7.3 三角函数的性质与图像
7.3.1 正弦函数的性质与图像
课后篇巩固提升
基础巩固
1.函数y=的定义域为( )
A.R
B.{x|x≠kπ,k∈Z}
C.[-1,0)∪(0,1]
D.{x|x≠0}
答案B
2.函数f(x)=x3+sin x+1(x∈R),若f(-a)=2,则f(a)的值为( )
A.3 B.0
C.-1 D.-2
答案B
3.已知a是实数,则函数f(x)=1+asin ax的图像不可能是( )
解析当a=0时,f(x)=1,选项C符合;
当0<|a|<1时,T>2π,f(x)的最大值小于2,选项A符合;
当|a|>1时,T<2π,选项B符合.
排除选项A,B,C,故选D.
答案D
4.函数y=sinx+的一个单调增区间是( )
A.[-π,0] B.0,
C. D.,π
解析对于A选项,当x∈[-π,0]时,-≤x+,所以函数y=sinx+在区间[-π,0]上不单调;
对于B选项,当x∈0,时,≤x+,所以函数y=sinx+在区间0,上单调递增;
对于C选项,当x∈时,≤x+,所以函数y=sinx+在区间上单调递减;
对于D选项,当x∈,π时,≤x+,所以函数y=sinx+在区间,π上单调递减.故选B.
答案B
5.(多选)下列函数图像相同的是( )
A.y=sin x与y=sin(π-x)
B.y=sin与y=sin
C.y=sin x与y=sin(-x)
D.y=sin(2π+x)与y=sin x
解析根据诱导公式,y=sin(π-x)=sin x,故选A;y=sin(2π+x)=sin x,故选D.
答案AD
6.比较大小:
(1)sin cos;?
(2)cos cos.?
解析(1)因为cos=sin,
又,但y=sin x在上是减函数,
所以sin>sin=cos,
即sin>cos.
(2)因为-<-<-<0,且y=cos x在上是增函数,所以cos>cos.
答案(1)> (2)>
7.设f(x)是定义域为R,最小正周期为的周期函数,若f(x)=则f= .?
解析由题意,得f=f=f=sin=sin=sin.
答案
8.判断函数f(x)=xsin(π+x)的奇偶性.
解函数的定义域R关于原点对称.
∵f(x)=xsin(π+x)=-xsin x,
f(-x)=(-x)sin(π-x)=-xsin x=f(x),
∴f(x)是偶函数.
9.用“五点法”作出函数y=2-sin x,x∈[0,2π]的图像.
解列表如下:
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
-1
0
2-sin x
2
1
2
3
2
描点,用光滑曲线连起来,图像如图所示.
能力提升
1.已知a=sin 59°,b=sin 15°+cos 15°,c=2sin 31°·cos 31°,则实数a,b,c的大小关系是( )
A.a
C.a≥c≥b D.a≥b≥c
解析a=sin 59°,
b=sin 15°+cos 15°=sin 60°,
c=2sin 31°cos 31°=sin 62°.
因为y=sin x在[0°,90°]内单调递增,
所以a答案B
2.函数y=lg x与y=sin x的图像交点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析在同一坐标系中作出函数y=lg x与y=sin x的图像,如图所示.
由图像可知,它们有三个交点.
答案D
3.(多选)函数y=sin x与y=sin(-x)的图像关于( )对称.
A.x轴 B.y轴
C.直线y=x D.直线x=
解析∵函数y=f(x)与y=f(-x)的图像关于y轴对称,
∴函数y=sin x与y=sin(-x)的图像关于y轴对称.
∵函数y=f(x)与y=-f(x)的图像关于x轴对称,y=sin(-x)=-sin x,
∴函数y=sin x与y=sin(-x)的图像关于x轴对称.
答案AB
4.已知函数f(x)=2sin x,对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值为( )
A. B. C.π D.2π
解析由不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R恒成立,不难发现f(x1),f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值,故|x1-x2|的最小值为函数f(x)=2sin x的半个周期.
因为f(x)=2sin x的周期为2π,
所以|x1-x2|的最小值为π.
答案C
5.函数y=sin2x+2cos2x-sin x-3的最大值是( )
A. B.- C.3 D.-3
解析令t=sin x,t∈[-1,1],
则y=sin2x+2cos2x-sin x-3=-t2-t-1=-t+2-,ymax=-,故选B.
答案B
6.若f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x2-sin x,则当x<0时,f(x)= .?
解析当x<0时,-x>0,
所以f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sin x.
又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).
所以f(x)=-x2-sin x.
答案-x2-sin x
7.已知方程cos2x+4sin x-a=0有解,则a的取值范围是 .?
答案[-4,4]
8.求函数f(x)=+lg(25-x2)的定义域.
解由题意可知
作出函数y=sin x的图像如图.
满足sin x-≥0的x的集合为(k∈Z).
又25-x2>0,即-5故该函数的定义域为.
9.若函数y=a-bsin x的最大值为,最小值为-,求函数f(x)=-4absin x的最值.
