7.3.3 余弦函数的性质与图像
课后篇巩固提升
基础巩固
1.函数y=cos的图像的两条相邻对称轴间的距离为( )
A. B. C. D.π
解析y=cos的最小正周期T=.
其相邻两条对称轴间的距离为半个周期,故两条相邻对称轴间的距离为d=.
答案B
2.函数y=3cos 2x+4是( )
A.最小正周期为π的偶函数
B.最小正周期为2π的偶函数
C.最小正周期为π的奇函数
D.最小正周期为2π的奇函数
解析T==π,f(-x)=3cos(-2x)+4=3cos 2x+4=f(x),所以函数的最小正周期为π,是偶函数,故选A.
答案A
3.若f(x)=2cos(ωx+φ)+m,对任意实数t都有f=f(-t),且f=-1,则实数m=( )
A.±1 B.±3 C.-3或1 D.-1或3
解析∵f=f(-t)对任意t成立,
∴f(x)关于x=对称.
∴f=m±2=-1,∴m=-3或m=1.
答案C
4.函数y=-cos的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析令2kπ≤≤2kπ+π,k∈Z,
则4kπ+≤x≤4kπ+,k∈Z.
故该函数的递增区间为,k∈Z.
答案D
5.同时具有性质“①最小正周期是π;②图像关于直线x=对称;③在上是减函数”的一个函数是 ( )
A.y=sin
B.y=cos
C.y=sin
D.y=cos
答案B
6.函数y=sin2x-cos x+1的最大值为 .?
解析y=sin2x-cos x+1=-cos2x-cos x+2
=-cos x+2+.
∵-1≤cos x≤1,
∴当cos x=-时,ymax=.
答案
7.(双空)函数y=lo(cos x)的定义域是 .函数y=lo(cos2x+2cos x+1)的值域为 .?
解析函数y=locos x有意义,则cos x>0,由余弦函数y=cos x的图像可知,当2kπ-0,故函数y=locos x的定义域为x2kπ-cos x∈[-1,1],cos2x+2cos x+1∈[0,4],所以y=lo(cos2x+2cos x+1)∈[-2,+∞).
答案-+2kπ,+2kπ,k∈Z [-2,+∞)
8.已知函数y=a-bcos x的最大值是,最小值是-,求函数y=-4bsin ax的最大值、最小值及周期.
解∵-1≤cos x≤1,由题意知b≠0.
当b>0时,-b≤-bcos x≤b,
∴a-b≤a-bcos x≤a+b.
∴解得
∴y=-4bsin ax=-4sinx.
最大值为4,最小值为-4,最小正周期为4π.
当b<0时,b≤-bcos x≤-b,
∴a+b≤a-bcos x≤a-b.
∴解得
∴y=-4bsin ax=4sinx.
最大值为4,最小值为-4,最小正周期为4π.
9.已知函数y=cos x+|cos x|.
(1)画出函数的简图.
(2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期.
(3)指出这个函数的单调增区间.
解(1)y=cos x+|cos x|
=
函数图像如图.
(2)由图像可知该函数是周期函数,且函数的最小正周期是2π.
(3)由图像可知函数的单调递增区间为(k∈Z).
能力提升
1.若把函数y=3cos2x+的图像上的所有点向右平移m(m>0)个单位后,所得到的图像关于y轴对称,则m的最小值是( )
A.π B. C. D.
解析y=cos2x+y=3cos 2x+-m.
因为图像关于y轴对称,所以当x=0时,2×0+-2m=kπ(k∈Z),m=(k∈Z),当k=0时,m=,故选C.
答案C
2.下列四个函数中,既是上的增函数,又是以π为周期的偶函数是( )
A.y=|sin x| B.y=|sin 2x|
C.y=|cos x| D.y=cos 2x
答案A
3.三个数cos,sin,-cos的大小关系是( )
A.sin>cos>-cos
B.cos>-cos>sin
C.cosD.-cos解析sin=cos,-cos=cos.
因为π>>π->0,而y=cos x在[0,π]上单调递减,
所以cos即cos答案C
4.下列函数中,图像的一部分如图所示的是( )
A.y=sin B.y=sin
C.y=cos D.y=cos
答案D
5.已知ω>0,函数f(x)=cos-ωx在,π上单调递减,则ω的取值范围是( )
A.(0,2] B.0,
C. D.
解析令t=-ωx,则函数f(x)=cos-ωx,由y=cos t及t=-ωx复合而成,
因为ω>0,所以t=-ωx为减函数,
要使得函数f(x)=cos-ωx在,π上单调递减,
则y=cos t必须递增,
令-π+2kπ≤t≤2kπ(k∈Z),
即-π+2kπ≤-ωx≤2kπ(k∈Z),
解得要使得函数f(x)=cos-ωx在,π上单调递减,
则,π?(k∈Z),
即解得
当k=0时,≤ω≤.
当k≠0时,ω不存在,故选D.
答案D
6.设函数f(x)=cos+1,有以下结论:
①点是函数f(x)图像的一个对称中心;
②直线x=是函数f(x)图像的一条对称轴;
③函数f(x)的最小正周期是π;
④将函数f(x)的图像向右平移个单位后,对应的函数是偶函数.
其中所有正确结论的序号是 .?
解析∵f(x)的图像是由y=cos向上平移1个单位得到,
y=cos的对称中心的纵坐标为0,
∴f(x)的对称中心的纵坐标为1,故①错;
当x=时,f(x)取得最小值0,
∴x=是f(x)的一条对称轴,故②正确;
T==π,故③正确;
f(x)的图像向右平移个单位后,得到y=cos 2x+1的图像,它是偶函数,故④正确.
