(共19张PPT)
17.1一元二次方程(1)
●教学目标
1．了解一元二次方程的概念；一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及其相关概念；能应用一元二次方程概念解决一些简单题目．
2．了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．
●教学重点和难点
重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题；判定一个数是否是方程的根．
难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
一、课前预习
阅读课本内容，了解本节主要内容．
什么是一元一次方程？
有一个未知数，未知数的最高次数是一的整式方程叫做一元一次方程．
一元一次方程的一般形式是什么？
二、情景导入
学生活动：列方程．
问题(1)《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”
大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？
如果假设门的高为x尺，那么，这个门的宽为________尺，根据题意，得________．
整理、化简，得：________.
如果假设AB＝1，AC＝x，那么BC＝________，根据题意，得：________.
整理得：________.
问题(3)有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？
如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是________，根据题意，得：________.
整理，得：________.
老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．
三、新知探究
学生活动：请口答下面问题．
(1)上面三个方程整理后含有几个未知数？
(2)按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？
(3)有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？
老师点评：(1)都只含一个未知数x；
(2)它们的最高次数都是2次的；
(3)都有等号，是方程．
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
ax2+bx+c=0 （a≠0）
这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
为什么？
为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．
四、点点对接
【例1】将方程(x＋1)2＋(x－2)(x＋2)＝1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
分析：通过完全平方公式和平方差公式把(x＋1)2＋(x－2)(x＋2)＝1化成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式．
解：去括号，得：x2＋2x＋1＋x2－4＝1，移项，合并得：2x2＋2x－4＝0，其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项－4.
【例2】已知关于x的方程(a＋1)x|a|＋1＋2x－6＝0是一元二次方程，则a＝________.
分析：已知方程是关于x的一元二次方程，则需满足条件|a|＋1＝2且a＋1≠0.
解：根据一元二次方程的定义有|a|＋1＝2，得a＝±1，又因为a＋1≠0，得a≠－1，所以a＝1.答案：1.
【例3】请你用一张长方形的纸片，做一个容积为750cm，高为6cm，底面的长比宽多5cm的无盖长方体粉笔盒，若设这个粉笔盒的底面宽为xcm，则根据题意列出方程，并将其化为一般形式．
分析：要做出这个粉笔盒，关键在于确定其底面的长和宽，由底面的宽为xcm，长比宽多5cm，则长为(x＋5)cm，根据长方体的体积公式，可找出等量关系列出方程．
解：长方体底面宽为xcm，则长为(x＋5)cm.根据题意，得(x＋5)·x·6＝750，化为一般形式为6x2＋30x－750＝0.
【例4】下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.
分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．
解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足方程的等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．
【例5】要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应该怎样剪？
设长为xcm，则宽为(x－5)cm
列方程x(x－5)＝150，即x2－5x－150＝0
请根据列方程回答以下问题：
(1)x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．
(2)完成下表：
(3)你知道铁片的长x是多少吗？
x 10 11 12 13 14 15 16 17 …
x2－5x－150 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
分析：x2－5x－150＝0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根．
?解：(1)x不可能小于5.理由：如果x<5，则宽(x－5)<0，不合题意．x不可能等于10.理由：如果x＝10，则面积x2－5x－150＝－100，也不可能．
(3)铁片长x＝15cm
(2)
x 10 11 12 13 14 15 16 17 …
x2－5x－150 －100 －84 －66 －46 －24 0 26 54 …
五、课堂小结
本节课要掌握：
(1)一元二次方程的概念；(2)一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项的概念及其它们的运用；(3)要会判断一个数是否是一元二次方程的根．
(共14张PPT)
17.2一元二次方程
1. 配方法(1)
●教学目标
1．理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想．
2．能用直接开平方法解缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0.
3．了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．
●教学重点和难点
重点：运用配方法解一元二次方程．
难点：理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，讲清配方法的解题步骤：把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方．
一、课前预习
阅读课本内容，了解本节主要内容．
二、情景导入
学生活动：请同学们完成下列各题
问题1.填空
(1)x2－8x＋________＝(x－________)2；
(2)9x2＋12x＋________＝(3x＋________)2；
(3)x2＋px＋________＝(x＋________)2.
问题2.如图，在△ABC中，∠B＝90°，点P从点B开始，沿AB边向点A以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB＝6cm，BC＝12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2?
思考：怎样解上节问题1中得到的方程x2＋2x－1＝0?
这个方程，显然不能通过直接开平方来解，能否把这个方程转化成直接开平方来解的形式？
(学生分组讨论)
四、点点对接
【例1】解方程：x2＋4x＋4＝1
分析：很清楚x2＋4x＋4是一个完全平方公式，那么原方程转化为(x＋2)2＝1.
解：由已知，得：(x＋2)2＝1，直接开平方，得：x＋2＝±1，即x＋2＝1，x＋2＝－1，所以，方程的两根x1＝－1，x2＝－3.
【例3】解下列方程
(1)x2＋6x＋5＝0
(2)2x2＋6x＋2＝0
(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0
分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．
解：(1)移项，得：x2＋6x＝－5，配方：x2＋6x＋32＝－5＋32，(x＋3)2＝4，由此可得：x＋3＝±2，即x1＝－1，x2＝－5；
【例4】求证：无论x为何值，代数式2x2－4x＋3的值恒大于0.
本题可用配方法构造一个完全平方式后再解答．
∴无论x为何值时，代数式2x2－4＋3的值恒大于0.