解①当b>0时,
由题意,得解得
所以f(x)=-2sin x,此时f(x)的最大值为2,最小值为-2.
②当b<0时,由题意,得
解得所以f(x)=2sin x,此时f(x)的最大值为2,最小值为-2.
10.设函数f(x)=.
(1)请指出函数y=f(x)的定义域、周期性和奇偶性;(不必证明)
(2)请以正弦函数y=sin x的性质为依据,并运用函数的单调性定义证明:y=f(x)在区间0,上单调递减.
(1)解∵函数f(x)=,∴sin x≠0,x≠kπ,k∈Z,
故函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.
显然,f(x)的周期,即y=sin x的周期为2π.
由于满足f(-x)==-=-f(x),故f(x)为奇函数.
(2)证明正弦函数y=sin x在区间0,上单调递增,设0∴f(x1)==f(x2),
即f(x1)>f(x2),
因此y=f(x)在区间0,上单调递减.
课件27张PPT。7.3.1 正弦函数的性质与图像1.什么叫角α的正弦线?
提示:角α的终边与单位圆交于点P,过点P作PM垂直于x轴,则 即为角α的正弦线.
2.描点法作图的基本步骤是什么?
提示:描点法作图的基本步骤是:取值、列表、描点、连线、成图.
3.填空:
(1)对于任意一个角x,都有唯一确定的正弦sin x与之对应,因此y=sin x是一个函数,一般称为正弦函数.?(2)正弦函数的性质与图像 (3)周期:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得对定义域内的每一个x,都满足f(x+T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数,非零常数T称为这个函数的周期.
(4)正弦曲线:一般地,y=sin x的函数图像称为正弦曲线.4.做一做:求f(x)=sin(3π+x)的最大值和单调递增区间. 5.做一做:下列函数中,不是周期函数的是( )
A.y=-sin x,x∈R
B.y=3,x∈R
C.y=sin(4π+x),x∈[-10π,10π]
D.y=sin x,x∈(0,+∞)
答案:C探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测用“五点法”作函数的图像
例1作出函数y=-sin x,x∈[-π,π]的图像简图.
解:列表如下:作出图像如图所示: 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟用“五点法”画函数图像的基本步骤
(1)列表: (3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来. 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练1函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图像为图中的( ) 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解析:方法1:利用五点法作出x∈[0,2π]上的函数图像,列表如下: 描点、连线得其大致图像如图所示,对照选项中的图像,可知选B.
方法2:令x=0,则y=1-sin 0=1,因此图像过点(0,1),可排除C,D;又令答案:B 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测求定义域 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟函数定义域的求法
求三角函数的定义域,一般应根据各式有意义转化为求不等式(组)的解的问题,利用三角函数线或三角函数的图像进行求解.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测函数奇偶性的判断
例3判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xsin(π+x);分析:利用函数奇偶性的定义进行判断.
解:(1)函数的定义域为R,关于原点对称.
又f(x)=xsin(π+x)=-xsin x,
所以f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsin x=f(x),
因此f(x)是偶函数.
(2)函数应满足1+sin x≠0,所以函数的定义域不关于原点对称.
所以该函数既不是奇函数也不是偶函数.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟判断函数奇偶性的方法
(1)函数的定义域是判断函数奇偶性的前提,即首先要看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.(2)注意奇偶性判定法的变通探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测正弦函数单调性的应用
例4比较下列各组数的大小:分析:变形主要有两种:一是异名函数化为同名函数;二是利用诱导公式将角变换到同一单调区间上.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测(4)sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°,
cos 160°=cos(180°-20°)=-cos 20°=-sin 70°.
因为0°<14°<70°<90°,
所以sin 14°所以-sin 14°>-sin 70°,即sin 194°>cos 160°.
反思感悟利用正弦函数的单调性比较正弦值的大小的方法
(1)同名函数,若两角在同一单调区间,直接利用单调性得出,若两角不在同一单调区间,则要通过诱导公式把角转化到同一单调区间,再进行比较;
(2)异名函数,先应用诱导公式转化为同名函数,然后再比较.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测分类讨论思想在正弦函数中的应用
典例求函数y=asin x+b(a≠0)的最值.
解:若a>0,当sin x=1时,ymax=a+b.
当sin x=-1时,ymin=-a+b.
若a<0,当sin x=-1时,ymax=-a+b,
当sin x=1时,ymin=a+b.
方法点睛研究函数的最值时,不但要注意定义域,同时还需注意单调性.如y=ax+b(a≠0),当a>0时为增函数,当a<0时为减函数.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测1.正弦函数y=sin x(x∈R)的图像的一条对称轴是( )
A.y轴 B.x=
C.直线x=π D.x轴
答案:B
2.下列大小关系正确的是( )探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测答案:D 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测4.若a=sin 1,b=sin 2,c=sin 3,则a,b,c由小到大的顺序为 .?
解析:由题意知sin 2=sin(π-2),sin 3=sin(π-3),所以sin(π-3)即sin 3答案:c解:y=2cos2x+5sin x-4=-2sin2x+5sin x-2