A′C（平行四边形的对边相等）.
∴B′C＝A′C.
同理 B′A＝C′A，A′B＝C′B.
∴ △ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′的边B′C′、C′A′、A′B′的中点.
【例3】小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形.你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由.
解：有6个平行四边形，分别是?ABOF，?ABCO，?BCDO，?
CDEO，?DEFO，?EFAO.理由是：因为正△ABO≌正△AOF，所以AB＝BO，OF＝FA.根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形.其它五个平行四边形同理.
B
C
平行
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，
∵AE＝DF，
∴△AEB≌△DFC，
∴BE＝CF，
又∵BE∥CF，
∴四边形BECF是平行四边形
证明：连接BF、DE.
∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AD∥BC，即DF∥BE，
∵AD＝BC，AF＝CE，
∴AD－AF＝BC－CE，
即DF＝BE.
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BD与EF互相平分.
平行四边形的判定定理1、2及其运用.
(共21张PPT)
第六章 平行四边形
2 平行四边形的判定
第2课时
·
1.掌握用对角线互相平分，两组对角分别相等来判定平行四边形的方法.
2.理解平行线之间的距离.
3.会综合运用平行四边形的判定和性质来解决有关的证明计算等问题.
4.通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力.
重点：用对角线互相平分，两组对角分别相等来判定平行
四边形.
难点：会综合运用平行四边形的判定和性质来解决有关的
证明、计算等问题.
互相平分
相等
平行
观察图，从“平行四边形对角线互相平分”这一性质受到启发，你能画出一个平行四边形吗？过点O画两条线段AC、BD，使得OA＝OC，OB＝OD.连接AB、BC、CD、DA，则四边形ABCD是平行四边形，如图.你能说出这样画出的四边形ABCD一定是平行四边形的道理吗？
定理探索:
活动工具:两根不同长度的细木条.
动手:能否合理摆放这两根细木条,使得连接
四个顶点后成为平行四边形？
思考：你能说明你得到的四边形是平行
四边形吗？
已知:如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相
交于点O,并且OA=OC,OB=OD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形判定定理：
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
定理:
∵ OA=OC，OB=OD（已知）
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形 ．）
C
8
如图，l1 // l2 ，点A、C、E在l1上，线段AB、CD、EF都垂直与l2 ，垂足分别为B、D、F，则AB、CD、EF的长短相等吗？为什么？
一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．
平行线间的距离处处相等．
它与点与点的距离、点到直线的距离的联系与区别．
如图，l1 // l2 ， 线段AB//CD//EF， 且点A、C、E在l1上，B、D、F在l2上，则AB、CD、EF的长短相等吗？为什么？
夹在两平行线间的平行线段相等．
A
4cm
【例1】如图所示，在?ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AF＝CE.求证：DE＝BF.
解析：由已知想到连接DB，与AC相交于点O，则有OD＝OB，OE＝OF；再利用判定定理2证明四边形EBFD是平行四边形，进而结合平行四边形的性质证明OE＝OF.
证明：如图，连接BD，交AC于点O，连接DF、BE.
∵四边形ABCD是平行四边形，且点O为对角线的交点，
∴OD＝OB，AO＝CO.
又∵AF＝EC，
∴AF－AO＝CE－CO，
∴OF＝OE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE＝BF.
证明：∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，
∴∠A＋∠B＝360° ÷ 2＝180°，
∴AD∥BC，
同理AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
【例2】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D.求证：四边形ABCD是平行四边形.
【例3】如图，在?ABCD中，分别过各顶点向对角线作垂线BE、CH、DG、AF，垂足为E、H、G、F.求证：四边形EFGH为平行四边形.
解析：判定平行四边形的方法很多，观察图形，结合题设条件，证明线段EG和FH互相平分，条件更充分.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝CB.∴△ABD≌△CDB.
又AF⊥BD于F，CH⊥BD于H，
∴AF＝CH.
