8.1.2 向量数量积的运算律
课后篇巩固提升
基础巩固
1.已知|m|=2,|n|=1,且(m+kn)⊥(m-3n),m⊥n,则k等于( )
A. B. C.- D.-
答案A
2.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上,且满足=2,则·()=( )
A. B. C.- D.-
答案A
3.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,则|a+3b|等于 ( )
A. B. C. D.4
答案C
4.已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=2,|b|=3,则a2+a·b=( )
A.10 B. C.7 D.
解析a2+a·b=|a|2+|a||b|cos 60°=4+2×3×=7.
答案C
5.设向量a,b,c满足a+b+c=0,且a⊥b,|a|=1,|b|=2,则|c|=( )
A.1 B.2 C.4 D.
解析∵c=-(a+b),∴c2=a2+b2+2a·b.
∵a·b=0,∴c2=5,即|c|=.故选D.
答案D
6.(多选)已知向量m,n的夹角为,且|m|=,|n|=2,则|m-n|和m在n方向上的投影的数量分别等于 ( )
A.4 B.2 C.1 D.
解析∵|m-n|2=m2-2m·n+n2
=3-2××2×+4=1,
∴|m-n|=1.
m在n方向上的投影的数量为|m|cos.
答案CD
7.如图,已知△ABC和△AED有一条边在同一条直线上,,||=||=||=||,||=2,在边DE上有2个不同的点F,G,则·()的值为 .?
解析由题意易知△ABC和△AED为全等的等腰直角三角形,斜边长为2·()=·()=2+2=16.
答案16
8.已知向量a,b,c满足a-b+2c=0,且a⊥c,|a|=2,|c|=1,则|b|= .?
解析因为a-b+2c=0,
所以b=a+2c,b2=a2+4a·c+4c2=8,
所以|b|=2.
答案2
9.已知a+b+c=0,|a|=3,|b|=5,|c|=7,是否存在实数μ,使μa+b与a-2b垂直?
解若(μa+b)⊥(a-2b),则(μa+b)·(a-2b)=0,
μa2-2b2-2μa·b+a·b=0.
∵a+b+c=0,c=-a-b,
∴|c|2=|a+b|2=9+25+2a·b=49,∴a·b=.
∴9μ-2×25-2μ×=0.∴μ=-.
∴存在μ=-,使得μa+b与a-2b垂直.
10.已知|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求|a+b|;
(3)若=b,=a,作△ABC,求△ABC的面积.
解(1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61,
∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61.∴a·b=-6,
∴cos θ==-.∴θ=.
(2)|a+b|=.
(3)S△ABC=|||sin A=×3×4×sin=3.
能力提升
1.如图所示,在菱形ABCD中,下列关系式不正确的是( )
A.
B.()⊥()
C.()·()=0
D.
答案D
2.(多选)设a,b,c是平面内任意的非零向量,且相互不共线,其中是真命题的有( )
A.(a·b)c-(c·a)b=0
B.|a|-|b|<|a-b|
C.(b·c)a-(c·a)b不与c垂直
D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2
解析由b,c是平面内任意向量知A错误;
由三角形的三边关系得B正确;
由[(b·c)a-(c·a)b]·c=(b·c)(a·c)-(c·a)(b·c)=0得C错误;D显然正确.
答案BD
3.已知O是三角形ABC所在平面内的一点,满足,则点O是△ABC的( )
A.三个内角的角平分线的交点
B.三条边的垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
解析∵,∴.
同理,
∴O是△ABC高的交点.
答案D
4.
如图所示,在△ABC中,AD⊥AB,,||=1,则等于( )
A.2 B. C. D.
解析方法1:(基底法)∵,
∴)++(1-)·.
又∵AD⊥AB,||=1,
∴+(1-.
方法2:(定义法)设BD=a,则BC=a,如图所示,作CE⊥BA,交BA的延长线于E,易知∠DAC=∠ACE,在△BAD与△BEC中,∠B=∠B,∠DAB=∠CEB=90°,
∴△BAD∽△BEC,∴,
∴CE=,∴cos∠DAC=cos∠ACE=.
∴=||||cos∠DAC=.故选D.
答案D
5.定义:|a×b|=|a||b|sin θ,其中θ为向量a与b的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于( )
A.8 B.-8 C.8或-8 D.6
解析∵a·b=|a||b|cos θ=2×5cos θ=-6,
∴cos θ=-,∵0≤θ≤π,
∴sin θ=.
∴|a×b|=|a||b|sin θ=2×5×=8.
答案A
6.(双空)(原创)已知△ABC中,AB=6,AC=4,O为△ABC所在平面内一点,满足||=||=||,则方向上的投影的数量为 ,= .?
