7.4 数学建模活动:周期现象的描述
课后篇巩固提升
基础巩固
1.单摆离开平衡位置O的位移s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系为s=6sin2πt+,则单摆在摆动时,从最右边到最左边的时间为( )
A.2 s B.1 s C. s D. s
解析由题意,知周期T==1 s,从最右边到最左边的时间是半个周期,为 s.
答案C
2.某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测,发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示.
x
1
2
y
10 000
9 500
则此楼群在第3季度的平均单价大约是( )
A.10 000元 B.9 500元
C.9 000元 D.8 500元
解析因为y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),所以当x=1时,500sin(ω+φ)+9 500=10 000;当x=2时,500sin(2ω+φ)+9 500=9 500,即
所以
易得3ω+φ=-+2kπ,k∈Z.
又当x=3时,y=500sin(3ω+φ)+9 500,所以y=9 000.
答案C
3.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+bA>0,ω>0,|φ|<的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A.f(x)=2sinx-+7(1≤x≤12,x∈N+)
B.f(x)=9sinx-(1≤x≤12,x∈N+)
C.f(x)=2sinx+7(1≤x≤12,x∈N+)
D.f(x)=2sinx++7(1≤x≤12,x∈N+)
解析令x=3可排除D,令x=7可排除B,由A==2可排除C;或由题意,可得A==2,b=7,周期T==2×(7-3)=8,则ω=,
f(x)=2sinx+φ+7.
∵当x=3时,y=9,
∴2sin+φ+7=9,
即sin+φ=1.
∵|φ|<,∴φ=-.
∴f(x)=2sinx-+7(1≤x≤12,x∈N+).
答案A
4.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,某节日期间某一天商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin(t≥0),则人流量增加的时间段是( )
A.[0,5] B.[5,10] C.[10,15] D.[15,20]
解析由2kπ-≤2kπ+,k∈Z,知函数F(t)的单调递增区间为,k∈Z.当k=1时,t∈[3π,5π].因为[10,15]?[3π,5π],所以选C.
答案C
5.有一小球从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(单位:cm)关于时间t(单位:s)的函数解析式是s=Asin(ωt+φ),0<φ<,函数图像如图所示,则φ= .?
解析根据图像,知,0,,0两点的距离刚好是个周期,所以T=.
所以T=1,则ω==2π.
因为当t=时,函数取得最大值,
所以2π×+φ=+2kπ,k∈Z,又0<φ<,所以φ=.
答案
6.
如图,游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要12分钟,其中心O距离地面40.5米,半径40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题:
(1)求出你与地面的距离y与时间t的函数关系式;
(2)当你第四次距离地面60.5米时,用了多少时间?
解(1)由已知可设y=40.5-40cos ωt(t≥0),由已知周期为12分钟,可知ω=,即ω=.
所以y=40.5-40cost(t≥0).
(2)令y=40.5-40cost=60.5,
得cost=-,
所以t=π或t=π,解得t=4或t=8,故第四次距离地面60.5米时,用时为12+8=20(分钟).
7.已知弹簧上挂着的小球做上下振动,它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系式为h=3sin2t+.
(1)求小球开始振动的位置;
(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间;
(3)经过多长时间小球往返振动一次?
(4)每秒内小球能往返振动多少次?
解(1)令t=0,得h=3sin,所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置 cm处.
(2)由题意知,当h=3时,t的最小值为,即小球第一次上升到最高点的时间为 s.
当h=-3时,t的最小值为,即小球第一次下降到最低点的时间为 s.
(3)T==π,即经过约π s小球往返振动一次.
(4)f=,即每秒内小球往返振动次.
8.某港口水深y(单位:米)是时间t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作y=f(t),下面是某日水深的数据.
t/小时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
经长期观察,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Asin ωt+b的图像.
(1)试根据以上数据,求出函数y=f(t)的近似解析式;
(2)一般情况下,船舶航行时,船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米,如果该船希望在同一天内安全进出港,那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?
解(1)由已知数据,描出曲线如图:
易知函数y=f(t)的周期T=12,振幅A=3,b=10,
则ω=,y=3sint+10(0≤t≤24).