同理BE＝DG.在Rt△AFB和Rt△CHD中，
∵AF＝CH，AB＝CD，∴△AFB≌△CHD（HL），
∴BF＝DH，同理可证△AEB≌△CGD，∴AE＝CG，
∵OB＝OD，BF＝DH，
∴OF＝OH.同理OE＝OG.
∴四边形EFGH为平行四边形.
C
平行四边
对角线互相平分的四边
形是平行四边形
解：∠BAD＝115°
证明：连接BD交AC于O.
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OB＝OD，OA＝OC，又（平行四边形的对角线互相平分），
又∵AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，
即OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
1.用对角线互相平分，两组对角分别相等来判定平行四边形
的方法.
2.理解平行线之间的距离.
3.会综合运用平行四边形的判定和性质来解决有关的证明、
计算等问题.
(共23张PPT)
第六章 平行四边形
3 三角形的中位线
·
1.理解三角形中位线的概念，掌握它的性质，并能熟练地应
用三角形中位线性质进行有关的证明和计算.
2.能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论.理解在
证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法.
重点：掌握和运用三角形中位线的性质.
难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）.
中点
平行
一半
创设情景，导入课题
思考：
（1）你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？
（2）你能通过剪拼的方式，将这个三角形拼成与其面积相等的平行四边形吗？
三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
新知探索一：三角形中位线的定义
如图,四边形ABCD中,E, F, G, H分别是AＢ,ＣD,ＡC,ＢＤ的中点.图中有中位线吗? 有几条? 哪几条?
线段_____是△_______的中位线,
线段_____是△_______的中位线,
线段_____是△_______的中位线,
线段_____是△_______的中位线,
三角形中位线定理：三角形的
中位线平行于第三边，并且等
于它的一半.
新知探索二：三角形中位线的性质
证明定理
已知：如图，DE是△ABC的中位线.
求证:DE∥BC,DE= BC
C
C
70
64
解析：因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系.由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证.
【例1】已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：连结AC（图（2）），△DAC中，
∵AH＝HD，CG＝GD，
∴HG∥AC，HG＝ AC（三角形中位线性质）.
同理EF∥AC，EF＝ AC.
∴HG∥EF，且HG＝EF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.
【例2】如图所示，在?ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF，若EF＝3，则CD的长为 .
解析：本题要综合运用平行四边形的性质与三角形中位线定理.
解：∵E、F是AD、BD中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF＝ AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴EF＝ CD，
∴CD＝2EF＝2×3＝6.
6
【例3】如图所示，已知AO是△ABC中∠BAC的角平分线，BD⊥AO交AO的延长线于D，E是BC的中点，求证：DE＝（AB－AC）.
解析：由已知AO平分∠BAC及BD⊥AO可联想到构造等腰三角形，通过延长AC、BD交于点F构造等腰三角形，从而可发现DE为△BFC的中位线，进而证出DE＝ （AB－AC）.
证明：延长AC、BD交于点F，
∵AO是∠BAC的角平分线，BD⊥AD，
∴△ABF为等腰三角形，且AB＝AF，BD＝DF，
∵E为BC的中点，故ED为△BCF的中位线，
∴DE＝ CF＝ （AF－AC）＝ （AB－AC）.
【例4】如图，已知△ABC是锐角三角形，分别以AB、AC为边向外侧作两个等边三角形ABM和CAN.点D、E、F分别是MB、BC、CN的中点，连接DE、FE.求证：DE＝EF.
解析：DE与EF没有直接的联系，故要证明DE＝EF，必须先找到两者之间的联系.由点D、E、F分别是MB、BC、CN的中点，想到三角形的中位线，故连接BN、CM，证明BN＝CM即可.
证明：连接BN、CM.
∵△ABM、△CAN均为等边三角形，
∴AM＝AB，AC＝AN，
且∠MAB＝∠CAN＝60°.
