习题课——三角恒等变换
课后篇巩固提升
基础巩固
1.(多选)函数f(x)=sin xcos x+cos 2x的最小正周期和振幅分别是( )
A.π B.2 C.1 D.2π
解析由f(x)=sin xcos x+cos 2x
=sin 2x+cos 2x=sin,
得最小正周期为π,振幅为1.
答案AC
2.已知A,B,且=0,sin β≠0,sin α-kcos β=0,则k=( )
A. B.-
C.或- D.以上都不对
解析由题意-2+=0,化简得sin α=±cos β,易知k=±,所以选C.
答案C
3.若函数f(x)=sincos+cossin(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ的值为( )
A. B.
C. D.
解析f(x)=sincos+cossin=sin.
由题意,知函数f(x)=sin(φ∈[0,2π])为偶函数,所以+kπ,k∈Z,所以φ=+3kπ,k∈Z.又φ∈[0,2π],故当k=0时,φ=,选C.
答案C
4.定义行列式运算=a1a4-a2a3.将函数f(x)=的图像向左平移n(n>0)个单位,所得图像对应的函数g(x)为奇函数,则n的最小值为( )
A. B. C. D.
解析∵f(x)=cos x-sin x=2cos x-sin x=2cos,
又平移后图像对应函数g(x)=2cos为奇函数,∴n+=kπ+(k∈Z),即n=kπ+(k∈Z),又n>0,∴n的最小值为,故选B.
答案B
5.(多选)已知函数f(x)=(sin x+cos x)cos x,则下列说法错误的为( )
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)的最大值为
C.f(x)的图像关于直线x=-对称
D.将f(x)的图像向右平移个单位,再向下平移个单位后会得到一个奇函数的图像
解析由f(x)=(sin x+cos x)cos x,
得f(x)=sin,
所以f(x)最小正周期为π,A错;
所以f(x)的最大值为,B错;
f(x)的对称轴为x=,k∈Z,
所以x=-不是f(x)的对称轴,C错;
将f(x)的图像向右平移个单位得y=sin 2x+,再向下平移个单位后会得到y=sin 2x为奇函数.
答案ABC
6.若cos α=-,α是第三象限的角,则= .?
解析∵α是第三象限的角,
∴kπ+
∴tan<0.
∵cos α=-,
∴cos α=cos2-sin2
==-,解得tan=-3,
∴tan=-.
答案-
7.函数f(x)=sinx-2sin2的最小值是 .?
解析因为函数f(x)=sinx-2sin2x=sinx+cosx-1=2sin-1,
又≤x≤,所以x+.
所以当2x+时,f(x)取得最小值-1.
答案-1
8.已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,-sin β),α,β均为锐角,且|a-b|=,
(1)求cos(α+β)的值;
(2)若cos α=,求cos β的值.
解(1)由题意可得a-b=(cos α-cos β,sin α+sin β),
∵|a-b|==
,
∴cos(α+β)=.
(2)∵cos(α+β)=,α,β均为锐角,
∴α+β仍为锐角,
sin(α+β)=.
∵cos α=,∴sin α=,
∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=.
9.已知函数f(x)=sin2ωx+sin ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求函数f(x)在区间上的取值范围.
解(1)f(x)=sin 2ωx=sin 2ωx-cos 2ωx+=sin.
因为函数f(x)的最小正周期为π,且ω>0,
所以=π,解得ω=1.
(2)由(1)得f(x)=sin,
因为0≤x≤,所以-≤2x-,
所以-≤sin≤1.
因此0≤sin,
所以f(x)的取值范围是.
能力提升
1.设当x=θ时,函数f(x)=2sin x-cos x取得最大值,则cos θ=( )
A. B.- C. D.-
解析f(x)=2sin x-cos x=sin(x-φ)=sin x·cos φ-cos xsin φ;其中cos φ=,sin φ=;
由题意得θ-φ=2kπ+(k∈Z),
即θ=φ+2kπ+(k∈Z);
所以cos θ=cos=cos=-sin φ=-=-.
答案D
2.若函数f(x)=sin ωx+cos ωx(x∈R),又f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值为,则正数ω的值是( )
A. B. C. D.
解析f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin,又f(α)=-2,f(β)=0,从而当x=α时函数有最小值,x=β为平衡点,|α-β|的最小值是T,因此,解得ω=.
答案D
3.已知函数f(x)=cos+2sin2,x∈,则f(x)的最小值为( )
A.-1 B.2 C.3 D.1-
解析f(x)=-sin 2x+2cos2x=-sin 2x+1+cos 2x=2cos+1,
因为0≤x≤,所以≤2x+,
所以当2x+=π,即cos=-1时,函数f(x)取最小值为-1.
答案A
4.已知函数f(x)=cos x(sin x-cos x),则( )
A.f(x)的周期为2π
B.f(x)在区间上单调
C.f(x)的图像关于直线x=-对称
D.f(x)的图像关于点对称
解析f(x)=cos xsin x-cos2x=sin 2x-·cos 2x-=sin,所以T==π,排除A;令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以f(x)在区间上单调,排除B;sin=-1,所以f(x)的图像关于直线x=-对称,C正确;f=sin≠0,所以f(x)的图像关于点不对称,排除D.
