8.2.2 两角和与差的正弦、正切
第1课时 两角和与差的正弦
课后篇巩固提升
1.sin 10°cos 35°-sin 260°sin 145°的值是( )
A. B.-
C.sin 25° D.-sin 25°
答案A
2.(多选)已知sin α=-,α∈,则sinα-和sinα+的值分别为( )
A. B. C. D.-
解析∵α∈,sin α=-,∴cos α=-,
sin=sin αcos+cos αsin
=-=-.
sin=sin αcos-cos αsin=-.
答案CD
3.在△ABC中,A=15°,则sin A-cos(B+C)的值为( )
A. B. C. D.2
解析原式=sin A+cos A=2sin(A+30°)=2sin 45°=.
答案C
4.在△ABC中,2cos Bsin A=sin C,则△ABC的形状一定是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
解析∵2cos Bsin A=sin C,
∴2cos Bsin A=sin(A+B).
∴2cos Bsin A=sin Acos B+cos Asin B.
∴sin Acos B-cos Asin B=0,∴sin(A-B)=0.
∵A,B是△ABC的内角,∴A=B.
∴△ABC是等腰三角形.
答案C
5.已知α∈,sin α=-,β∈,cos β=,则α+β为( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案C
6.(双空)已知向量a=(cos x,sin x),b=(),a·b=,则cos= ,cos
= .?
答案
7.已知sin α=,sin β=,则sin(α+β)sin(α-β)= .?
答案
8.已知cos,sin,其中<α<,0<β<,求sin(α+β)的值.
解因为α+β++β-,
所以sin(α+β)=-cos
=-cos
=-coscos-sinsin.
又因为<α<,0<β<,
所以--α<0,+β<π.
所以sin=-,cos=-.
所以sin(α+β)=-.
9.已知M(1+cos 2x,1),N(1,sin 2x+a),若f(x)=(O为坐标原点).
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈时,f(x)的最大值为4,求a的值.
解(1)f(x)=
=1+cos 2x+sin 2x+a,
∴f(x)=cos 2x+sin 2x+a+1.
(2)f(x)=cos 2x+sin 2x+a+1
=2sin+a+1,
∵x∈,∴2x+.
∴当2x+时,即x=时,f(x)取得最大值为3+a,∴3+a=4,∴a=1.
能力提升
1.已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,则lo等于( )
A.2 B.3 C.4 D.6
答案C
2.的值等于( )
A.2+ B. C.2- D.
解析原式=
==2-.
答案C
3.已知f(x)=sin(3x+θ)-cos(3x+θ)是奇函数,且在上是减函数,则θ的一个值是( )
A. B.π C.π D.π
解析f(x)=sin,∵f(x)是奇函数,
∴f(0)=sin=0,∴θ=kπ+,k∈Z.
∵f(x)在上是减函数,∴k为奇数.
当k=1时,θ=π.
答案D
4.在△ABC中,已知sin(A-B)cos B+cos(A-B)sin B≥1,则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰非直角三角形
解析∵sin(A-B)cos B+cos(A-B)sin B=sin(A-B+B)=sin A≥1,且0≤sin A≤1,∴sin A=1,即A=,∴△ABC是直角三角形.
答案C
5.函数y=sin x+cos x+2的最小值是( )
A.2- B.2+
C.3 D.1
解析y=sin x+cos x+2=sin+2.
∵x∈,∴x+,
∴ymin=+2=3.
答案C
6.已知A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),若=-1,则sin= .?
解析∵=(cos α-3,sin α),=(cos α,sin α-3),∴=(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=cos2α-3cos α+sin2α-3sin α=1-3sin=-1.
∴sin.
答案
7.已知sin α+cos α=,α∈,则sin= .?
解析sin=sin αcos-cos αsin
=cos α-sin α=(cos α-sin α).
∵α∈,∴cos α>sin α,
∴(sin α+cos α)2=,
(sin α-cos α)2=,∴cos α-sin α=.
∴sin.
答案
8.已知f(x)=sin 2x+cos 2x-1,x∈.
(1)求f(x)的最大值;
(2)求f(x)在定义域上的单调递增区间.
解(1)f(x)=2sin-1.
∵0≤x≤,∴≤2x+.
∴f(x)max=1.
(2)由≤2x+,得0≤x≤.
∴f(x)在定义域上的单调递增区间为.
9.已知向量a=(sin x,cos x-1),b=(,-1),设f(x)=a·b.
(1)求函数f(x)的最小正周期和对称中心;
(2)已知α为锐角,β∈(0,π),f,sin(α+β)=-,求sin(2α+β)的值.
解由题意得f(x)=a·b=sin x-cos x+1
=2sin+1.
(1)f(x)的最小正周期T=2π,
令x-=kπ(k∈Z),
则x=kπ+(k∈Z),
又f=2sin(kπ)+1=1,
因此函数f(x)的对称中心为,k∈Z.