答案②③④
7.(双空)函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图像向右平移个单位后,与函数y=sin的图像重合,则φ= .此时y=cos(2x+φ)的单调递减区间为 .?
解析∵函数y=cos(2x+φ)向右平移个单位,
得到y=sin,
即y=sin向左平移个单位得到y=cos(2x+φ),
∴y=sin=sin=-sin=cos=cos=cos(2x+φ),即φ=.
令2kπ≤2x+≤2kπ+π(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
∴y=cos(x+y)的单调递减区间为kπ-,kπ+(k∈Z).
答案 kπ-,kπ+(k∈Z)
8.已知函数f(x)=2cos ωx(ω>0),且函数y=f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值;
(2)将函数y=f(x)的图像向右平移个单位后,再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,求g(x)的单调递减区间.
解(1)因为f(x)的周期T=π,故=π,所以ω=2.
所以f(x)=2cos 2x.所以f=2cos.
(2)将y=f(x)的图像向右平移个单位后,得到y=f的图像,再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到y=f的图像,所以g(x)=f=2cos=2cos.当2kπ≤≤2kπ+π(k∈Z),
即4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递减,
因此g(x)的单调递减区间为
(k∈Z).
9.已知函数f(x)=2cos2x+,x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当x∈-时,方程f(x)=k恰有两个不同的实数根, 求实数k的取值范围;
(3)将函数f(x)=2cos2x+的图像向右平移m(m>0)个单位后所得函数g(x)的图像关于原点中心对称,求m的最小值.
解(1)由余弦函数的单调性,解不等式2kπ+π<2x+<2kπ+2π,k∈Z,
得+kπ(2)函数f(x)=2cos2x+的单调递增区间为+kπ,+kπ,k∈Z,单调递减区间为+kπ,+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)在-,-上单调递增,在-上单调递减,
则f-=0,f-=2,f=-,
所以当0≤k<2时,函数y=k与函数y=f(x)的图像有两个公共点,
即当0≤k<2时,方程f(x)=k恰有两个不同的实数根.
(3)函数f(x)=2cos2x+的图像向右平移m(m>0)个单位,
得到图像对应的函数为g(x)=2cos2x+-2m,则g(x)是奇函数,
g(0)=2cos0+-2m=0,
即-2m=kπ+,k∈Z,
则m=-,k∈Z,
因为m>0,所以当k=-1时,mmin=.
课件24张PPT。7.3.3 余弦函数的性质与图像一、余弦函数的性质与图像
1.将函数y=sin x的图像向左平移 个单位得到图像对应函数的解析式是什么?
提示:y=cos x.
2.填空:
(1)余弦函数:对于任意一个角x,都有唯一确定的余弦cos x与之对应,所以y=cos x是一个函数,一般称为余弦函数.(2)余弦函数的性质与图像 (3)余弦曲线:函数y=cos x的图像称为余弦曲线.?
3.做一做:函数y=2cos x-1的最大值是 ,周期是 ,单调递增区间为 .?
答案:1 2π [2kπ-π,2kπ],k∈Z二、余弦型函数y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质
1.什么是正弦型函数?
提示:y=Asin(ωx+φ).
2.填空:探究一探究二探究三思维辨析当堂检测余弦函数图像的画法 分析:列表,描出五个关键点,用光滑曲线连接即可.
解:列表如下:描点绘图,如图所示. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟“五点法”作图的应用技巧
在画函数y=Acos(ωx+φ)的图像时,所取的五点应由探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:列表如下: 描点作图(如图). 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测三角函数的定义域问题
例2求下列函数的定义域:探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用数轴求解,如图所示: 反思感悟1.用三角函数的图像解sin x>a(或cos x>a)的方法
(1)作出y=a,y=sin x(或y=cos x)的图像.
(2)确定sin x=a(或cos x=a)的x值.
(3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集.
2.利用三角函数线解sin x>a(或cos x>a)的方法
(1)找出使sin x=a(或cos x=a)的两个x值的终边所在的位置.
(2)根据变化趋势确定不等式的解集.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测与余弦函数有关的值域问题
例3求下列函数的值域:
(1)y=-2cos x-1;探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟求值域或最大值、最小值问题的一般依据及方法
(1)sin x,cos x的有界性,即|sin x|≤1,|cos x|≤1;
(2)sin x,cos x的单调性,通常结合函数图像来解决;
(3)化为sin x=f(y)或cos x=f(y),再利用|f(y)|≤1来确定;
(4)通过换元转化为二次函数问题,换元时注意变量范围的一致性.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)y=sin2x+2cos x-2=-cos2x+2cos x-1=-(cos x-1)2.
∵-1≤cos x≤1,
∴函数y=sin2x+2cos x-2的值域为[-4,0].探究一探究二探究三思维辨析当堂检测应用数形结合法解三角不等式 方法点睛结合函数图像解不等式,可使抽象问题直观化. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:A 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.(多选)已知函数f(x)=cos x,下列结论不正确的是 ( )
A.函数y=f(x)的最小正周期为2π
B.函数y=f(x)在区间(-π,0)内单调递减
C.函数y=f(x)的图像关于x=π轴对称答案:BD 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解析:f(x1)与f(x2)分别是f(x)的最小值与最大值,则|x1-x2|的最小值为半个周期,即|x1-x2|min=4π.
答案:4π探究一探究二探究三思维辨析当堂检测