而∠MAC＝∠MAB＋∠BAC，∠BAN＝∠CAN＋∠BAC，
故∠MAC＝∠BAN，
∴△MAC≌△BAN，
∴MC＝BN，
∵点D、E分别是MB、BC的中点，
∴DE＝ MC，
同理可得EF＝ BN.
∴DE＝EF.
点拨：题目中只要有中点这个条件，通常就要考虑三角形的中线、中位线，若中点较多时，往往考虑三角形的中位线，通过延长中位线法解决问题.
C
5
4
证明：∵D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，
∴DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
解：AC＝2AE＝2×5＝10
掌握三角形中位线的定义及三角形中位线定理，并能较熟练地应用三角形中位线定理进行有关的证明和计算.
(共36张PPT)
第六章 平行四边形
4 多边形的内角和与外角和
·
1.经历探索并归纳多边形内角和定理的过程，掌握多边形内
角和定理，并能熟练运用.
2.了解多边形的外角，多边形的外角和的概念.
3.了解多边形的外角和定理的推导过程，并能熟练运用多边
形的外角和定理.
重点：多边形内角和定理及多边形的外角和定理的运用.
难点：探索并归纳多边形内角和定理及多边形的外角和定理.
360°
反向延长线
n－3
n－2
（n－2）·180°
创设现实情境，提出问题
1．三角形是如何定义的？
2．仿照三角形定义，你能学着给四边形、
五边形…… 边形下定义吗？
实验探究
1．三角形的内角和是多少度？你是怎么得出的？
2．四边形的内角和是多少？你又是怎样得出的？
① 度量 ；
② 拼角；
③ 将四边形转化成三角形求内角和。
3．在四边形内角和的探索过程中，用到了几
种方法，你认为哪种方法好？请讲述你的理由。
4．根据四边形的内角和的求法，你能否求出
五边形的内角和呢？
方法总结：
方法1：如图1，连结AD、AC，五边形的
内角和为：3×180°=540°。
方法2：如图2，连结AC，则五边形内角和
为：360°+180°=540°。
方法3：如图3，在AB上任取点F，连FC、FD、FE，
则五边形的内角和为：4×180-180°=540°。
方法4：如图4，在五边形内任取一点O，连结OA、
OB、OC、OD、OE，则五边形内角和为：
5×180°-360°=540°。
方法5：如图5，在AB上任取一点F，连结FD，
则五边形的内角和为：
2×360°-180°=540°。
方法6：如图6，在五边开外任取一点O，连结
OA、OB、OC、OD、OE，则五边形内角和为：
4×180°-180°=540°。
小结：纵观以上各种证明思路，其共同点是
通过图形分割，把五边形问题转化为熟悉的
三角形、四边形问题来解决。
5．小组合作，完成下面的表格：
0
1
180°
1
2
2 × 180°
2
3
3 × 180°
3
4
4 × 180°
(n-3)
(n-2)
(n-2) × 180°
结论：
从 多边形的一个顶点可以引出（n-3) 条对角线，把n 边形分成(n-2) 个三角形。
从而得出：n 边形的内角和是(n-2) ·180° 。
清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。
（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？
（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
（3）在上图中，你能求出?1+ ? 2+ ? 3+ ? 4+ ? 5的结果吗？你是怎样得到的？
结论：?1+? 2 + ? 3+? 4+? 5=360°
如果广场的形状是六边形，那么还有类似的结论吗？
2 .如果广场的形状是八边形呢？
C
D
135
1.多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。
2.在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。
多边形的外角和等于多少？
方法Ⅰ：类似探究多边形的内角和的方法，由三角形、四边形、五边形…的外角和开始探究；
方法Ⅱ：由n边形的内角和等于（n-2）·180°出发，探究问题。
多边形的外角和等于360°
（1）还有什么方法可以推导出多边形外角和公式？
（2）利用多边形外角和的结论，能否推导出多边形内角和的结论？
A
360
12
【例1】若一个多边形的边数增加一条，其内角和变为1440°，求这个多边形的边数.
