8.2 三角恒等变换
8.2.1 两角和与差的余弦
课后篇巩固提升
基础巩固
1.cos 70°cos 335°+sin 110°sin 25°的值为( )
A.1 B. C. D.
解析原式=cos 70°cos 25°+sin 70°sin 25°=cos(70°-25°)=cos 45°=.
答案B
2.化简sin×cos-sin×sin的结果为( )
A.cos B.-cos
C.sin D.-sin
答案B
3.在△ABC中,cos A=,cos B=,则cos C等于( )
A.- B. C.- D.
答案B
4.(多选)已知cos α=,则cos可以取的值为 ( )
A. B.- C. D.-
答案AB
5.若cos(α+β)=,cos(α-β)=,则tan α·tan β的值为( )
A.2 B. C.-2 D.-
解析由cos(α+β)=,cos(α-β)=可得
则sin αsin β=,cos αcos β=.
故tan αtan β=.
答案B
6.向量a=(2cos α,2sin α),b=(3cos β,3sin β),a与b的夹角为60°,则直线xcos α-ysin α=与圆(x-cos β)2+(y+sin β)2=的位置关系是( )
A.相切 B.相交
C.相离 D.随α,β的值而定
答案B
7.(双空)已知α,β均为锐角,且sin α=,cos β=,则α-β的值为 ,cos(α+β)= .?
答案- -
8.已知sin(α-45°)=-,0°<α<90°,则cos α= .?
解析因为0°<α<90°,所以-45°<α-45°<45°,
所以cos(α-45°)=,
所以cos α=cos[(α-45°)+45°]
=cos(α-45°)cos 45°-sin(α-45°)sin 45°=.
答案
9.已知α,β均为锐角,cos α=,cos(α+β)=-,求角β.
解因为α,β均为锐角,
所以0<α<,0<β<,0<α+β<π.
又cos(α+β)=-,
所以sin(α+β)=.
由cos α=,得sin α=,
所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-.
又因为β是锐角,所以β=.
10.已知函数f(x)=2cos(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π,
(1)求ω的值;
(2)设α,β∈,f=-,f,求cos(α+β)的值.
解(1)∵f(x)=2cos,ω>0的最小正周期T=10π=,∴ω=.
(2)∵f(x)=2cos,
∴f=2cos=-2sin α.
∴sin α=.∵f=2cos=2cos β,∴cos β=.
∵α,β∈,∴cos α=,sin β=,
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
==-.
能力提升
1.cos 80°·cos 20°-sin(-80°)·sin 160°的值是( )
A. B. C.- D.-
解析cos 80°·cos 20°-sin(-80°)·sin 160°
=cos 80°·cos 20°+sin 80°·sin 20°=cos 60°=,
故选A.
答案A
2.已知cos α=,α∈(-π,0),则cosα-=( )
A.- B.- C. D.
解析∵cos α=,α∈(-π,0),
∴sin α=-=-,
∴cosα-=cos αcos+sin αsin+-×=-.故选A.
答案A
3.(多选)若α,β均为第二象限角,满足sin α=,cos β=-,则cos(α+β)和cos(α-β)的值分别为( )
A.- B.- C. D.
解析∵sin α=,cos β=-,α,β均为第二象限角,
∴cos α=-=-,
sin β=,
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-·=-,
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,故选BD.
答案BD
4.若-<β<0<α<,cos+α=,cos=,则cos=( )
A. B. C.- D.-
解析∵-<β<0<α<,cos +α=,cos =,
∴sin+α=,sin=,
∴cosα+=cos+α-=cos+αcos+sin+αsin
=.
故选A.
答案A
5.(双空)已知α,β均为锐角,且满足sin α=,cos β=,则cos(α-β)= ,cos 2β= .?
解析因为α,β均为锐角,且sin α=,cos β=,
所以cos α=,sin β=.因为,所以α>β,
因此cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,sin(α-β)=,
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,sin(α+β)=,
cos 2β=cos((α+β)-(α-β))=cos(α-β)cos(α+β)+sin(α-β)sin(α+β)=.
答案
6.已知cosα--sin α=,则cosα+的值是 .?
解析由于cosα--sin α=,
整理得cos α+sin α-sin α=,
即cos α-sin α=,则cosα+=,
可得cosα+=-cosα+=-.