答案C
5.已知向量a=(cos 2α,sin α),b=(1,2sin α-1),α∈,若a·b=,则tan=( )
A. B. C. D.
解析由a·b=,得cos 2α+sin α(2sin α-1)=,求得sin α=,又α∈,则cos α=-,所以tan α=-,于是tan.
答案C
6.已知ω>0,a>0,f(x)=asin ωx+acos ωx,g(x)=2cos,h(x)=,这三个函数在同一直角坐标系中的部分图像如图所示,则函数g(x)+h(x)的图像的一条对称轴方程可以为( )
A.x= B.x=
C.x=- D.x=-
解析由题意得f(x)=asin ωx+acos ωx=2asin,由题图可得2a=2,即a=1,f(x)=2sin;而g=2cos=0,h(x)=中,x≠,所以而ω>0,解得ω=2,即f(x)=2sin,所以F(x)=g(x)+h(x)=g(x)+=2cos=2cos+2sin=2sin=2sin,而F≠±2,排除A;F≠±2,排除B;F=2,即x=-,即g(x)+h(x)的一条对称轴.
答案C
7.(双空)已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(,-1),则|2a-b|的最大值为 ,最小值为 .?
解析由题意可得2a-b=(2cos θ-3,2sin θ-1),
则|2a-b|=,当sin=-1时,上式取最大值4,当sin=1时,上式取最小值0.
答案4 0
8.设f(x)=sin 3x+cos 3x,若对任意实数x都有m≤f(x),则实数m的取值范围是 .?
解析f(x)=sin 3x+cos 3x=2=2sin,所以f(x)min=-2,于是若对任意实数x都有m≤f(x),则m≤-2.
答案(-∞,-2]
9.已知函数f(x)=sin+cos,g(x)=2sin2.
(1)若α是第一象限角,且f(α)=,求g(α)的值;
(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.
解f(x)=sin+cos
=sin x-cos x+cos x+sin x=sin x,
g(x)=2sin2=1-cos x,
(1)由f(α)=,得sin α=,
又α是第一象限角,
所以cos α>0.
从而g(α)=1-cos α=1-=1-.
(2)f(x)≥g(x)等价于sin x≥1-cos x,
即sin x+cos x≥1.于是sin.
从而2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,
即2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z,
故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为.
10.若函数f(x)=sin x+cos x+a在(0,2π)内有两个不同的零点α,β.
(1)求实数a的取值范围;
(2)求tan(α+β)的值.
解(1)由题意得sin x+cos x
=2sin x+cos x=2sin,
∵函数f(x)=sin x+cos x+a在(0,2π)内有两个不同的零点,
∴关于x的方程sin x+cos x+a=0在(0,2π)内有相异二解,
∴方程sin=-在(0,2π)内有相异二解.
∵0结合正弦函数的图像可得若方程有两个相异解,
则满足-1<-<1,且-,
解得-2∴实数a的取值范围是(-2,-)∪(-,2).
(2)∵α,β是方程的相异解,
∴sin α+cos α+a=0, ①
sin β+cos β+a=0, ②
①-②,得(sin α-sin β)+(cos α-cos β)=0,
∴2sincos-2sinsin=0.
又sin≠0,
∴tan,
∴tan(α+β)=.
课件27张PPT。习题课——三角恒等变换1.填空:
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β,?
cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β,?(2)倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α=2sin αcos α,?
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,(3)有关公式的逆用、变形
①tan α±tan β=tan(α±β)(1?tan αtan β);?探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测三角函数的化简求值 探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测反思感悟三角函数化简与求值的基本思路
(1)化为特殊角的三角函数值;
(2)化为正、负相消的项,消去求值;
(3)化分子、分母出现公约数进行约分求值.探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测三角函数的条件求值 探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测反思感悟给值求值问题的解题思路
(1)化简所求式子.
(2)观察所求式子与已知条件之间的联系(从三角函数名及角入手).
(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测给值求角问题 分析:利用二倍角公式化简求解. 探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测反思感悟给值求角问题的求解策略
给值求角实质上也转化为给值求值,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测答案:C 探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测三角变换的综合应用 探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测反思感悟函数性质问题的求解策略
(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式;(3)根据自变量的范围确定ωx+φ的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值;
(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的单调区间.探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测三角变换的综合应用问题 审题策略求最小正周期、最值、单调区间问题,往往需要先将原解析式化简为y=Asin(ωx+φ)+k形式后再求解.探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测答题模板第1步:化简函数解析式;
第2步:借助于y=sin x(或y=cos x)的性质求解;
第3步:给出正确结论.
失误警示造成失分的原因如下:
(1)化简过程出错,导致整题错误;
(2)正弦函数的图像性质记忆不清;
(3)在求区间时,未用区间表示最后结果.探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测A.-2 B.2 C.-4 D.4
答案:CA.-2 B.2 C.-1 D.1
答案:D答案:1 探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测