7.3.5 已知三角函数值求角
课后篇巩固提升
基础巩固
1.函数y=arctan 的一个值域是( )
A. B.
C. D.
解析因为≥0,所以arctan,则arctan,故选B.
答案B
2.若P(sin θ,cos θ)是角α终边上的一点,则α的值等于 ( )
A.-θ B.θ
C.2kπ+-θ(k∈Z) D.kπ+-θ(k∈Z)
解析由题意可知tan α=tan,则α=kπ+-θ,k∈Z.
答案D
3.已知α是三角形的内角,且sin α=,则α等于( )
A. B. C. D.
解析因为α∈(0,π),且sin α=,故α=或α=.
答案D
4.(多选)已知cos x=-,0A. B. C. D.
解析∵x∈0,且cos x=-,∴x∈,
∴x=或x=.
答案AB
5.若sin x=-,x∈,则x=( )
A.arcsin-
B.2π+arcsin-
C.π+arcsin
D.π-arcsin
解析由题意得sin(π-x)=-,∵x∈,
∴π-x∈-,
则π-x=arcsin-,
因此x=π-arcsin-=π+arcsin .
故选C.
答案C
6.arccos= .?
解析∵cos=cos,且cos∈[0,1],
∴arccos=arccos.
答案
7.函数y=+π-arccos(2x-3)的定义域是 .?
答案
8.已知集合A=,集合B=,求A∩B.
解因为A=,
所以A=xx=2kπ+,k∈Z或x=2kπ+,k∈Z.
因为B=,
所以B=
=.
所以A∩B=.
能力提升
1.若0A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析由题意可得sin2x=,则sin x=±,当sin x>0时,x的值有两个,分别在第一、二象限,当sin x<0时,x的值也有两个,分别在第三、四象限.故选D.
答案D
2.若tan,则在区间[0,2π]上使其成立的x值的个数为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
解析∵tan,∴可知2x+=kπ+(k∈Z),即x=(k∈Z),∵x∈[0,2π],∴当k=1时,x=,当k=2时,x=,当k=3时,x=,当k=4时,x=,共4个值符合要求.
答案B
3.已知等腰三角形的顶角为arccos,则底角的正切值是( )
A. B.- C. D.
解析由题意得三角形顶角为arccos,
底角为.故tan.
答案A
4.若P(-1,2)是钝角α的终边上一点,则角α可以表示为 ( )
A.arcsin
B.arccos-
C.arctan(-2)
D.以上都不对
解析由题意可得sin α=,cos α=-,tan α=-2,
又α∈,π,
可知α=π-arcsin=arccos-
=π+arctan(-2).
故选B.
答案B
5.若A为△ABC的一个内角,且sin A+cos A=,则A为( )
A.arcsin B.arcsin
C.π-arcsin D.+arccos
解析因为sin2A+cos2A=1,sin A+cos A=,
所以sin A=,cos A=-,故A=π-arcsin .
答案C
6.(双空)若x=是方程2cos(x+α)=1的解,其中α∈(0,2π),则α= .x=-时2cos(x+α)= .?
答案
7.(双空)方程cos x=sin的解集为 .不等式cos x>sin 的解集为 .?
解析因为cos x=sin,又由诱导公式可得sin=cos=cos-,
所以x=2kπ±,k∈Z,方程cos x=sin的解集为xx=2kπ±,k∈Z.
所以不等式cos x>sin的解集为x2kπ-答案xx=2kπ±,k∈Z x2kπ-8.设sin θ,cos θ是方程4x2-4mx+2m-1=0的两个根,<θ<2π,求m和θ的值.
解由根与系数的关系,得
②代入①的平方,得1+2×=m2,
解得m=或m=.
因为<θ<2π,所以sin θcos θ<0,
所以m<,故m=,
则原方程变为4x2-2(1-)x-=0.
由于sin θ<0,cos θ>0,
所以cos θ=,所以θ=.
9.已知△ABC的三个内角A,B,C满足sin(180°-A)=cos(B-90°),cos A=-cos(180°+B),求角A,B,C的大小.
