第八章向量的数量积与三角恒等变换
8.1 向量的数量积
8.1.1 向量数量积的概念
课后篇巩固提升
基础巩固
1.已知|b|=3,a在b方向上的投影的数量是,则a·b为( )
A.3 B. C.2 D.
答案B
2.(多选)下列命题中是真命题的是( )
A.|a·b|=|a|·|b|
B.a·b=0?a=0或b=0
C.|λa|=|λ|·|a|
D.λa=0?λ=0或a=0
答案CD
3.设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则
等于( )
A.150° B.120° C.60° D.30°
解析如图所示.因为|a|=|b|=|c|,
所以△OAB是等边三角形.
所以=120°.
答案B
4.如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中,最大的是( )
A. B.
C. D.
解析设正六边形的边长为a,则
a2,=a2,
=0,=-a2.
答案A
5.在△ABC中,已知||=||=4,且=8,则△ABC的形状为 .?
答案等边三角形
6.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为,以a,b为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条对角线的长度为 .?
答案
7.若四边形ABCD满足=0,且=0,试判断四边形ABCD的形状.
解因为=0,
所以,即AB∥DC,且AB=DC,
所以四边形ABCD为平行四边形.
又因为=0,所以,即AB⊥BC.
所以四边形ABCD为矩形.
8.已知在△ABC中,=c,=a,=b,若|c|=m,|b|=n,=θ.
(1)试用m,n,θ表示S△ABC;
(2)若c·b<0,且S△ABC=,|c|=3,|b|=5,则为多少?
解(1)S△ABC=AB·AC·sin∠CAB=mnsin θ.
(2)因为S△ABC=|b||c|sin θ,
所以×3×5sin θ.所以sin θ=.因为c·b<0,所以θ为钝角.所以θ=150°,即=150°.
能力提升
1.下列命题中,正确命题的个数是( )
①=0 ②0·=0 ③
④0·=0
A.1 B.2 C.3 D.4
解析由两相反向量的和为零向量知命题①正确;
由于两向量的数量积结果为一实数知命题②错误,正确结果应为0;
由向量的减法运算法则知,命题③错误;
由向量数乘的意义知0·=0,命题④错误,
即正确命题的个数是1,故选A.
答案A
2.有4个式子:①0·a=0;②0·a=0;③0-;④|a·b|=|a||b|.
其中正确式子的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
解析因为向量乘以实数仍然为向量,
所以0·a=0,式子①正确,②错误;
由=0,
所以0-,式子③正确;
由|a·b|=|a||b||cos θ|,得|a·b|=|a||b|不一定成立,式子④错误.
故选C.
答案C
3.(多选)对于非零向量a,b,c,下列命题正确的是( )
A.若a·b=b·c,则a=b
B.若a⊥b,则a·b=(a·b)2
C.若a∥b,则a在b上的投影的数量为|a|
D.若λ1a+λ2b=0(λ1,λ2∈R,且λ1·λ2≠0),则a∥b
解析对于选项A,若a·b=b·c,
则(a-c)·b=0,故A错误;
对于选项B,若a⊥b,所以a·b=0,
则a·b=(a·b)2,故B正确;
对于选项C,若a∥b,则a在b上的投影的数量为±|a|,故C错误;
对于选项D,若λ1a+λ2b=0(λ1,λ2∈R,且λ1·λ2≠0),推出a=-b,由平行向量基本定理可知a∥b,故D正确.综上可知:选项BD正确,故选BD.
答案BD
4.以下四个命题中,正确的是( )
A.若,则P,A,B三点共线
B.若{a,b,c}为空间的一个基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底
C.|(a·b)c|=|a|·|b|·|c|
D.△ABC为直角三角形的充要条件是=0
解析因为≠1,
所以P,A,B三点不一定共线,
因为{a,b,c}为空间的一个基底,
所以a,b,c不在同一个平面,
因此a+b,b+c,c+a也不在同一个平面,从而{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底,
因为|(a·b)c|=|a·b||c|=|a|·|b|·|c|·|cos|,所以|(a·b)c|=|a|·|b|·|c|不恒成立,
因为△ABC为直角三角形时角A不一定为直角,
即=0不一定成立,所以D错误,
综上可知选B.
答案B
5.已知|a|=5,|b|=3,且a·b=-12,则向量a在向量b上的投影的数量等于( )
A.-4 B.4 C.- D.
解析向量a在向量b上的投影的数量等于=-4.故选A.
