2．5.1 平面几何中的向量方法
班级______________ 姓名______________
一、选择题
1．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为( )
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
2.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·的值是( )
A．－ B．－
C．－ D．－
3．在四边形ABCD中，若＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )
A. B．2 C．5 D．10
4．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则||等于( )
A. B．2
C．3 D．2
5．在△ABC所在的平面内有一动点P，令2＋2＋2＝t，当t取得最小值时，P为△ABC的( )
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
6．已知非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC的形状是( )
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰(非等边)三角形
D．等边三角形
7．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的( )
A．三个内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
8．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．2∶5
二、填空题
9．已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，则(＋)·＝________.
10．在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝________.
11．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为________．
三、解答题
12．在平面直角坐标系中，已知三点A(4,0)，B(t,2)，C(6，t)，t∈R，O为坐标原点．
(1)若△ABC是直角三角形，求t的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，求||的最小值．
2．5.1 平面几何中的向量方法
一、选择题
1．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为( )
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
答案 A
解析 ∵＝(3,3)，＝(－2，－2)，
∴＝－，∴与共线．
又||≠||，∴该四边形为梯形．
2.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·的值是( )
A．－ B．－
C．－ D．－
答案 B
解析 ＝＋，＝＋，
且＝－，
所以·＝(＋)·(＋)
＝2－2＝－1＝－.
3．在四边形ABCD中，若＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )
A. B．2 C．5 D．10
答案 C
解析 ∵·＝0，∴AC⊥BD.
∴四边形ABCD的面积
S＝||||＝××2＝5.
4．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则||等于( )
A. B．2
C．3 D．2
答案 B
解析 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．
设||＝a(a>0)，则A(0,0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2,0)，
所以＝(2，－a)，＝(4，a)．
因为⊥，所以·＝0，
所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8.
所以a＝2，所以＝(2，－2)，
所以||＝＝2.
5．在△ABC所在的平面内有一动点P，令2＋2＋2＝t，当t取得最小值时，P为△ABC的( )
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
答案 B
解析 以B为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则B(0,0)．
设C(c,0)，A(a，b)，P(x，y)，
则t＝2＋2＋2
＝(x－a)2＋(y－b)2＋x2＋y2＋(x－c)2＋y2
＝3x2－2(a＋c)x＋3y2－2by＋a2＋b2＋c2
＝32＋32＋c2＋a2＋b2－，
所以当x＝，y＝时，t取得最小值，
所以P为△ABC的重心．
6．已知非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC的形状是( )
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰(非等边)三角形
D．等边三角形
答案 D
解析 由·＝0，得角A的平分线垂直于BC，
∴AB＝AC.而·＝cos〈，〉＝，
又0°≤〈，〉≤180°，∴∠BAC＝60°.
故△ABC为等边三角形，故选D.
7．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的( )
A．三个内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
答案 D
解析 ∵·＝·，∴(－)·＝0，
∴·＝0，∴OB⊥AC.
同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为三条高的交点．
8．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．2∶5
答案 B
解析 如图，D为BC边的中点，
则＝(＋)．
因为3－－＝0，
所以3＝2，所以＝，
所以S△ABM＝S△ABD＝S△ABC.
二、填空题
9．已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，则(＋)·＝________.
答案 －
解析 如图，以A为坐标原点O，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(2,0)，D(0,1)，
∴C(2,1)．
∵E，F分别为BC，CD的中点，∴E，F(1,1)，
∴＋＝，＝(－2,1)，
∴(＋)·＝3×(－2)＋×1＝－.
10．在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝________.
答案
解析 已知A(0,1)，B(－3,4)，
设E(0,5)，D(－3,9)，
则四边形OBDE为菱形，
∴∠AOB的角平分线是菱形OBDE的对角线OD.
设C(x1，y1)，||＝3，
∴＝.
∴(x1，y1)＝×(－3,9)＝，
即＝.
11．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为________．
答案 2
解析 设∠BAC＝θ，AD＝x(x>0)，
则·＝2x·3·cos θ＝5，
∴x·cos θ＝.
作DE⊥AB于点E(图略)，由DE2＋EB2＝BD2，
得(x·sin θ)2＋(3－x·cos θ)2＝5，解得x·sin θ＝.
∴x2·cos2θ＋x2·sin2θ＝x2＝＋＝1，
∴x＝1，∴AC＝2x＝2.
三、解答题
12．在平面直角坐标系中，已知三点A(4,0)，B(t,2)，C(6，t)，t∈R，O为坐标原点．
(1)若△ABC是直角三角形，求t的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，求||的最小值．
解 (1)由题意得，＝(t－4,2)，＝(2，t)，
＝(6－t，t－2)，
若∠A＝90°，则·＝0，即2(t－4)＋2t＝0，∴t＝2；
若∠B＝90°，则·＝0，即(t－4)(6－t)＋2(t－2)＝0，
∴t＝6±2；
若∠C＝90°，则·＝0，
即2(6－t)＋t(t－2)＝0，无解，
∴t的值为2或6±2.
(2)若四边形ABCD是平行四边形，则＝，
设点D的坐标为(x，y)，
即(x－4，y)＝(6－t，t－2)，
∴即D(10－t，t－2)，
∴||＝＝，
∴当t＝6时，||取得最小值4.