解析∵||=||=||,
∴点O为△ABC的外心,
设∠OAB=θ,可得∠OBA=θ,
∴方向上的投影的数量为||cos θ,方向上的投影的数量为||cos θ.
由题意可知||cos θ+||cos θ=||=6.
又∵||=||=||,
∴||cos θ=3,即方向上的投影的数量为3.
∴=||||cos θ=3||=18,=8,
∴·()==8-18=-10.
答案3 -10
7.已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是 .?
解析∵a⊥b,且|a|=|b|=1,∴a·b=0,|a+b|=,又∵(a-c)·(b-c)=a·b+c·c-(a+b)·c=c2-(a+b)·c=0,即|c|2=(a+b)·c=|a+b||c|cos
,∴|c|=|a+b|cos=cos≤,故|c|的最大值为.故填.
答案
8.已知非零向量a,b满足|a|=1,且(a-b)·(a+b)=.
(1)若a·b=,求向量a,b的夹角;
(2)在(1)的条件下,求|a-2b|的值.
解(1)∵(a-b)·(a+b)=,
∴a2-b2=|a|2-|b|2=.
又∵|a|=1,∴|b|=,cos=,
故向量a,b的夹角为.
(2)|a-2b|==1.
9.设a⊥b,且|a|=2,|b|=1,k,t是两个不同时为零的实数.
(1)若x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直,求k关于t的函数关系式k=f(t);
(2)求出函数k=f(t)的最小值.
解(1)因为a⊥b,所以a·b=0.
又x⊥y,所以x·y=0,
即[a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0,
所以-ka2-k(t-3)a·b+ta·b+t(t-3)b2=0.
因为|a|=2,|b|=1,所以-4k+t2-3t=0,
所以k=(t2-3t)(t≠0),
即k=f(t)=(t2-3t)(t≠0).
(2)由(1),知k=f(t)=(t2-3t)
=,
所以函数k=f(t)的最小值为-.
课件19张PPT。8.1.2 向量数量积的运算律1.向量数乘有哪些运算律?
提示:(1)λ(μa)=(λμ)a;
(2)(λ+μ)a=λa+μa;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
2.填空:
向量数量积的运算律
已知向量a,b,c与实数λ,则3.做一做:已知|a|=2,|b|=5,=120°,求(2a-b)·a.
答案:134.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)(a·b)·c=a·(b·c). ( )
(2)若a⊥b,则a·b=0. ( )
(3)若a∥b,则a·b>0. ( )
(4)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R). ( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√探究一探究二探究三思维辨析当堂检测向量数量积的计算
例1已知两个单位向量e1与e2的夹角为60°,求:
(1)e1·e2;(2)(2e1-e2)·(-3e1+2e2);(3)(e1+e2)2.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟求向量的数量积时,常用到的结论
(1)a2=|a|2;
(2)(xa+yb)·(mc+nd)=xma·c+xna·d+ymb·c+ynb·d,其中x,y,m,n∈R,类似于多项式的乘法法则;
(3)(a+b)2=a2+2a·b+b2;
(4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.
同时还要注意几何性质的应用,将向量适当转化,转化的目的是用上已知条件.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测求向量的模
例2已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且|3a-2b|=3,求|3a+b|的值.
分析:通过数量积a·b来探求已知条件|3a-2b|=3与目标式|3a+b|之间的关系.
解:因为|a|=|b|=1,所以|a|2=|b|2=1.
又因为|3a-2b|=3,所以(3a-2b)2=9,
所以9|a|2-12a·b+4|b|2=9,探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角为60°,|ka-2b|=13,求k的值.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测向量在几何中的应用
例3已知△ABC三边长分别为a,b,c,以A为圆心,r为半径作圆,如图探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟向量数量积在平面几何应用中的解题策略
(1)利用运算律结合图形先化简再运算.
(2)注意向量的夹角与已知平面几何中的角的关系(相等还是互补).探究一探究二探究三思维辨析当堂检测A.2 B.0
C.-1 D.-2答案:D 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测提示一先利用|a+b|2=(a+b)2,|a-b|2=(a-b)2求出后再开方.
提示二利用向量加法的平行四边形法则,a+b,a-b分别是平行四边形的对角线对应的向量,利用向量的几何意义在三角形中求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法点睛求向量的模的常见解法有两种,一种是利用a2=|a|2求解,特别注意不要忘记开方.另一种是把向量求模问题转化到平面几何中的长度计算上来.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:A 答案:B 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.(双空)已知|a|=3,|b|=4,a,b的夹角为60°,则|2a-b|= .(a+b)与(a-b)的夹角的余弦值为 .?答案:-16 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.已知两单位向量a与b的夹角为120°.若c=2a-b,d=3b-a,求c与d的夹角的余弦值.
解:∵a,b是两个单位向量,∴|a|=|b|=1.
又∵a与b的夹角为120°,