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人教版 八年级下
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理
新知导入
问题1 同学们，直角三角形都有哪些性质？
直角三角形有如下性质：
(1)有一个角是直角；
(2)两个锐角互余；
(3)两直角边的平方和等于斜边的平方；
(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半．
新知导入
问题2 那么一个三角形满足什么条件时，才能是直角三角形呢？
如果三角形有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形
如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形．
新知导入
前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b与斜边c具有一定的数量关系即a2＋b2＝c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？我们来看一下古埃及人是如何做的？
新知导入
同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?
打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
新知导入
这个问题意味着，如果围成的三角形的三边长分别为3，4，5，有下面的关系：32＋42＝52，那么围成的三角形是直角三角形．
新知讲解
画画看 如果三角形的三边长分别为：
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题 1 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
是
新知讲解
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5,12,13满足52+122=132,
② 7,24,25满足72+242=252,
③ 8,15,17满足82+152=172.
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
∵32+42=52，∴满足.
a2+b2=c2
新知讲解
我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.
我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.
问题3 据此你有什么猜想呢?
由上面几个例子，我们猜想：
命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
新知讲解
？
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′
证一证:
新知讲解
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)，
∴∠C= ∠C′=90° ， 即△ABC是直角三角形.
新知讲解
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a 、b 、c满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
特别说明：
归纳总结
新知讲解
例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1) a=15 ， b=8 ，c=17;
解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，
且∠C是直角.
(2) a=13 ，b=14 ，c=15.
(2)∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
新知讲解
根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
新知讲解
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
新知讲解
常见勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
新知讲解
命题1：
直角三角形
a2+b2=c2
命题2：
直角三角形
a2+b2=c2
题设
结论
它们是题设和结论正好相反的两个命题.
问题1 两个命题的条件和结论分别是什么？
问题2 两个命题的条件和结论有何联系？
新知讲解
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
归纳总结
课堂练习
1.说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？
(1)两条直线平行，内错角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等；
(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
内错角相等，两条直线平行.
如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.
对应角相等的三角形全等 .
在角平分线上的点到角的两边距离相等.
成立
不成立
不成立
成立
课堂练习
2、下列四组数中：①1、 、2；②32，42，52 ；③9，40，41；④3k、4k、5k（k为正整数）.属于勾股数的有____________(填序号).
3、直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm.则斜边上的高等于??? cm.
4、已知两条线段的长为3cm和4cm,当第三条线段的长为??? cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.
③、④
4.8
课堂练习
5.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6
C．5，12，13 D．4，6，7
C
6.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 （ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2.4
D
7.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是_______________________.
等腰三角形或直角三角形
拓展提高
1.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10， AD=CD= ,求四边形ABCD 的面积.
∴ △ ABC是直角三角形且∠B是直角.
∴ △ ADC是直角三角形且∠ D是直角，
∴ ∴S 四边形 ABCD=
课堂总结
1、勾股定理的逆定理
2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题、互逆定理.
4、勾股定理与勾股定理的逆定理的 区别与联系：
区别：（1）二者的题设和结论正好相反；（2）前者是直角三角形的性质定理，后者是直角三角形的判定定理；（3）二者的作用不同。
联系：二者互为逆定理
3、已学过的直角三角形的判定方法：
（1）直角三角形的定义；（2）勾股定理的逆定理
板书设计
17.2 勾股定理的逆定理
第3课时 勾股定理的逆定理
勾股定理
的逆定理
内容
作用
从三边数量关系判定一个三角形是
否是直角形三角形.
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角.
勾股数一定是正整数
作业布置
课后作业：课本33页练习第3题、34页习题17.2第2题。
谢谢
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第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理(1)
1、 教学目标
1．掌握直角三角形的判别条件．
2．熟记一些勾股数．
3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．
2、 重点难点
重点
探究勾股定理的逆定理，理解并掌握互逆命题、原命题、逆命题的有关概念及关系．
难点
归纳猜想出命题2的结论．
3、 教学设计
（1） 新知导入
问题1 同学们，直角三角形都有哪些性质？
直角三角形有如下性质：
(1)有一个角是直角；
(2)两个锐角互余；
(3)两直角边的平方和等于斜边的平方；
(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半．
问题2 那么一个三角形满足什么条件时，才能是直角三角形呢？
如果三角形有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形
如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形．
前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b与斜边c具有一定的数量关系即a2＋b2＝c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？我们来看一下古埃及人是如何做的？
同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?
打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
这个问题意味着，如果围成的三角形的三边长分别为3，4，5，有下面的关系：32＋42＝52，那么围成的三角形是直角三角形．
（2） 新知讲解
画画看 如果三角形的三边长分别为：
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题 1 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5,12,13满足52+122=132,
② 7,24,25满足72+242=252,
③ 8,15,17满足82+152=172.
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
∵32+42=52，∴满足.
问题3 据此你有什么猜想呢?
由上面几个例子，我们猜想：
命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
证一证:
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a 、b 、c满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
特别说明：
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1) a=15 ， b=8 ，c=17; (2) a=13 ，b=14 ，c=15.
解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，
且∠C是直角.
(2)∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
（3） 课堂练习
1.说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？
(1)两条直线平行，内错角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等；
(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
2、下列四组数中：①1、 、2；②32，42，52 ；③9，40，41；④3k、4k、5k（k为正整数）.属于勾股数的有____________(填序号).
3、直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm.则斜边上的高等于??? cm.
4、已知两条线段的长为3cm和4cm,当第三条线段的长为??? cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.
5.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6
C．5，12，13 D．4，6，7
6.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 （ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2.4
7.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是_______________________.
（4） 拓展提高
1.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10， AD=CD= ,求四边形ABCD 的面积.
4、 课堂总结
1、勾股定理的逆定理
2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题、互逆定理.
3、已学过的直角三角形的判定方法：
（1）直角三角形的定义；（2）勾股定理的逆定理
4、勾股定理与勾股定理的逆定理的 区别与联系：
区别：（1）二者的题设和结论正好相反；（2）前者是直角三角形的性质定理，后者是直角三角形的判定定理；（3）二者的作用不同。
联系：二者互为逆定理
5、 板书设计
六、作业设计
课后作业：课本33页练习第3题、34页习题17.2第2题。
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