解∵sin(180°-A)=cos(B-90°),
∴sin A=sin B. ①
又cos A=-cos(180°+B).
∴cos A=cos B. ②
①2+②2,得cos2A=,即cos A=±.
∵A∈(0,π),∴A=或A=.
(1)当A=时,有cos B=,
又B∈(0,π),∴B=,C=.
(2)当A=时,由②得cos B==-<0.
可知B为钝角,在一个三角形中不可能出现两个钝角,此种情况无解.
综上,可知角A,B,C的大小分别为.
课件22张PPT。7.3.5 已知三角函数值求角2.填空:如图所示,分别写出sin α的正弦线、余弦线与正切线.2.填空: 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测已知正弦值求角 分析:借助正弦函数的图像及所给角的范围求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟已知正弦值求角的解题策略
给值求角,由于范围不同,所得的角可能不同,一定要注意范围条件的约束作用.对于sin x=a(x∈R),-1≤a≤1,这个方程的解可表示成x=2kπ+arcsin a(k∈Z)或x=2kπ+π-arcsin a(k∈Z).从而方程的解集为{x|x=kπ+(-1)karcsin a,k∈Z}.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测已知余弦值求角
例2已知cos x=- ,
(1)若x∈[0,π],求x;(2)若x∈[0,2π],求x.
分析:借助余弦函数的图像及所给角的范围求解即可.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟已知余弦值求角的解题策略
cos x=a(-1≤a≤1),当x∈[0,π]时,则x=arccos a,当x∈R时,可先求得[0,2π]内的所有解,再利用周期性可求得{x|x=2kπ±arccos a,k∈Z}.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1已知cos x=-0.345.
(1)当x∈[0,π]时,求x;
(2)当x∈R时,求x的取值集合.
解:(1)∵cos x=-0.345,且x∈[0,π],
∴x=arccos(-0.345)=π-arccos 0.345.
(2)当x∈R时,先求出[0,2π]上的解.
∵cos x=-0.345,∴x是第二或第三象限的角,
由(1)知x1=π-arccos 0.345为第二象限的角,∴x2=π+arccos 0.345,
因此当x=2kπ+x1或2kπ+x2,k∈Z时,cos x=-0.345,
即所求x的集合为{x|x=2kπ±arccos(-0.345),k∈Z}.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测已知正切值求角 (2)当x为三角形的一个内角时,求角x的值;
(3)当x∈R时,求角x的值.
分析:先求出满足tan α= 的锐角α,再由诱导公式转换得出.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟对于已知正切值求角有如下规律: 变式训练2已知tan x=2,且x∈[3π,4π],求x.(用符号表示)
解:∵3π≤x≤4π,∴x-3π=arctan 2,得x=3π+arctan 2.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测已知三角函数值求角的方法
三角函数中求角的问题是一个综合性问题.如果已知一个角的三角函数值,求这个角,我们可以按照“已知三角函数值求角”的步骤来求.
已知三角函数值求角的步骤如下:
(1)由已知三角函数值的符号确定角的终边所在的象限(或终边在哪条坐标轴上);
(2)若函数值为正数,先求出对应锐角α,若函数值为负数,先求出与其绝对值对应的锐角α;
(3)根据角所在象限,由诱导公式得出0~2π间的角.如果适合已知条件的角在第一象限,则它是α;如果适合已知条件的角在第二象限,则它是π-α;如果适合已知条件的角在第三、第四象限,则它分别是π+α和2π-α;
(4)如果要求适合条件的所有角,则利用终边相同的角的表达式来写出.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法点睛在解决与三角形有关的问题时一定要注意两个隐含条件:一是A+B+C=π,二是三角形内角范围为(0,π).探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:AB 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.满足等式sin(2x+45°)=cos(30°-x)的最小正角x是 .?
解析:sin(2x+45°)=sin(60°+x),要使x>0,且最小,则2x+45°=60°+x,所以x=15°.
答案:15°
5.若arccos(2x-1)有意义,则x的取值范围是 .?
解析:要使arccos(2x-1)有意义,则需-1≤2x-1≤1,即0≤x≤1,故x∈[0,1].
答案:[0,1]
