7.3.2 正弦型函数的性质与图像
课后篇巩固提升
基础巩固
1.若将函数y=2sin(3x+φ)的图像向右平移个单位后得到的图像关于点对称,则|φ|的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析将函数y=2sin(3x+φ)的图像向右平移个单位后得到的函数为
y=2sin=2sin,由3x+=kπ(k∈Z),得x=(k∈Z).
令(k∈Z).
所以φ=kπ-(k∈Z),|φ|的最小值为.
答案A
2.函数y=2sin的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案B
3.要得到y=sin的图像,只要将y=sin 2x的图像( )
A.向右平移个单位
B.向左平移个单位
C.向右平移个单位
D.向左平移个单位
答案D
4.已知函数f(x)=Asin(2x+φ)A≠0,|φ|<,若x=是f(x)图像的一条对称轴方程,则下列说法正确的是( )
A.f(x)图像的一个对称中心为,0
B.f(x)在-上是减函数
C.f(x)的图像过点0,
D.f(x)的最大值是A
解析∵x=是f(x)图像的一条对称轴方程,∴2×+φ=+kπ(k∈Z),又|φ|<,∴φ=,
∴f(x)=Asin2x+.
f(x)图像的对称中心为,0(k∈Z),故A正确;由于A的正负未知,所以不能判断f(x)的单调性和最值,故B、D错误;f(0)=,故C错误.故选A.
答案A
5.某正弦曲线的一个最高点为,与其相邻的一个最低点到这个最高点的一段图像交x轴于点,最低点的纵坐标为-3,则这个正弦曲线的解析式为( )
A.y=3sin B.y=3sin
C.y=3sin D.y=3sin
解析由题意知A=3,,即T=2,由=2,得ω=π.因此该函数为y=3sin(πx+φ),则+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z.∵当k=0时,φ=,∴y=3sin.
答案A
6.函数y=2 020sin的振幅为 ,周期为 ,初相为 .?
答案2 020 4π
7.若函数y=5sin的周期不大于1,则自然数k的最小值为 .?
解析∵T=,且|T|≤1,即≤1,且k为自然数,∴k≥6π,因此kmin=19.
答案19
8.求函数f(x)=cos2x-sin x,x∈的最大值.
解f(x)=1-sin2x-sin x=-.
因为-≤x≤,所以当x=-,即sin x=-时,f(x)取得最大值.
9.如图为函数y=Asin(ωx+φ)的图像的一段.试确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式.
解解法1:由图可知A=3,B,C,
则?ω=2,φ=.
故y=3sin.
解法2:由振幅情况知A=3,,
T=π=?ω=2.
由B,令×2+φ=π,得φ=.
故y=3sin.
解法3:由T=π,A知,图像由y=3sin 2x向左平移个单位而得,故y=3sin 2=3sin.
能力提升
1.如图所示是函数y=Asin(ωx+φ)+k在一个周期内的图像,那么这个函数的一个解析式为( )
A.y=2sin-1 B.y=2sin-1
C.y=3sin-1 D.y=3sin-1
答案C
2.已知函数f(x)=sin2x+,将其图像向右平移φ(φ>0)个单位后得到函数g(x)的图像,若函数g(x)为偶函数,则φ的最小值为( )
A. B. C. D.
解析由题意得g(x)=sin2(x-φ)+=sin2x-2φ+,因为g(x)为偶函数,所以函数g(x)的图像关于x=0对称,所以当x=0时,函数g(x)取得最大值或最小值,所以sin-2φ+=±1,所以-2φ+=kπ+,k∈Z,解得φ=-,k∈Z,因为φ>0,所以当k=-1时,φmin=,故选B.
答案B
3.(多选)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像如图所示,为了与g(x)=-Acos ωx的图像重合,可以将f(x)的图像( )
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向左平移个单位
解析由题图所示可知A=1,T=4π-=π,所以ω==2,f(x)=sin2x+,g(x)=-cos 2x=-sin-2x+2kπ=sin2x-+2kπ=sin2x-+kπ+(k∈Z),可验证得k=0时,B正确,k=1时,C正确,故选BC.
答案BC
4.函数y=sin的图像可由函数y=sin x的图像作两次变换得到,第一次变换是针对函数y=sin x的图像而言的,第二次变换是针对第一次变换所得图像而言的.现给出下列四个变换:①图像上所有点向右平移个单位;②图像上所有点向右平移个单位;③图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变);④图像上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变).