解析：注意对多边形内角和公式（n－2）·180°中n的理解，当n边形边数增加一条后，多边形变成了（n＋1）边形，故公式中的n相应地变成了n＋1.
解：设这个多边形的边数为n，增加一边后边数变为n＋1，由内角和公式，得（n＋1－2）·180°＝1440°，解得n＝9.即这个多边形的边数为9.
解：设这个多边形的边数为n，除去的这个角为x°.
依题意，得（n－2）·180°＝2210°＋x°.
即（n－2）·180°＝12×180°＋（50°＋x°），
∵等式右边是180°的整数倍.
∵0°＜x°＜180°，
∴x°＝130°，
此时n＝15.
∴这个多边形是十五边形，除去的这个角等于130°.
【例2】若一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为2210°，则这个多边形是几边形？除去的这个角等于多少度？
解析：由多边形内角和公式（n－2）·180°可知，多边形的内角和能被180整除，而多边形的每一个内角又都小于180°，2210°最少加上多少才能被180整除呢？易知除去的这个内角为130°，进而可求其边数.
【例3】如图所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数.
解析：已知图形为不规则的图形，我们可尝试将这7个角的和转化为一个多边形的内角和求解，如果连接BF，则可得到一个五边形，借助五边形的内角和可解决问题.
解：如图所示，连接BF.则∠A＋∠G＋∠1＝∠2＋∠3＋∠4，
∵∠1＝∠2，
∴∠A＋∠G＝∠3＋∠4，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G
＝∠D＋∠C＋∠CBF＋∠BFE＋∠E
＝（5－2）×180°
＝540°.
解：设多边形的边数为n，
则它的内角和为（n－2）·180°，
由题意得（n－2）·180°＝360°×5，
解得n＝12.
因此这个多边形是十二边形.
【例4】一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，它是几边形？
【例5】一个多边形的内角和与外角和的总和是2520°，试求这个多边形的边数.
解析：由多边形内角和为（n－2）·180°，外角和为360°，内、外角总和为2520°，则可由此列方程求解.
解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得（n－2）·180°＋360°＝2520°，
解得n＝14.
因此，这个多边形是十四边形.
【例6】有一个正多边形，它的一个外角等于相邻内角的0.2倍，这个多边形是几边形？
解析：根据外角与其相邻内角互补及已知条件，可以求得它的每一个外角都为30°，每一个内角都为150°，再利用外角相等及外角和为360°可求得边数，进而可确定是几边形.
解：设这个正多边形的每个内角为x°，
则每个外角为0.2x°，
得x°＋0.2x°＝180°，
解得x°＝150°，
则0.2x°＝0.2×150°＝30°.
这个正多边形的边数为：360°÷30°＝12.
因此，这个多边形是十二边形.
【例7】如图，小陈从点O出发，前进5m后向右转20°，再前进5m后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时，一共走了（ ）
A.60m B.100m C.90m D.120m
解析：小陈的行走路线围成的图形是一个正多边形，它的每条边长都是5m，每个外角都是20°，所以围成的正多边形的边数是360°÷20°＝18，故小陈行走的总路程为5×18＝90（m）.
C
D
B
C
不变
180
8
90°
解：∠B＝60°
解:设这个多边形的一个外角的度数为x，
则有x＝0.25（180°－x），
解得x＝36°，
360°÷36＝10，
∴（10－2）×180°＝1440°，
即此多边形为十边形，内角和为1440°
解：∵五边形ABCDE的内角和为（5－2）×180°＝540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝540°，
又∵∠A+∠B＝240°，
∴∠A＝240°－∠B，
又∵∠C＝∠D＝∠E＝2∠B，
∴240°－∠B+∠B+2∠B+2∠B+2∠B＝540°，
解得∠B＝50°
掌握多边形内角和定理及外角和定理，并能熟练运用.
