8.1.3 向量数量积的坐标运算
课后篇巩固提升
基础巩固
1.(多选)设m,n是两个非零向量,且m=(x1,y1),n=(x2,y2),则以下等式中与m⊥n等价的为( )
①m·n=0;②x1x2=y1y2;
③|m+n|=|m-n|;④|m+n|=.
A.① B.② C.③ D.④
解析由公式知①正确,②错误;对③④两边平方,化简,得m·n=0,因此也是正确的,故选A,C,D.
答案ACD
2.已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=,若(a+b)·c=,则a与c的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析设c=(x,y),
则由(a+b)·c=,得x+2y=-.
又cos
==-,
即=120°.
答案C
3.已知向量a,b的夹角为,且a=(2,-1),|b|=2,则|a+2b|=( )
A.2 B.3 C. D.
解析∵|a|=,
a·b=|a||b|cos=0,
∴|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=()2+4×22=21,∴|a+2b|=.
答案C
4.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC的形状是 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
解析∵=(1,1),=(-3,3),
∴=1×(-3)+1×3=0.
∴,∴A=90°,故选A.
答案A
5.设向量a与b的夹角为θ,a=(2,1),a+2b=(4,5),则cos θ=( )
A. B.
C. D.
解析∵a=(2,1),a+2b=(4,5),∴b=(1,2).
cos θ=.
答案D
6.(双空)已知向量a=(1,0),b=(x,1),若a·b=2,则x= ;|a+b|= .?
解析∵a·b=2,∴x=2.
∵a+b=(3,1),∴|a+b|=.
答案2
7.已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为 .?
答案-
8.已知平面向量a=(2,2),b=(x,-1),
(1)若a∥b,求x;
(2)若a⊥(a-2b),求a与b所成夹角的余弦值.
解(1)∵a∥b,∴x1y2-x2y1=0,
即-2-2x=0,可得x=-1.
(2)依题意得a-2b=(2-2x,4),
∵a⊥(a-2b),∴a·(a-2b)=0,
即4-4x+8=0,
解得x=3,∴b=(3,-1).
设向量a与b的夹角为θ,
则cos θ=.
9.设a=(1,2),b=(-2,-3),又c=2a+b,d=a+mb,若c与d的夹角为45°,求实数m的值.
解∵a=(1,2),b=(-2,-3),
∴c=2a+b=2(1,2)+(-2,-3)=(0,1),
d=a+mb=(1,2)+m(-2,-3)=(1-2m,2-3m),
∴c·d=0×(1-2m)+1×(2-3m)=2-3m.
又|c|=1,|d|=,c与d的夹角为45°,
∴2-3m=1×cos 45°,
即(2-3m),
等价于解得m=.
能力提升
1.已知向量u=(x+2,3),v=(x,1),当f(x)=u·v取得最小值时,x的值为( )
A.0 B.-1 C.2 D.1
解析因为f(x)=u·v=(x+2)x+3
=x2+2x+3=(x+1)2+2,
所以当x=-1时,f(x)取得最小值2.
答案B
2.
函数y=tan的部分图像如图所示,则()·=( )
A.-4
B.2
C.-2
D.4
解析A(2,0),B(3,1),()·=10-6=4.
答案D
3.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上有一点P,使有最小值,则点P的坐标是( )
A.(-3,0) B.(2,0)
C.(3,0) D.(4,0)
解析设点P的坐标为(x,0),
则=(x-2,-2),=(x-4,-1).
=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.
当x=3时,有最小值1,此时点P的坐标为(3,0).故选C.
答案C
4.在矩形ABCD中,AB=,BC=2,E为BC的中点,点F在CD上,若,则的值为 ( )
A. B.2 C.0 D.1
解析建立如图所示的坐标系xAy,可得A(0,0),B(,0),E(,1),F(x,2),
则=(,0),=(x,2),
于是x=,
解得x=1,因此F(1,2),=(,1),=(1-,2),(1-)+1×2=.故选A.
答案A
5.若将向量a=(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转得到向量b,则向量b的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析设b=(x,y),由已知条件,
知|a|=|b|,a·b=|a||b|cos 45°.
所以
解得
因为向量a按逆时针旋转后,向量对应的点在第一象限,所以x>0,y>0.所以b=,故选B.
答案B
6.已知向量a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若a∥b,(a+b)⊥(b-c),M(x,y),N(y,x),则向量的模为 .?
解析∵a∥b,∴2×(-2)-(-1)x=0,解得x=4,
∴b=(4,-2),∴a+b=(6,-3),b-c=(1,-2-y).
∵(a+b)⊥(b-c),∴(a+b)·(b-c)=0,
即6-3(-2-y)=0,解得y=-4,
∴=(y-x,x-y)=(-8,8),∴||=8.
答案8
7.定义一种新运算??:a??b=|a|·|b|sin θ,其中θ为a与b的夹角,已知a=(-,1),b=,则a??b= .?