(2)f=2sinα++1=2sin α+1=?sin α=.
∵α∈,∴cos α=.
∵α∈,β∈(0,π),
∴α+β∈.
又sin(α+β)=-<0,∴α+β∈,
∴cos(α+β)=-,
∴sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=-=-.
10.已知函数f(x)=sin+sin+cos 2x+a(a∈R,a为常数).
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)当x∈时,f(x)的最小值为-2,求a的值.
解(1)∵f(x)=2sin 2xcos+cos 2x+a
=sin 2x+cos 2x+a=2sin+a,
∴f(x)的最小正周期T==π.
当2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)时,函数f(x)单调递增,
故所求区间为 (k∈Z).
(2)当x∈时,2x+,
∴x=时,f(x)取得最小值.
∴2sin+a=-2,
∴a=-1.
8.2.2 两角和与差的正弦、正切
第2课时 两角和与差的正切
课后篇巩固提升
基础巩固
1.化简等于( )
A. B. C.3 D.1
解析=tan(45°+15°)=tan 60°=.
答案A
2.已知tan α=,tan β=,且角α,β为锐角,则α+β的值是( )
A. B.
C. D.
答案C
3.在△ABC中,已知tan A,tan B是方程3x2+8x-1=0的两根,则tan C等于( )
A.2 B.-2 C.4 D.-4
答案A
4.已知tan,tan=-,则tan的值为( )
A. B. C. D.1
解析tan=tan=1.
答案D
5.已知A,B,C是△ABC的三个内角,且tan A,tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是 三角形.?
解析由根与系数的关系,得
则tan(A+B)=.
∵在△ABC中,tan C=tan[π-(A+B)]
=-tan(A+B)=-<0,
∴C是钝角,∴△ABC是钝角三角形.
答案钝角
6.已知A,B都是锐角,且(1+tan A)(1+tan B)=2,则A+B= .?
解析(1+tan A)(1+tan B)=1+tan Atan B+tan A+tan B=2,
∴tan Atan B=1-(tan A+tan B).
∴tan(A+B)==1.
∵A,B都是锐角,∴0答案
7.已知tan,求tan α的值.
解∵tan,则,
∴tan α=-.
8.在非直角三角形中,求证:tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C.
证明∵A+B+C=π,∴A+B=π-C.∴tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,即=-tan C.
∴tan A+tan B=-tan C+tan A·tan B·tan C,
∴tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C.
能力提升
1.已知α∈,tan,那么sin α-cos α的值为( )
A.- B. C.- D.
答案B
2.(多选)在平面直角坐标系xOy中,角α,β的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,若点A,B的坐标分别为,则tan(α+β),sin(α+β)的值分别为( )
A. B.
C. D.
解析由题意可得sin α=,cos α=,sin β=,cos β=-,
则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=.
tan α=,tan β=-,
所以tan(α+β)=,故选AD.
答案AD
3.在△ABC中,tan A=,cos B=,则tan C=( )
A.-1 B.1
C. D.-2
解析因为cos B=,且0所以sin B=.所以tan B=,
所以tan C=-tan=-
=-=-1.故选A.
答案A
4.下列结果为的是( )
①tan 25°+tan 35°+tan 25°·tan 35°;
②(1+tan 20°)(1+tan 40°);
③;
④.
A.①② B.①③
C.①②③ D.①②③④
解析①∵tan 25°+tan 35°=tan(25°+35°)(1-tan 25°·tan 35°)=tan 25°tan 35°,
∴原式=tan 25°tan 35°+tan 25°tan 35°=.
②(1+tan 20°)(1+tan 40°)=1+tan 20°+tan 40°+tan 20°·tan 40°=1+(1-tan 20°tan 40°)+tan 20°·tan 40°=1+-(-1)tan 20°tan 40°≠.
③原式==tan 60°=.
④原式=.
答案B
5.已知sin α=,α是第二象限角,tan(α+β)=-,则tan β的值为( )
A.- B. C.- D.
解析∵sin α=,α是第二象限角,∴tan α=-,
∴tan β=tan[(α+β)-α]==-.
答案C
6.在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=,则tan A·tan B的值为( )
A. B. C. D.1
解析∵C=120°,∴A+B=60°.
∴tan(A+B)=.
∵tan A+tan B=,∴1-tan Atan B=.
∴tan Atan B=.
答案B
7.(双空)已知tan(α+β)=,tan=-2,则tan= ,tan(α+2β)= .?
解析tan=tan
==-8.
tan=-2,tan β=-,
tan(α+2β)=.
答案-8
8.在△ABC中,高AD把BC分为长2 cm和3 cm的两段,∠A=45°,则S△ABC= .?
解析设AD=x cm,由已知得tan∠BAD=,tan∠CAD=,又∠BAD+∠CAD=45°,
则tan 45°==1,
化简得x2-5x-6=0,解得x=6,x=-1(舍去).
