习题课——y=Asin(ωx+φ)的图像性质的综合应用
课后篇巩固提升
基础巩固
1.将函数y=sin(x∈R)的图像上所有的点向左平移个单位,再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍,则所得的图像的解析式为( )
A.y=sin(x∈R)
B.y=sin(x∈R)
C.y=sin(x∈R)
D.y=sin(x∈R)
解析将函数y=sin(x∈R)的图像上所有的点向左平移个单位,得y=sin=sin,再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍,得y=sin.
答案B
2.函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,若将其图像向左平移个单位后,得到函数g(x)的图像,且g(x)为奇函数,则函数f(x)的图像( )
A.关于点对称 B.关于点对称
C.关于直线x=对称 D.关于直线x=对称
解析由已知得T==π,则ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),所以g(x)=sin=sin,又g(x)为奇函数,则+φ=kπ(k∈Z),则φ=-,即f(x)=sin.把x=代入得sin=1,所以直线x=为f(x)图像的对称轴,故选C.
答案C
3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)x∈R,A>0,ω>0,|φ|<的图像(部分)如图所示,则f(x)的解析式是 ( )
A.f(x)=2sinπx+(x∈R)
B.f(x)=2sin2π+(x∈R)
C.f(x)=2sinπx+(x∈R)
D.f(x)=2sin2πx+(x∈R)
解析由题中图像可知,f(x)的最小正周期T=4×=2,
又T=,∴ω=π,
又f(x)max=2,f(x)min=-2且A>0,∴A=2,
∵f=2sin+φ=2,∴+φ=2kπ+,k∈Z,即φ=2kπ+,k∈Z.
∵|φ|<,∴φ=,f(x)=2sinπx+(x∈R),故选C.
答案C
4.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针位置P(x,y).若初始位置为P0,当秒针从P0(注:此时t=0)开始走时,点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为( )
A.y=sin B.y=sin
C.y=sin D.y=sin
解析由题意知,函数的周期为T=60,∴ω=.
设函数解析式为y=sin.
∵初始位置为P0,
∴当t=0时,y=,
∴sin φ=,∴φ可取,
∴函数解析式为y=sin.故选C.
答案C
5.(双空)函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期是π,则ω= .f(x)取最大值时,x= .?
解析由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的周期公式可得T==π,则ω=2.当sin2x+=1时,2x++2kπ(k∈Z), 则x=+kπ(k∈Z).
答案2 +kπ(k∈Z)
6.将函数f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<π)的图像向左平移个单位后得到函数y=g(x)的图像,若函数y=g(x)为偶函数,则函数y=f(x)在0,上的值域为 .?
解析f(x)向左平移个单位得g(x)=2sin2x++φ=2sin2x++φ,
∵g(x)为偶函数,∴+φ=+kπ,k∈Z,
∴φ=+kπ,k∈Z.
∵0<φ<π,∴φ=,
∴f(x)=2sin2x+.
当x∈0,时,2x+∈.
∴sin2x+∈-,1.
∴f(x)的值域为[-1,2].
答案[-1,2]
7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的一段图像如图.
(1)求f(x)的解析式.
(2)把f(x)的图像向左至少平移多少个单位,才能使得到的图像对应的函数为偶函数?
解(1)由题图知A=3,=5π,∴ω=.
∵f(x)=3sin过点,
∴sin=0.
又∵|φ|<,∴φ=-,∴f(x)=3sin.
(2)由f(x+m)=3sin=3sin为偶函数(m>0),知=kπ+,即m=kπ+.
∵m>0,∴mmin=.故至少把f(x)的图像向左平移个单位,才能使得到的图像对应的函数是偶函数.
8.已知函数y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<的图像如图所示.
(1)求这个函数的解析式,并指出它的振幅和初相;
(2)求函数在区间-,-上的最大值和最小值,并指出取得最值时的x的值.
解(1)由题中图像知,函数的最大值为2,最小值为-2,∴A=2,
又∵--,∴T=π,=π,∴ω=2.
∴函数的解析式为y=2sin(2x+φ).