(2)由题意,该船进出港时,水深应不小于5+6.5=11.5米,
由y≥11.5得3sint+10≥11.5,即sint≥. ①
∵0≤t≤24,∴0≤t≤4π. ②
由①②得t≤t≤.
化简得1≤t≤5或13≤t≤17.
∴该船最早能在凌晨1时进港,下午17时出港,在港内最多可停留16小时.
课件17张PPT。7.4 数学建模活动:周期现象的描述数学建模
数学建模是数学学习的一种新的方式,是对现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的,作出一些必要的简化和假设,运用适当的数学工具得到的一个数学结构.(它是对现实对象的信息加以分析、提炼、归纳、翻译的结果,是用精确的语言表达对象的内在特性,是利用各种数学概念、关系、表达式建立的模型.)
按广义理解,一切数学概念、数学理论体系、数学公式、方程以及算法系统都可称为数学模型;按狭义理解,数学模型是指解决特定问题的一种数学框架或结构,如二元一次方程是“鸡兔同笼”问题的数学模型,“一笔划”问题是“七桥问题”的数学模型,等等.在一般情况下数学模型按狭义理解.它为我们提供了自主学习的空间,把学到的知识应用于实践,使我们体验到数学在解决实际问题中的价值和作用,体验数学与日常生活和其他学科的联系,逐步提高创新意识和实践能力.一般说来,数学建模过程可用右面的框图表示: 建立数学模型解决实际问题,所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的.这就需要根据实际背景对问题的解进行具体分析.
中学数学中的应用问题不全属于中学数学建模活动,只有符合以上流程图的应用问题才属于数学建模范畴,其他的只属于数学求解的应用问题.
作为数学建模活动的应用问题的是中学数学全面培养我们的数学应用意识和应用能力,全面提高我们的综合分析问题和解决实际问题的重要手段,也是培养和提高我们数学素质的重要方法.在实际教学中,近十几年来,国内外(特别是美国和日本)都把利用数学知识解决实际问题能力的培养作为数学教育的核心,在数学建模应用问题教学中选择“好”材料,设计“好”练习尤为重要.探究一探究二当堂检测三角函数模型在物理学中的应用
例1已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位法”作出这个函数的简图,并回答下列问题.
(1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少?
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少?
(3)经过多长时间小球往复振动一次?
分析:确定函数y=Asin(ωx+φ)中的参数A,ω,φ的物理意义是解题关键.探究一探究二当堂检测解:列表如下: 描点、连线,图像如图所示. 探究一探究二当堂检测(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和-4 cm.
(3)因为振动的周期是π,所以小球往复振动一次所用的时间是π s.探究一探究二当堂检测变式训练交流电的电压E(单位:V)与时间t(单位:s)的关系可用(1)开始时电压;
(2)电压值重复出现一次的时间间隔;
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.探究一探究二当堂检测三角函数模型的实际应用
例2已知某海滨浴场的海浪高度y(单位:米)是时间t(单位:时)的函数,其中0≤t≤24,记y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:经长期观测,y=f(t)的图像可近似地看成是函数y=Acos ωt+b的图像.
(1)根据以上数据,求其最小正周期、振幅及函数解析式;
(2)根据规定,当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间,有多少时间可供冲浪者进行活动?
分析:(1)根据y的最大值和最小值求A,b,确定周期后求ω.
(2)解不等式y>1,确定有多少时间可供冲浪者活动.探究一探究二当堂检测探究一探究二当堂检测延伸探究若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”,结果又如何? 探究一探究二当堂检测反思感悟解三角函数应用问题的基本步骤 探究一探究二当堂检测1.电流I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的关系是I=3sin 100πt,t∈[0,+∞),则电流I变化的周期是( ) 答案:A 探究一探究二当堂检测2.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(单位:s)离开平衡位置的位移s1(单位:cm)和时,s1与s2的大小关系是( )
A.s1>s2 B.s1C.s1=s2 D.不能确定答案:C 探究一探究二当堂检测3.已知电流强度I与时间t的关系为I=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),其在一个周期内的图像如图所示,则该函数的解析式为( )答案:C 探究一探究二当堂检测4.一根长l cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系式为