答案A
6.在边长为4的菱形ABCD中∠BAD=120°,则方向上的投影的数量为( )
A.2 B.-2 C.-2 D.2
解析由题意知向量的夹角为120°,所以方向上的投影的数量为||cos 120°=4×-=-2.故选C.
答案C
7.已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,满足),且||=1,则方向上的投影的数量为( )
A. B.- C. D.-
解析由可知O为BC中点,所以△ABC为直角三角形,∠BAC=90°,
由||=1,||=2,可得∠ABC=60°,的夹角为θ=60°.
因此上的投影的数量为||cos 60°=1×,故选A.
答案A
8.已知|a|=4,e为单位向量,当a,e的夹角为时,a在e上的投影的数量为( )
A.2 B.-2 C.2 D.-2
解析a在e上的投影的数量为|a|cos=|a|=4×1×cos=-2,故选B.
答案B
9.已知向量b的模为1,且b在a方向上的投影的数量为,则a与b的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析由题意知|b|cos θ=cos θ=,
∵θ∈[0,π],∴θ=30°.故选A.
答案A
10.已知平面向量a,b的夹角为,|a|=4,|b|=2,则a在b方向上的投影的数量为( )
A.2 B.-2 C.4 D.-4
解析由题意得a·b=|a||b|cos=4×2×=4.a在b方向上的投影的数量为|a|cos=4×cos=2.故选A.
答案A
11.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,BC=CD=DA=2,若E为BC的中点,则=( )
A. B.3 C.2 D.12
解析由题意可知△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=2,根据向量数量积的几何意义可得=12,
故选D.
答案D
12.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则=( )
A.-2 B.0 C.1 D.2
解析由向量的投影的几何意义及图像可知:方向上的投影的数量为|BC|=1,由向量数量积的几何意义得=|BC|2=1.故选C.
答案C
13.如图,AB为圆O的一条弦,且|AB|=4,则= ( )
A.4 B.-4 C.8 D.-8
解析设AB的中点为M,连接OM,则OM⊥AB,
=2=2||·||·cos(π-∠OAB)=-2×2·||·cos∠OAB=-4||=-8.故选D.
答案D
14.(双空)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=4,且a·b=4,则a与b的夹角为 .若向量c,d满足c为单位向量,c·d=4,=,则|d|= .?
解析设向量a与b的夹角为θ,则cos θ=,又因为θ∈[0,π],所以θ=.因为c为单位向量,所以|c|=1,由向量数量积公式得c·d=|c|·|d|·cos,得4=1×|d|×cos,所以|d|=8.
答案 8
15.在四边形ABCD中,,且=0,则四边形ABCD是( )
A.菱形 B.矩形
C.直角梯形 D.等腰梯形
解析∵,
∴AB与DC平行且相等,
∴四边形ABCD为平行四边形.
又=0,∴AC⊥BD,
即平行四边形ABCD的对角线互相垂直,
∴平行四边形ABCD为菱形.
故选A.
答案A
16.已知|a|=2|b|=2,且向量a在向量b方向上的投影的数量为-1.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求(a-2b)·b;
(3)当λ为何值时,向量λa+b与向量a-3b互相垂直?
解(1)由题意知|a|=2,|b|=1.
又向量a在b方向上的投影的数量为|a|cos θ=-1,
∴cos θ=-,∴θ=.
(2)易知a·b=-1,则(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3.
(3)∵向量λa+b与a-3b互相垂直,
∴(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a-3b2=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0,
∴λ=.
课件26张PPT。8.1.1 向量数量积的概念一、两个向量的夹角
1.设a,b是两个非零向量,能否把a,b平移到共同起点?
提示:能.
2.填空:
两个向量的夹角.3.做一做:作出向量a与b的夹角: 答案:略 二、向量数量积的定义
1.如图,在力F的作用下,木块在水平方向上移动了5 m,若F=3 N,则力F做的功是多少?2.填空:
(1)一般地,当a与b都是非零向量时,称|a||b|cos为向量a与b的数量积(也称为内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos.由定义可知,两个非零向量a与b的数量积是一个实数,这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同.
(2)数量积的性质
①a⊥b?a·b=0,且a·b=0?a⊥b;④|a·b|≤|a||b|(共线时取等号).
3.做一做:若|a|=3,|b|=4,a∥b,则a·b= .?