∵函数的图像经过点,2,
∴2sin+φ=2,∴sinφ+=1,
又∵0<φ<,∴φ=.
故函数的解析式为y=2sin2x+,其振幅是2,初相是.
(2)∵x∈-,-,∴2x+∈-,0.
于是,当2x+=0,即x=-时,函数取得最大值0;
当2x+=-,即x=-时,函数取得最小值-2.
能力提升
1.函数y=sin在区间上的简图是 ( )
解析将y=sin x的图像上所有点的横坐标缩短为原来的,再将所有点向右平移个单位即y=sin的图像,依据此变换过程可得到A中图像是正确的.也可以分别令2x-=0,,π,,2π得到五个关键点,描点、连线、扩展得函数y=sin的图像.
答案A
2.设函数f(x)=2sin,将f(x)图像上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g(x),则g(x)图像的一条对称轴方程为( )
A.x= B.x=
C.x= D.x=
解析函数f(x)=2sin,将f(x)图像上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g(x)=2sin,令4x+=kπ+,k∈Z,可解得函数对称轴方程为x=kπ+,k∈Z,当k=0时,x=是函数的一条对称轴,故选D.
答案D
3.函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的最小正周期是π,若将该函数的图像向右平移个单位后得到的函数图像关于点,0对称,则函数f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=sin2x-
B.f(x)=sin2x-
C.f(x)=sin2x+
D.f(x)=sin2x+
解析∵f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期是π,∴=π,解得ω=2,
∴f(x)=sin(2x+φ),将该函数的图像向右平移个单位后,所得图像对应的函数解析式为y=sin2x-+φ=sin2x+φ-.
由题意得0=sin2×+φ-,∴φ=.
因此所求函数解析式为f(x)=sin2x+.
答案D
4.设偶函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示,△KLM为等腰三角形,∠KML=90°,KL=1,则f的值为( )
A.- B.- C.- D.
解析因为f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图像如题图所示,△KLM为等腰三角形,∠KML=90°,KL=1,所以A=,T=2,
因为T=,
所以ω=π,因为函数是偶函数,0<φ<π,所以φ=,所以函数的解析式为f(x)=sin,
所以fsin.故选D.
答案D
5.已知函数f(x)=sin,其中k>0,若当自变量x在任何两个整数间(包含整数本身)变化时,至少含有2个周期,则最小的正整数k为( )
A.50 B.51
C.12 D.13
解析由题意知最小正周期T≤,即,得k≥16π,所以k的最小正整数为51.
答案B
6.已知将函数f(x)=sin(ωx+φ)0<ω<6,-<φ<的图像向右平移个单位得到函数g(x)的图像,f(x)和g(x)的图像都关于x=对称,则ω·φ= .?
解析由题意知g(x)=fx-=sinωx-+φ.
∵f(x)和g(x)的图像都关于x=对称,
∴
解得ω=3(k'-k),k',k∈Z.
∵0<ω<6,∴ω=3,
∴φ=-+kπ,k∈Z,
又-<φ<,∴φ=-,
∴ω·φ=-.
答案-
7.函数f(x)=sin的图像为C,有以下结论:①图像C关于直线x=对称;②图像C关于点对称;③函数f(x)在区间内是增函数;④由y=sin 2x的图像向右平移个单位可以得到图像C.其中正确的结论是 .(写出所有正确结论的序号)?
解析因为f=sin=-1,所以图像C关于直线x=对称,即①正确;因为f=sin=0,所以图像C关于点对称,即②正确;当-答案①②③
8.作出函数y=sin在长度为一个周期的闭区间上的图像.
解列表:
x-
0
π
2π
x
π
4π
7π
y=sin
0
0
-
0
描点画图(如图).
9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,-<φ<在一个周期内的图像如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设0解(1)由题设图像,易得A=2,T=,
所以T=π,所以ω==2.
所以f(x)=2sin(2x+φ).
因为函数f(x)的图像经过点,2.
所以2sin2×+φ=2,即sin+φ=1.
又因为-<φ<,所以-+φ<.
所以+φ=,所以φ=.
