8.2.3 倍角公式
课后篇巩固提升
基础巩固
1.计算:=( )
A. B. C. D.2
解析.故选A.
答案A
2.已知sin 2α=-,α∈,则sin α+cos α=( )
A.- B. C.- D.
解析(sin α+cos α)2=sin2α+2sin αcos α+cos2α
=1+sin 2α=.
∵-<α<0,∴sin α+cos α>0.
∴sin α+cos α=.
答案B
3.已知角α终边过点(-,1),则sin 2α=( )
A. B.±
C.- D.-
解析∵sin α=,cos α=-,
∴sin 2α=2×=-.
答案C
4.sin2-cos2+sincos=( )
A. B.
C.- D.
解析sin2-cos2+sincos
=-cossin,故选B.
答案B
5.(多选)已知函数f(x)=(1+cos 2x)sin2x,x∈R,则f(x)( )
A.是最小正周期为π的奇函数
B.最小值为-,最大值为
C.最小值为0,最大值为
D.是最小正周期为的偶函数
解析因为f(x)=2cos2x·sin2x=sin22x=,所以f(x)的周期为,且为偶函数.最小值为0,且最大值为.
答案CD
6.已知sin α=,则sin 2= .?
答案2-
7.若tan α=,则cos = .?
解析cos=-sin 2α=-=-=-=-.
答案-
8.已知α为第三象限的角 ,cos 2α=-,求tan
的值.
解∵α为第三象限角,
∴sin α<0,cos α<0.
由cos 2α=2cos2α-1=1-2sin2α=-,
得cos α=-,sin α=.
∴tan α=2.
∴tan 2α==-.
∴tan=-.
9.已知α为锐角,且sin α=.
(1)求的值;
(2)求tan的值.
解(1)因为α为锐角,且sin α=,
所以cos α=.
所以
==20.
(2)由(1)得tan α=,
所以tan.
10.设函数f(x)=(sin x+cos x)2+2sin2x-.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当x∈时,求函数f(x)的值域.
解(1)f(x)=1+sin 2x+2=1+sin 2x-cos 2x=2sin+1,
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
可得函数f(x)的递增区间为,k∈Z.
(2)由则-即函数f(x)的值域为(1-,3].
能力提升
1.计算:的结果为( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
解析
=
=
=2=2,故选B.
答案B
2.若coscos,则sin 2θ= ( )
A. B. C. D.
答案B
3.等于( )
A. B. C.2 D.
答案C
4.函数f(x)=cos 2x+2sin x的最小值和最大值分别为 ( )
A.-3,1 B.-2,2
C.-3, D.-2,
答案C
5.(多选)已知sin(π-θ)=,则sin 2θ,cos 2θ分别是( )
A. B. C. D.
解析因为sin(π-θ)=,
所以sin θ=,cos θ=,从而sin 2θ=2×,cos 2θ=1-2sin2θ=,故选CD.
答案CD
6.若sin,则cos= .?
解析观察发现+2α=2,而,则cos=sin,
所以cos=2cos2-1
=2sin2-1=-.
答案-
7.若=-,则sin α+cos α的值为 .?
解析由已知得
=
==-.
∴sin α+cos α=.
答案
8.已知sin α+cos α=,α∈(0,π),求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值.
解∵sin α+cos α=,∴(sin α+cos α)2=,
即1+2sin αcos α=,
则sin 2α=2sin αcos α=-.
又0<α<π,∴<α<π,sin α>0,cos α<0.
又(sin α-cos α)2=1-sin 2α=,
∴cos α-sin α=-,
cos 2α=(cos α-sin α)(cos α+sin α)=-.
∴tan 2α=.
9.已知向量m=(sin x,-1),向量n=,函数f(x)=(m+n)·m.
(1)求f(x)的最小正周期T;
(2)已知f(A)恰是f(x)在上的最大值,求锐角A.
解(1)f(x)=(m+n)·m=sin2x+sin xcos x+
=sin 2x+
=sin 2x-cos 2x+2=sin+2,
所以函数f(x)的最小正周期T==π.
(2)由(1)知f(x)=sin+2.
当x∈时,-≤2x-.
由正弦函数的图像可知,当2x-时,f(x)取得最大值3,即f(A)=3,此时2A-,
所以A=.
10.已知函数f(x)=2cos xsinsin2x+sin xcos x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)求方程f(x)=2在x∈[0,2 019]上解的个数.
解(1)因为f(x)=2cos xsin x+cos x-sin 2x,所以f(x)=sin 2x+,
所以f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin,
因此该函数的最小正周期为π.
令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
则-π+kπ≤x≤π+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间为-π+kπ,π+kπ,k∈Z.
(2)由题意得sin=1,
所以2x+=2kπ+,k∈Z,x=kπ+,k∈Z,
因为x∈[0,2 019],
当k=0时,x=,当k=1时,x=π,…,
当k=642时,x=642π+≈2 016,
当k=643时,x>2 019.
所以方程f(x)=2在x∈[0,2 019]上解的个数为643.
课件22张PPT。8.2.3 倍角公式1.(1)角 +β+40°与α+2β+80°是什么关系?
(2)试用角α的三角函数表示sin 2α,cos 2α,tan 2α.
提示:(1)角α+2β+80°是 +β+40°的二倍角.
(2)2α=α+α,再利用两角和的三角公式展开.
2.填表:倍角公式探究一探究二探究三思维辨析当堂检测化简、求值问题
例1求下列各式的值:探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟化简、求值问题的求解策略
解决此类题目时,要善于观察三角函数式的特点,常变形后正用或逆用公式来解决.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测给值求值问题 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟给值求值问题的求解策略
由给出的某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值或求相关角时,关键在于“变角”,把“目标角”变换成“已知角”.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测给值求角问题
例3如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A,B两点.已知A,B的横坐标分别为探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟给值求角问题的求解策略
要求角,应先求出该角的一种三角函数值,再根据范围求得角.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测逆用公式巧解题
在运用公式时,不仅要善于观察题目的结构特点,直接运用公式,还要善于逆用、变形用公式.
(1)公式逆用.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(3)倍角的余弦公式有三种形式:
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
在应用时要注意选择合适的形式.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测典例求值:
(1)sin 10°sin 50°sin 70°;
(2)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法点睛求连续几个正弦或余弦的积,常构造正弦的倍角公式连续使用,最后利用诱导公式化简求值.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:B 答案:D 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测