答案:±12三、向量的投影与向量数量积的几何意义
1.若A(1,1),B(5,8),过点A作x轴、y轴的垂线,垂足分别为A1,A2,过点B作x轴、y轴的垂线,垂足分别为B1,B2,则提示:(4,0) (0,7)
2.填空:(2)给定平面上的一个非零向量b,设b所在的直线为l,则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影,如图所示.(3)一般地,如果a,b都是非零向量,则称|a|cos为向量a在向量b上的投影的数量.
①两个非零向量a,b的数量积a·b,等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积,这就是两个向量数量积的几何意义.
②当e为单位向量时,a·e=|a|cos.
即任意向量与单位向量的数量积,等于这个向量在单位向量e上的投影的数量.3.做一做:已知|a|=5,|b|=3,且a·b=-12,则向量a在向量b上的投影的数量等于( )答案:A 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测与向量数量积有关命题的判断
例1已知a,b,c是三个非零向量,则下列命题中正确命题的个数为( )
①|a·b|=|a|·|b|?a∥b;②a,b反向?a·b=-|a|·|b|;③a⊥b?|a+b|=|a-b|;④|a|=|b|?|a·c|=|b·c|.
A.1 B.2 C.3 D.4探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解析:需对以上四个命题逐一判断,依据有两条,一是向量数量积的定义;二是向量加法与减法的平行四边形法则.①中因为a·b=|a|·|b|·cos θ,所以由|a·b|=|a|·|b|及a,b为非零向量可得|cos θ|=1,所以θ=0或π,所以a∥b,且以上各步均可逆,故命题①是真命题;②中若a,b反向,则a,b的夹角为π,所以a·b=|a|·|b|·cos π=-|a|·|b|,且以上各步均可逆,故命题②是真命题;③中当a⊥b时,将向量a,b的起点确定在同一点,以向量a,b为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b,因此命题③是真命题;④中当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故命题④是假命题.
答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟两向量夹角的关注点
两向量方向相同时,夹角为0(或0°);而反向时,夹角为π(或180°);两向量垂直时,夹角为 (或90°),因此当两向量共线时,夹角为0或π,反过来,若两向量的夹角为0或π,则两向量共线.
变式训练1若a⊥b,则a·b=0;反之成立吗?
答案:成立.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测求向量的投影的数量或数量积 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟1.求向量数量积的步骤
(1)求向量a与b的夹角θ,θ∈[0,π];
(2)分别求|a|和|b|;
(3)求数量积,即a·b=|a||b|cos.
2.求投影的数量的两种方法
(1)向量b在a方向上的投影的数量为|b|cos,向量a在b方向上的投影的数量为|a|cos.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测向量数量积的性质
例3已知a,b是两个非零向量.
(1)若|a|=3,|b|=4,|a·b|=6,求a与b的夹角;
(2)若|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.
分析:利用向量数量积的公式或向量的几何意义求解.
解:(1)因为a·b=|a||b|cos,所以|a·b|=||a||b|cos|=|a||b||cos|=6.
又|a|=3,|b|=4,探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2已知非零向量a,b满足|a|=|b|,且|a+b|=|a-b|,求a·b.
解:由|a|=|b|,且|a+b|=|a-b|,知a⊥b,
故a·b=0.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测用数形结合法求向量的夹角
求两向量的夹角时,有时也会将两向量移到同一起点,将其放在三角形或四边形中,这时要准确确定两向量的方向,正确地找出夹角,并结合图形利用平面几何性质求出夹角.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测典例已知a,b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.
解:根据向量加法的几何意义,如图所示.方法点睛熟练应用数形结合思想,恰当运用向量的几何意义是解决此类问题的有效方法.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a-b的夹角是( )解析:如图所示,在以a和b为邻边的平行四边形ABCD中,
∵|a+b|=|a-b|,
∴四边形ABCD为矩形.
在Rt△ABD中,|a-b|=2|a|,答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形所以cos A<0.所以角A是钝角.
所以△ABC是钝角三角形.
答案:C
2.已知e1,e2是两个互相平行的单位向量,则下列判断中正确的是( )
A.e1·e2=1 B.e1·e2=-1
C.e1·e2=±1 D.|e1·e2|<1
答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.对任意向量a和b,|a||b|与a·b的大小关系是( )
A.|a||b|≤a·b B.|a||b|>a·b
C.|a||b|≥a·b D.|a||b|答案:C答案:-2 2
5.已知|a|=3,|b|=5,且a·b=12,则向量a在向量b上的投影的数量为 .?