故所求函数f(x)的解析式为f(x)=2sin2x+.
(2)由题意,知方程f(x)=m有两个不同的实数根等价于函数f(x)=2sin2x+的图像与g(x)=m的图像有两个不同的交点.
因为0易画出函数f(x)=2sin2x+的图像与函数g(x)=m的图像(如图所示).
依据图像可知:
当-2即方程f(x)=m有两个不同的实数根,
故所求实数m的取值范围为(-2,1)∪(1,2).
①当-2所以,即x1+x2=.
②当1所以,即x3+x4=.
综上,当-2当1课件28张PPT。习题课——y=Asin(ωx+φ)的图像性质的综合应用一、y=Asin(ωx+φ)的有关概念
1.什么是正弦型函数?
提示:形如y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常数)的函数叫正弦型函数.
2.填空:二、五点法作y=Asin(ωx+φ)的简图
1.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,如何列表?三、通过图像变换作函数y=Asin(ωx+φ)的图像
1.如何由y=sin x的图像变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像?探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测五点法作图及图像变换 (1)用“五点法”作出它在一个周期内的图像.
(2)说明它的图像可由y=sin x的图像如何变换得到?解:(1)列表如下: 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测描点并连线得函数图像,如图. 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解: 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测根据图像确定函数解析式 分析:由周期确定ω,由特殊点确定φ. 答案:A 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟求函数解析式的关注点
(1)解决此类问题要有数形结合的意识,图像是解决此类问题的重要工具.首先要对y=Asin x的图像与性质能准确地把握;其次,要明确y=Asin x与y=Asin(ωx+φ)+k在图像和性质上的异同,主要比较定义域、值域、周期、奇偶性、单调性、对称性、最值等方面;(2)要熟记特殊角的三角函数值,并要学会逆向思考,注意角的范围.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测答案:B 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测三角函数模型的应用
例3如图为一个缆车示意图,该缆车半径为4.8 m,圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面距离是h.
(1)求h与θ间的函数关系式;
(2)设从OA开始转动,经过t秒后到达OB,求h与t之间的函数关系式,并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少?分析:(1)根据题意,用θ表示出点B的坐标,再得h与θ的关系;
(2)应用h与θ的关系式求解.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解:(1)以圆心O为原点,
建立如图所示的平面直角坐标系,∴缆车到达最高点时,用的时间最少为30秒. 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟解决三角函数模型应用问题的方法
转化为y=sin x,y=cos x等基本初等函数可以解决图像、最值、单调性等问题.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练2如图,大风车叶轮最高顶点离地面14.5 m,风叶轮直径为14 m,风叶轮以每分钟2周的速度匀速转动,风叶轮顶点从离地面最低点经16 s后到达最高点.假设风叶轮离地面高度y(单位:m)与风叶轮离地面最低点开始转动的时间t(单位:s)建立一个数学模型,用函数y=asin ω(t-b)+c(a>0,ω>0)来表示,试求出其中四个参数a,b,c,ω的值,并写出函数解析式.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用 (1)求f(x)的最大值、最小值,及此时相应x的值;
(2)求f(x)的最小正周期、对称轴和对称中心;
(3)求f(x)的单调递增区间.
分析:运用整体代换的思想,借助函数y=sin x的性质求解.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测一题多解——求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
典例如图是函数y=Asin(ωx+φ)的图像,试确定A,ω,φ的值,并确定其一个函数解析式.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测提示一先通过观察确定A和周期T,再由五点作图中的关键点确定φ值.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测提示二对φ的确定还可以代入图形中点的坐标解出,但要根据题目中φ的限制条件合理确定φ值.
解法二:(待定系数法)
由图像知振幅A=3.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测方法点睛通过将若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数φ.这里需要注意的是,所选择的点要认清其属“五点法”中的哪一点,并能正确代入列式.依据五点法列表原理,点的序号与式子关系如下:
“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;“第二点”(即图像探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测答案:AB 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测答案:A 答案:±2 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测(1)求它的振幅、周期、初相;
(2)用五点法作出它的简图.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测描点、连线得到函数的简图如图所示.
