浙江省台州市第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

2019学年台州一中高二上期中
一、选择题：每小题4分，共40分
1．点A（1，2）到直线l：3x﹣4y﹣1＝0的距离为（　　）
A． B． C．4 D．6
2．设m，n是空间中不同的直线，α，β是空间中不同的平面，则下列说法正确的是（　　）
A．α∥β，m?α，则m∥β
B．m?α，n?β，α∥β，则m∥n
C．m∥n，n?α，则m∥α
D．m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥β
3．过两点A（4，y），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为45°，则y＝（　　）
A． B． C．﹣1 D．1
4．将半径为1，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
5．下列说法中正确的是（　　）
A．若一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．若一个命题的否命题为真，则它的逆否命题一定为真
C．“若a2+b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”
D．“若a2+b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则a2+b2≠0”
6．在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（　　）
A． B．
C． D．
7．平面内称横坐标为整数的点为“次整点”．过函数图象上任意两个次整点作直线，则倾斜角大于45°的直线条数为．（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
8．异面直线a、b和平面α、β满足a?α，b?β，α∩β＝l，则l与a、b的位置关系一定是（　　）
A．l与a、b都相交 B．l与a、b中至少一条平行
C．l与a、b中至多一条相交 D．l与a、b中至少一条相交
9．已知四棱锥P﹣ABCD，记AP与BC所成的角为θ1，AP与平面ABCD所成的角为θ2，二面角P﹣AB﹣C为θ3，则下面大小关系正确的是（　　）
A．θ1≤θ2 B．θ1≤θ3 C．θ2≤θ3 D．θ1≥θ3
10．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DC＝2，DA＝DD1＝1，点M、N分别为A1D和CD1上的动点，若MN∥平面AA1C1C，则MN的最小值为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题：11-14每空3分，15-17每空4分，共36分
11．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2）与点B（1，﹣3，1），则|AB|＝　 　，若在z轴上有一点M满足|MA|＝|MB|，则点M坐标为　 　．
12．已知直线l1：（m﹣1）x+6y+2＝0，l2：x+my+1＝0，m为常数，若l1⊥l2，则m的值为　 　，若l1∥l2，则m的值为　 　．
13．如图，P为△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝1，∠APB＝∠BPC＝60°，∠APC＝90°，若G为△ABC的重心，则|PG|长为　 　，异面直线PA与BC所成角的余弦值为　 　．

14．若圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与圆C：x2+y2+ax+by﹣7＝0（a，b，r为常数），关于直线x﹣y+2＝0对称，则a的值为　 　，r的值为　 　．
15．如图，正四棱锥P﹣ABCD的侧棱长为4，侧面的顶角均30°，过点A作一截面与PB、PC、PD分别相交于E、F、G，则四边形AEFG周长的最小值为　 　．

16．已知实数x、y满足（x﹣2）2+（y+3）2＝1，则|3x+4y﹣4|的最小值为　 　．
17．如图，正四面体ABCD中，CD∥平面α，点E在AC上，且AE＝2EC，若四面体绕CD旋转，则直线BE在平面α内的投影与CD所成角的余弦值的取值范围是　 　．

三、解答题：5小题，共74分
18．已知某几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示．

（1）求该几何体的侧视图的面积；
（2）求该几何体的体积．
19．已知p：关于x，y的方程C：x2+y2﹣4x+6y+m2﹣3＝0表示圆；q：圆x2+y2＝a2（a＞0）与直线3x+4y﹣5m+10＝0有公共点．若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
20．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝AD＝1，CD＝2，若将△BCD沿着BD折起至△BC'D，使得AD⊥BC'．

（1）求证：平面C'BD⊥平面ABD；
（2）求C'D与平面ABC'所成角的正弦值；
（3）M为BD中点，求二面角M﹣AC'﹣B的余弦值．
21．已知圆C过点A（2，6），且与直线l1：x+y﹣10＝0相切于点B（6，4）．
（1）求圆C的方程；
（2）过点P（6，24）的直线l2与圆C交于M，N两点，若△CMN为直角三角形，求直线l2的方程；
（3）在直线l3：y＝x﹣2上是否存在一点Q，过Q向圆C引两条切线，切点为E，F，使△QEF为正三角形，若存在，求出点Q坐标，若不存在，说明理由．
22．如图，三棱柱ABC﹣A'B'C'，AC＝2，BC＝4，∠ACB＝120°，∠ACC'＝90°，且平面AB'C⊥平面ABC，二面角A'﹣AC﹣B'为30°，E、F分别为A'C、B'C'的中点．
（1）求证：EF∥平面AB'C；
（2）求B'到平面ABC的距离；
（3）求二面角A﹣BB'﹣C'的余弦值．


一、选择题：每小题4分，共40分
1．B
2．A
3．C
4．B
5．D
6．B
7．B
8．D
9．C
10．B
二、填空题：11-14每空3分，15-17每空4分，共36分
11．，（0，0，﹣3）．
12．
13． ；0．
14． 4，．
15．4．
16． 5．
17． [0，]．
三、解答题：5小题，共74分
18．（1）由三视图知该几何体的侧视图是高为4，
底为的直角三角形，
所以侧视图的面积为S侧视图42．
（2）由三视图知该几何体是四棱锥，如图所示；
根据三视图中数据，计算该四棱锥的体积为
V四棱锥（2+4）×66．

