7.3.4 正切函数的性质与图像
课后篇巩固提升
基础巩固
1.y=tan x的单调性为( )
A.在整个定义域上为增函数
B.在整个定义域上为减函数
C.在(k∈Z)上为增函数
D.在(k∈Z)上为减函数
解析由正切函数的性质可知,C选项正确.
答案C
2.函数y=的值域为( )
A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-1,+∞)
解析∵-
答案B
3.函数f(x)=的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
解析k∈Z,∴x≠,k∈Z.
∴f(x)的定义域为.
答案A
4.要得到y=tan 2x的图像,只需将y=tan的图像( )
A.向左平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向右平移个单位
答案D
5.(多选)若直线y=m(m为常数)与函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图像的相邻两支相交于A,B两点,且|AB|=,则 ( )
A.函数f(x)的最小正周期为
B.ω=4
C.函数f(x)图像的对称中心的坐标为(k∈Z)
D.函数|f(x)|图像的对称轴方程均可表示为x=(k∈Z)
解析∵|AB|=,则T=,∴ω=4.故A错,B正确;
令4x=kπ,k∈Z,∴x=kπ,k∈Z.
∴y=tan 4x的图像的对称中心为(k∈Z).故C正确.
y=|f(x)|图像的对称轴方程为x=(k∈Z),故D错.
答案BC
6.函数y=3tan(π+x),-解析函数y=3tan(π+x)=3tan x,因为正切函数在-上是增函数,所以-3答案(-3,]
7.已知f(x)=atan-bsin x+4(其中a,b为常数,且ab≠0),若f(3)=5,则f(2 018π-3)= .?
解析f(3)=atan-bsin 3+4=5,
所以atan-bsin 3=1.
f(2 018π-3)=atan-bsin(2 018π-3)+4=atan-bsin(-3)+4=-atan+bsin 3+4=-+4=-1+4=3.
故f(2 018π-3)=3.
答案3
8.已知函数f(x)=3tan.
(1)求f(x)的定义域、值域;
(2)讨论f(x)的周期性,奇偶性和单调性.
解(1)由x-+kπ,k∈Z,
解得x≠+2kπ,k∈Z.
所以定义域为,值域为R.
(2)f(x)为周期函数,周期T==2π.f(x)的定义域不关于原点对称,
所以f(x)为非奇非偶函数.
由-+kπ解得-+2kπ所以函数的单调递增区间为
(k∈Z).
9.函数y=Atan(ωx+φ)(0<φ<π)的图像与x轴相交的两邻点坐标分别为,且过点(0,-3),求此函数的表达式.
解由题意知函数的周期为T=,所以ω=,故y=Atan.又函数图像过点,则有+φ=kπ,k∈Z,故φ=kπ-,k∈Z.故φ=.
又图像过(0,-3),则有-3=Atan,得A=3,故函数的表达式为y=3tan.
能力提升
1.已知a=tan,b=tan,c=sin,则有( )
A.aB.cC.cD.b解析∵函数y=tan x在0,上单调递增,且0<,
∴tantan-sin-sin=sin.
∵00,∴tan-sin>0,即a>c.∴c答案C
2.函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间内的图像是( )
答案D
3.若将函数y=tan(ω>0)的图像向右平移个单位后,与函数y=tan的图像重合,则ω的最小值为( )
A. B. C. D.
解析将函数y=tan(ω>0)的图像向右平移个单位,得y=tan.
又因为平移后函数的图像与y=tan的图像重合,所以=kπ(k∈Z),即=kπ(k∈Z).
所以当k=0时,ωπ=,即ω的最小值为.故选D.
答案D
4.tan 1,tan 2,tan 3,tan 4的大小关系是 (按从小到大的顺序排列).?
解析∵tan 1=tan(π+1),而<2<3<π<4<π+1<,又y=tan x在内单调递增,∴tan 2答案tan 25.下面五个命题中,正确命题的序号是 .?
①y=的最小正周期是;
②终边在坐标轴上的角的集合是;
③y=4tan的图像向右平移个单位,可得y=4tan 2x的图像;
④函数f(x)=3tan在区间内是增函数.
答案②③④
6.设函数f(x)=tan.
(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心;
(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集.
解(1)由≠kπ+,k∈Z,得到函数的定义域为xx≠+2kπ,k∈Z;
周期T=2π;增区间为-+2kπ,+2kπ(k∈Z),无减区间;对称中心为+kπ,0(k∈Z).
(2)由题意得kπ-≤kπ+,k∈Z,可得不等式-1≤f(x)≤的解集为x+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.
7.若函数f(x)=tan2x-atan x的最小值为-6,求实数a的值.
解设t=tan x,因为|x|≤,所以t∈[-1,1],
则原函数化为y=t2-at=,对称轴为t=.
①若-1≤≤1,即-2≤a≤2时,
则当t=时,ymin=-=-6,
所以a2=24(舍去);
②若<-1,即a<-2时,二次函数在[-1,1]上单调递增,当t=-1时,ymin=1+a=-6,所以a=-7;
③若>1,即a>2时,二次函数在[-1,1]上单调递减,当t=1时,ymin=1-a=-6,所以a=7.
综上所述,a=-7或a=7.
8.已知函数f(x)=lo|tan x|.
(1)求其定义域和值域;
(2)判断其奇偶性;
(3)判断其周期性;
(4)写出其单调区间.
解(1)由题意知|tan x|>0,则tan x≠0,即x≠kπ,且x≠kπ+,k∈Z,∴其定义域为.
∵|tan x|>0,
∴其值域为R.
(2)∵函数定义域关于原点对称,又
f(-x)=lo|tan(-x)|=lo|tan x|=f(x),
∴f(x)为偶函数.
(3)∵y=|tan x|在其定义域内为周期函数,且最小正周期为π,∴f(x)也是周期函数,且最小正周期为π.
(4)单调增区间为,k∈Z,单调减区间为,k∈Z.
课件25张PPT。7.3.4 正切函数的性质与图像一、正切函数的性质与图像
1.(1)正切函数y=tan x的定义域是什么?
(2)诱导公式tan(π+x)=tan x说明了正切函数的什么性质?tan(kπ+x)(k∈Z)与tan x的关系怎样?
(3)诱导公式tan(-x)=-tan x说明了正切函数的什么性质?2.填空:
(1)对于任意一个角x,只要x≠ +kπ,k∈Z,就有唯一确定的正切值tan x与之对应,因此y=tan x是一个函数,称为正切函数.
(2)正切函数的性质(3)正切函数的图像
①正切函数的图像:二、正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0)的性质
1.由y=tan 2x的图像向右移动 个单位得到的函数解析式是什么?它的周期为多大?2.填空:y=Atan(ωx+φ)的性质 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测求函数的定义域
例1求下列函数的定义域:分析:根据题意列出不等式,再根据图像找出不等式的解集.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟利用正切函数的图像解不等式tan x>a的解题步骤 (4)把解扩展到整个定义域内.
同理,也可解形如tan x分析:对于(1),由于x的系数小于零,故应将其进行变形,化为系数为正,再根据正切函数单调性求解;对于(2)可利用正切函数单调性进行比较.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测求函数的值域 分析:利用换元法,将原函数化为二次函数的形式来解决. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟换元法求值域的关注点
使用换元法求函数值域时,一定要注意换元后自变量的取值范围.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测数形结合思想在三角中的应用 方法点睛数形结合法求解问题的关键是准确地画出图像. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练在区间[0,2π]上,使sin x>cos x成立的x的取值范围为( ) 答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:C 答案:0 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测