解析据定义a??b=2××sin θ,又cos θ==-,所以sin θ=,即a??b=.
答案
8.(双空)(原创)已知向量m=(λ+2,1),n=(λ+1,2),若(m+n)⊥(m-n),则向量m,n的夹角的余弦值为 ,m+n在n方向上的投影的数量为 .?
解析由题意知向量m+n=(2λ+3,3),m-n=(1,-1),
∵(m+n)⊥(m-n),∴λ=0.
m=(2,1),n=(1,2),cos=,m+n=(3,3).
m+n在n方向上的投影的数量为|m+n|cos=.
答案
9.已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且|ka+b|=|a-kb|(k>0).
(1)用k表示数量积a·b;
(2)求a·b的最小值,并求此时a,b的夹角θ.
解(1)由|ka+b|=|a-kb|,得(ka+b)2=3(a-kb)2,
所以k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2.
所以(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0.
因为|a|=1,|b|=1,
所以k2-3+8ka·b+1-3k2=0,
所以a·b=.
(2)由(1),得a·b=,由函数的单调性的定义,易知f(k)=在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,所以当k=1时,a·b的最小值为f(1)=×(1+1)=.
此时a,b的夹角为θ,
则cos θ=,所以θ=60°.
10.已知向量a=(1,),b=(-2,0).
(1)求a-b的坐标以及a-b与a之间的夹角;
(2)当t∈[-1,1]时,求|a-tb|的取值范围.
解(1)因为a-b=(1,)-(-2,0)=(3,),
所以a-b的坐标为(3,).
设a-b与a之间的夹角为θ,
则cos θ=,
而0≤θ≤π,故θ=.
(2)因为a-tb=(1,)-t(-2,0)=(1+2t,),
所以|a-tb|=,
在上递减,在上递增,
所以t=-时,|a-tb|的最小值为,t=1时,|a-tb|的最大值为2,
故|a-tb|的取值范围为[,2].
课件21张PPT。8.1.3 向量数量积的坐标运算1.已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若e1,e2是两个互相垂直且分别与x轴、y轴正半轴同向的单位向量,则a,b如何用e1,e2来表示?并求出a+b与λa的坐标.
提示:a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2e2,a+b
=(x1+x2,y1+y2),λa=λ(x1,y1)=(λx1,λy1).
2.填空:
(1)已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?x1x2+y1y2=0.(3)向量的长度、距离和夹角公式: 3.做一做:已知a=(3,-1),b=(1,-2),求a·b,|a|,|b|,. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测向量数量积的坐标运算
例1已知向量a=(3,-1),b=(1,-2).
(1)求(a+b)2;
(2)求(a+b)·(a-b).
分析:利用a·b=x1x2+y1y2(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2))等基本公式计算.
解:(1)∵a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),
∴(a+b)2=|a+b|2=42+(-3)2=25.
(2)方法一:∵a=(3,-1),b=(1,-2),
∴a2=32+(-1)2=10,b2=12+(-2)2=5,
∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=10-5=5.
方法二:∵a=(3,-1),b=(1,-2),
∴a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),
a-b=(3,-1)-(1,-2)=(2,1),
∴(a+b)·(a-b)=(4,-3)·(2,1)=4×2+(-3)×1=5.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟向量数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量数量积的运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有两条途径:一是先将各向量坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,并写出相应点的坐标即可求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究本例中,若存在向量c满足a·c=-1,b·c=3,试求c. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用向量数量积解决长度和夹角问题
例2已知向量a=(3,-4),b=(2,x),c=(2,y),且a∥b,a⊥c,求b,c及b与c的夹角.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟利用向量数量积的坐标表示求向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积. (3)求夹角的余弦值cos θ.
(4)求角.由向量夹角的范围及cos θ求θ的值.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:A 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测分析:要对△ABC的三个内角分别讨论,并利用坐标反映垂直关系. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测用向量数量积的坐标运算求解几何问题
例4求证:直径所对的圆周角为直角.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2已知三点A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测向量中的数形结合思想
数形结合思想就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,使抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.向量中的数形结合思想应关注以下几点:
(1)向量的几何表示关注方向.
(2)向量运算中的三角形、平行四边形法则使向量具备形的特征.
(3)向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解析:建立如图所示的平面直角坐标系,使得点D在原点处,点A在y轴上,则A(0,2).答案:C 方法点睛建立平面直角坐标系,将所求问题转化为向量的数量积的坐标运算求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:D 2.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.(双空)已知向量a=(2,4),b=(-2,2),若c=a+(a·b)b,则|c|= ,cos= .?4.已知a=(m-2,m+3),b=(2m+1,m-2),且a与b的夹角大于90°,则实数m的取值范围为 .?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.设向量a=(1,-1),b=(3,-4),x=a+λb,λ为实数,试证明:使|x|最小的向量x垂直于向量b.