答案-
7.已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,-sin β),α,β均为锐角,且|a-b|=.
(1)求cos(α+β)的值;
(2)若sin α=,求cos β的值.
解(1)由题意得|a|=1,|b|=1,
则|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=2-2(cos αcos β-sin αsin β)=2-2cos(α+β)=,
解得cos(α+β)=.
(2)∵α,β∈,∴α+β∈(0,π),
由sin α=,cos(α+β)=可得cos α=,sin(α+β)=,
故cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=.
8.已知向量a=(sin α,cos α-sin α),b=(cos β-sin β,cos β),且a·b=2.
(1)求cos(α+β)的值;
(2)若0<α<,0<β<,且sin α=,求2a+β的值.
解(1)因为a=(sin α,cos α-sin α),b=(cos β-sin β,cos β),
所以a·b=sin α(cos β-sin β)+(cos α-sin α)cos β=cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β),
因为a·b=2,所以cos(α+β)=2,
即cos(α+β)=.
(2)因为0<α<,sin α=,
所以cos α=.
因为0<α<,0<β<,所以0<α+β<π.
因为cos(α+β)=,所以sin(α+β)=,
所以cos(2α+β)=cos[α+(α+β)]=cos αcos(α+β)-sin αsin(α+β)=.因为0<α<,0<β<,
所以0<2α+β<,所以2α+β=.
9.已知函数f(x)=Asinx+(x∈R),且f(0)=1.
(1)求A的值;
(2)若f(α)=-,α是第二象限角,求cos α.
解(1)依题意得f(0)=AsinA=1,故A=.
(2)由(1)得f(x)=sinx+,
由f(α)=-可得f(α)=sinα+=-,
则sinα+=-,∵α是第二象限角,
∴2kπ+<α<2kπ+π(k∈Z),
∴2kπ+<α+<2kπ+(k∈Z),
又∵sinα+=-<0,
∴α+是第三象限角,
∴cosα+=-=-,
∴cos α=cos
=cosα+cos+sinα+sin
=-=-.
课件21张PPT。8.2.1 两角和与差的余弦1.(1)向量a,b的数量积公式是什么?
(2)若a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),则a·b=?
提示:(1)a·b=|a|·|b|·cos
.
(2)a·b=cos αcos β+sin αsin β.
2.填空:3.做一做:cos 105°= .? 4.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β. ( )
(2)cos(α+β)=cos α+cos β. ( )
(3)cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β对任意α,β都成立. ( )答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测给角求值问题
例1求下列各式的值:
(1)cos 15°-cos 75°;
(2)sin 70°cos 25°-sin 20°sin 25°;分析:注意结构形式,将其变形为两角和与差的余弦形式,套用公式. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟解决给角求值问题的策略
公式Cα±β是三角恒等式,既可正用,也可逆用,一定要注意公式的结构特征,灵活变换角或名称,同时在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时,关键在于把待求的角转化成已知角或特殊角(如,30°,45°,60°,90°,120°,150°,…)之间和与差的关系问题,然后利用公式化简求值.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测给值求值问题 分析:将β转化为(α+β)-α,再利用公式. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟给值求值问题的两个主要技巧
一个是已知角的某一三角函数值,求该角的另一三角函数值时,应注意角的终边所在的象限,从而确定三角函数值的正负.
二是注意变角,“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中经常用到,因为合理“变角”后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测给值求角问题 分析:利用两角和的余弦公式求α+β的余弦值,并结合角α+β的范围进行求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟解决给值求角问题的策略
求角时,先根据已知条件求出角的余弦值,然后根据已知条件求出角的范围,从而确定角的大小.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测角的变换技巧的应用
角的变换是三角恒等变换的首选方法.在进行三角恒等变换时,对角与角之间的关系必须进行认真地分析.
(1)分析角之间的和、差、倍、分关系,
例如β=(α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β),探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法点睛三角变换是三角运算的灵魂与核心,它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换,而角的变换主要体现了拆角与凑角的方法.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.在△ABC中,已知cos Acos B>sin Asin B,则△ABC一定是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
答案:C答案:AD 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.cos 78°cos 18°+cos 12°cos 72°= .? 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测