请按顺序写出两次变换的代表序号: .(只需填写一组)?
解析y=sin x图像上所有点向右平移个单位,得y=sin,再将图像上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得y=sin.故选②④.或y=sin x图像上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得y=sin 2x,再将图像上所有点向右平移个单位得y=sin 2=sin,故选④①.
答案②④或④①
5.已知ω>0,函数f(x)=sin上单调递减,则ω的取值范围是 .?
解析结合y=sin ωx的图像可知y=sin ωx在上单调递减,而y=sin=sin,可知y=sin ωx的图像向左平移个单位之后可得y=sin的图像,故y=sin上单调递减,应有,解得≤ω≤.
答案
6.(双空)函数y=Asin(ωx+φ)的最小值为-2,其图像相邻的最高点与最低点的横坐标之差是3π,又图像过点(0,1),则这个函数解析式是 ,单调递增区间为 .?
答案y=2sin [6kπ-2π,6kπ+π],k∈Z
7.关于函数f(x)=4sin(x∈R)有下列命题:
①由f(x1)=f(x2)=0,可得x1-x2必是π的整数倍;
②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos;
③y=f(x)的图像关于点对称;
④y=f(x)的图像关于直线x=-对称.
其中真命题的序号是 (把你认为正确的命题的序号都填上).?
解析如图所示为y=4sin的图像.
函数图像与x轴的交点均匀分布,相邻的两个交点的距离为,故命题①不是真命题;因为与x轴的每一个交点都是函数图像的一个对称中心,所以③是真命题;因为函数图像的对称轴都必须经过图像的最高点或最低点,所以直线x=-不是对称轴,故④不是真命题;最后由诱导公式可知cos=sin=sin,所以命题②是真命题,应填②③.
答案②③
8.已知函数f(x)=Asinωx+(A>0,ω>0)的最小正周期为π,且该函数图像上的最低点的纵坐标为-3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调递增区间及对称轴方程.
解(1)∵f(x)的最小正周期为π,又ω>0,T==π,∴ω==2.
又函数f(x)图像上的最低点纵坐标为-3,且A>0,∴A=3.
∴f(x)=3sin2x+.
(2)由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
∴函数f(x)的单调递增区间为kπ-,kπ+,k∈Z,
由2x++kπ,得x=,k∈Z,
∴函数f(x)的对称轴方程为x=,k∈Z.
课件30张PPT。7.3.2 正弦型函数的性质与图像一、正弦型函数
1.什么叫正弦函数?
提示:形如y=sin x的函数叫正弦函数.
2.填空:
一般地,形如y=Asin(ωx+φ)的函数,在物理、工程等学科的研究中经常遇到,这种类型的函数称为正弦型函数,其中A,ω,φ都是常数,且A≠0,ω≠0.是 ,频率是 ,相位是 ,初相是 .?二、正弦型函数的图像变换 3.填空:由函数y=sin x的图像通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像有两种主要途径:三、正弦型函数的性质
1.正弦函数的性质主要有哪些?2.填空:根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像,我们可以得到它的性质.
(1)定义域:R.
(2)值域:[-A,A].(4)奇偶性:当φ=0时,为奇函数;当φ≠0时,为非奇非偶函数. 答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测作正弦型函数的图像 分析:采用“五点法”作三角函数图像,关键在于确定“五点”. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:列表: 描点画图: 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测正弦型函数的图像变换 解:变换过程可以先伸缩后平移,也可先平移后伸缩,
变换一(先伸缩后平移):探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测正弦型函数的综合应用 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟(1)记住一个重要结论:对于函数f(x)来说,若总有f(a+x)=f(a-x),则该函数图像关于直线x=a对称.
(2)求f(x)的最值时,注意定义域的作用.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测整体法求复合函数的单调区间
典例求下列函数的单调递增区间.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法点睛(1)求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,首先把x的系数化为正的,再利用整体代换,即把ωx+φ代入相应不等式中,求解相应的变量x的取值范围.
(2)求复合函数的单调区间时,要先求定义域,同时还要遵循“同增异减”的法则.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:AC 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:D 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)的部分图像如图所示,则f(0)的值是 .?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(1)用“五点法”作出函数的简图;
(2)此函数图像是由y=sin x的图像经过怎样变换得到的?
(3)求此函数图像的对称轴、对称中心及函数的单调递增区间.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)列表如下: 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测