19．∵p：关于x，y的方程C：x2+y2﹣4x+6y+m2﹣3＝0表示圆；∴（x﹣2）2+（y+3）2＝16﹣m2表示圆，即16﹣m2＞0，∴p?﹣4＜m＜4；
∵q：圆x2+y2＝a2（a＞0）与直线3x+4y﹣5m+10＝0有公共点．∴da，a＞0；解得，q?2﹣a≤m≤2+a；
∵p是q的必要不充分条件，∴q?p，但p推不出q，∴，解得，a＜2；
故实数a的取值范围是（﹣∞，2）．
20．（1）过点B作DC的垂线交DC于点E，得CE＝DE＝1，BE＝1，∴BC，
又AB＝AD＝1，∴BD，∴BC⊥BD，∴BC'⊥BD
又BC'⊥AD，且AD∩BD＝D，AD、BD?平面ABD
∴BC'⊥平面ABD，又BC'?平面C'BD，∴平面C'BD⊥平面ABD；
（2）由（1）BC'⊥平面ABD可知：平面ABC'⊥平面ABD，
又AD⊥AB，平面ABC'∩平面ABD＝AB，∴AD⊥平面ABC'，
∴C'D与平面ABC'所成角为∠DC'A，
由（1）BC'⊥平面ABD可知：BC'⊥AB，∴AC'，∴DC'＝2，
∴sin∠DC'A，即C'D与平面ABC'所成角的正弦值为；
（3）以A为原点，AD、AB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）BC'⊥平面ABD可知，A（0，0，0），B（0，1，0），C'（0，1，），D（1，0，0）
又M为BD的中点，∴M（），
∴，，，
∴平面MAC'的一个法向量，平面BAC'的一个法向量，
∴，
由图可知二面角M﹣AC'﹣B的大小为锐角，
∴二面角M﹣AC'﹣B的余弦值为．

21．（1）设圆心C（a，b），由题意：CA2＝CB2得，（a﹣2）2+（b﹣6）2＝（a﹣6）2+（b﹣4）2?2a﹣b﹣3＝0①，
CB⊥l1，1②，
由①②得，a＝1，b＝﹣1，
即圆心C（1，﹣1），半径r＝CA5，
所以圆C的方程：（x﹣1）2+（y+1）2＝50．
（2）．使△CMN为直角三角形，CM＝CN，则∠MCN＝90°，MNr＝10，
∴圆心到直线l2的距离为dMN＝5，
设l2的斜率存在时设直线l2方程：y﹣24＝k（x﹣6）?kx﹣y﹣6k+24＝0，
∴d5?k，
所以直线l2的方程：y﹣24（x﹣6），
当l2的斜率不存在时即x＝6，这时圆心到直线的距离为6﹣1＝5，正好△CMN也是直角三角形，也符合条件；
所以，直线l2的方程：12x﹣5y+48＝0或者x＝6．
（3），假设在直线l3：y＝x﹣2上是否存在一点Q（m，m﹣2），
要使△QEF为正三角形，
则Rt△CQE中，∠CQE＝30°，CQ＝2r，
∴（m﹣1）2+（m﹣2+1）2＝（2）2，
∴a＝11或﹣9
即点Q坐标（11，9）或（﹣9，﹣11）．
22．（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A'B'C'中，四边形ACC′A′是平行四边形，
AC′∩A′C＝E，
∴E是AC′的中点，
∵F是B'C'的中点，∴EF∥AB′，
∵EF?平面AB'C，AC′?平面AB'C，
∴EF∥平面AB'C．
（2）解：过B′作B′H⊥平面ABC，交AC延长线于点H，
过点H作CC′平行线HM，交A′C′于点M，连结HB，
则∠MHB′是二面角A'﹣AC﹣B'的平面角，
∵AC＝2，BC＝4，∠ACB＝120°，∠ACC'＝90°，且平面AB'C⊥平面ABC，二面角A'﹣AC﹣B'为30°，
∴∠MHB′＝∠BB′H＝30°，∠BCH＝60°，∴∠HBC＝30°，∠BHC＝90°，
∴CH，∴BH2，
∴B'到平面ABC的距离B′H6．
（3）解：以H为原点，HA为x轴，HB为y轴，HB′为z轴，建立空间直角坐标系，
A（4，0，0），B（0，2，0），B′（0，0，6），C′（2，﹣2，6），
（4，﹣2，0），（0，﹣2，6），（2，﹣4，6），
设平面ABB'的法向量（x，y，z），
则，取x，得（，2，），
设平面BB'C'的法向量（x，y，z），
则，取x，得（，1，），
设二面角A﹣BB'﹣C'的平面角为θ．
则cosθ．
∴二面角A﹣BB'﹣C'的余弦值为．