所以S△ABC=×AD×BC=×6×5=15(cm2).
答案15 cm2
9.已知3tan αtan(α+β)=4[tan(α+β)-tan α-tan β],且cos(π+β)>0,则sin(β-3π)= .?
答案
10.已知α,β为锐角,cos α=,cos(α+β)=-.
(1)求sin β的值;
(2)求tan(α-β)的值.
解(1)∵0<α<,0<β<,∴0<α+β<π.
又cos α=,cos(α+β)=-,
∴sin α=,sin(α+β)=,
∴sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=.
(2)∵0<α<,0<β<,cos α=,sin β=,
∴tan α=,tan β=2,
∴tan(α-β)==-.
11.是否存在锐角α和β,使得①α+2β=和②tantan β=2-同时成立?若存在,求出α和β的值;若不存在,请说明理由.
解由①得+β=,则tan=tan,
即.
把条件②代入上式,得
tan+tan β=×(1-2+)=3-. ③
由②③知,tan,tan β是一元二次方程x2-(3-)x+2-=0的两个实数根.
解这个方程,得
∵α是锐角,∴0<.∴tan≠1.
故tan=2-,tan β=1.
∵0<β<,由tan β=1,得β=,
代入①,得α=.
∴存在锐角α,β使两个条件同时成立.
课件21张PPT。第1课时 两角和与差的正弦两角和与差的正弦公式
1.用公式C(α±β)可以得到sin(α+β)的公式吗?2.填空
Sα+β:sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.?
Sα-β:sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.?
3.做一做:sin 105°= .?4.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β. ( )
(2)sin α+sin β=sin(α+β). ( )
(3)sin(α+β-15°)=sin(α-15°)cos β+cos(α-15°)sin β. ( )答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测给值求值 分析:若将cos(α+β)展开,再联立平方关系求sin β的运算量大,利用角的变换β=(α+β)-α,两边同时取正弦比较简便.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟给值求值问题的解题策略
在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角,具体做法是:
(1)当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.
(2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究在例1中,试求β. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用两角和与差的正弦公式化简
例2化简下列各式:分析:(1)各式中角的形式无法统一,且没有明显的拼角关系,所以只能利用两角和与差的公式展开后寻求解决办法.(2)观察三个角之间的关系,知2α+β=α+(α+β),所以首先考虑角的代换,再利用两角和与差公式化复角为单角.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟化简三角函数式的标准和要求
(1)能求出值的应求出值;
(2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少;
(3)使三角函数式的次数尽可能低;
(4)使分母中尽量不含三角函数式和根式.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用两角和与差的正弦公式证明 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟三角恒等式证明的策略
三角恒等式的证明的实质是通过恒等变形消除待证式两边结构上的差异,常用策略是变角、变函数名称.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测一题多解——两角和与差的正弦求解 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法点睛熟练三角公式是一题多解的基础. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:C 答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:1 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.设A,B,C为△ABC的三个内角,且x2-xsin Acos B+sin C=0的两根为α,β,α+β= αβ,判断△ABC的形状.
解:因为α,β是方程x2-xsin Acos B+sin C=0的两根,
所以α+β=sin Acos B,αβ=sin C.
又因为α+β= αβ,
所以2sin Acos B=sin[π-(A+B)].
所以2sin Acos B=sin(A+B).
所以2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,sin A·cos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0.
又因为0所以A-B=0,即A=B.
所以△ABC为等腰三角形.课件18张PPT。第2课时 两角和与差的正切1.两角和(差)的正、余弦公式是什么?
提示:sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β,
cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β.
2.填空3.做一做:tan 105°= .? 4.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)tan α+tan β=tan(α+β). ( )答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测给角求值问题
例1求下列各式的值.分析:根据所给角的特征,将式子转化为符合两角和与差的正切公式的形式,同时正向或逆向运用公式或公式的变形求三角函数值.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟公式T(α±β)的逆用
一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换.如探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测给式求值问题 反思感悟给式求值问题的求解策略
若所求三角函数的角可用已知三角函数的角的和或差表示就可求出其值,即角变换思想同样可以运用到和差角的正切公式上求值.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测给值求角问题 分析:已知α-β及β角的正切,要求2α-β的正切,必须通过角变换,2α-β=α+(α-β),α=(α-β)+β,故需先求出α角的正切.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟求角问题的求解步骤
(1)求角的范围;(2)求出此角的一种适当的三角函数值;(3)得出角的数值.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测活用公式求值
在运用两角和与差的正切公式时,要注意公式的正用、逆用、变形用.
如:Tα±β可变形为如下几个公式探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法点睛(1)利用tan 45°=1代入求解;(2)(3)利用正切公式的变形公式求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:C
2.tan 15°+tan 75°=( )
A.4 B.2 C.1 D.2答案:A 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.计算(1+tan 10°)(1+tan 35°)等于 .?
答案:2探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为探究一探究二探究三思维辨析当堂检测