点拨：这是用配方法解题的一个典型例子，解决这类问题要注意代数式中的配方与解方程中的配方的异同，此外，配方也应因题而异．
2．把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．
注意：配方时， 等式两边同时加上的是一次项
系数一半的平方．
用配方法解一元二次方程的步骤：
移项：把常数项移到方程的右边;
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方;
开方：根据平方根意义，方程两边开平方;
求解：解一元一次方程;
定解：写出原方程的解．
(共15张PPT)
一元二次方程的解法
公式法(1)
●教学目标
1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
2．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
3．会求一元二次方程的近似解．
●教学重点和难点
重点：求根公式的推导和公式法的应用．
难点：一元二次方程求根公式法的推导．
一、课前预习
阅读课本内容，了解本节主要内容．
一、用配方法解下列方程
2x?-12x+10=0
二、用配方解一元二次方程的步骤是什么？
1.化1:把二次项系数化为1（方程两边都除以二次项系数）;
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类;
5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
6.求解:解一元一次方程;
7.定解:写出原方程的解.
（a≠0）
一元二次方程的求根公式
特别提醒
解：
解：
结论：当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等 的实数根.
解：
【例4】解方程：x2＋x－1＝0.(精确到0.001)
【例3】某数学兴趣小组对关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－2)x－1＝0提出了下列问题．
(1)若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
(2)若使方程为一元一次方程，m是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
本节课应掌握：
(1)求根公式的概念及其推导过程；
(2)公式法的概念；
(3)应用公式法解一元二次方程；
(4)初步了解一元二次方程根的情况．
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
(共43张PPT)
17.2一元二次方程的解法
3.因式分解法(1)
●教学目标
1．掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤．
2．会用因式分解法解一元二次方程．
●教学重点和难点
重点：用因式分解法解一元二次方程．
难点：用因式分解法解一元二次方程．
一、课前预习
阅读课本内容，了解本节主要内容．
教师点评：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解．
2．你能利用因式分解解下列方程吗？(1)y2－3y＝0 (2)4x2＝9
三、新知探究
1．一个一元二次方程用公式法总可以求解，对于一些特殊的一元二次方程，还可以有别的解法，如解方程x2＝9，除了直接开平方求解外，还可以把它变形为x2－9＝0.
再将方程左边分解因式，得(x－3)(x＋3)＝0.
我们知道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式中有一个等于0，那么它们的积就等于0，因此，有x－3＝0或x＋3＝0.
解这两个一次方程，得x1＝3，x2＝－3.
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法．
2．归纳因式分解法解一元二次方程的步骤：
当方程的一边为0，另一边容易分解成两个一次因式的积时，用因式分解法求解方程比较方便．然后归纳步骤：(板书)
①若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；
②将方程的左边分解因式；
③根据若M·N＝0，则M＝0或N＝0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程．
四、点点对接
【例1】用因式分解法解方程：
(1)4x2＋5x＝0 (2)(5x－4)(4x＋7)＝0
(3)(x－3)2－(x－3)－6＝0
(4)3(x－2)＝x(x－2)
分析：方程(1)的右边是0，左边可用提取公因式法分解因式方程；(2)的右边是0，左边是两个一次因式的积，所以可直接转化为两个一次方程来解；(3)可转化为一般形式，再分解；也可直接用换元思想，把(x－3)看作一个整体来分解；方程(4)不要去括号更不要两边同时除以(x－2)，应先移项，把方程右边化为0，左边用提取公因式分解因式．
(3)(x－3)2－(x－3)－6＝0，原方程可化为：x2－6x＋9－x＋3－6＝0，x2－7x＋6＝0，因式分解得(x－1)(x－6)＝0，于是得x－1＝0或x－6＝0，所以x1＝1，x2＝6
(4)移项得3(x－2)－x(x－2)＝0，原方程可变形为(x－2)(3－x)＝0，∴x－2＝0或3－x＝0.∴x1＝2，x2＝3.
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1、方程右边化为 ．
2、将方程左边分解成两个 的乘积．
3、至少 因式为零，得到两个一元一次方程．
4、两个 就是原方程的解．
零
一次因式
有一个
一元一次方程的解
【例2】解下列一元二次方程．
(1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；
(2)5(x－3)2＝x2－9；
(3)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4＝0.
分析：(1)方程左边可变形为[2(x－3)]2－[5(x－2)]2，因此可用平方差公式分解因式；(2)中方程右边分解后为(x－3)(x＋3)，与左边中的(x－3)2有公共的因式，可移项后提取公因式(x－3)后解题；(3)的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为(2x＋1＋2)2＝0再求解．
五、课堂小结
这节课的收获和体验：
1．能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；
2．用分解因式法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程的右边化为零；(2)将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；(3)令每一个因式为零，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
3．用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0.
4．用分解因式法解一元二次方程的注意点：1.必须将方程的右边化为零；2.方程两边不能同时除以含有未知数的代数式．
右化零 左分解
两因式 各求解
简记歌诀：
解一元二次方程的方法：
直接开平方法 配方法 公式法
因式分解法
小 结：
1、方程右边化为 ．
2、将方程左边分解成两个 的乘积．
3、至少 因式为零，得到两个一元一次方程．
4、两个 就是原方程的解 .
零
一次因式
有一个
一元一次方程的解
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
解下列方程
1、x2－3x－10=0 2、（x+3）（x－1）=5
解：原方程可变形为 解：原方程可变形为
（x－5）（x+2）=0 x2+2x－8=0
（x－2）（x+4）=0
x－5=0或x+2=0 x－2=0或x+4=0
∴ x1=5 ，x2=-2 ∴ x1=2 ，x2=-4
十字相乘法
例 （x+3）（x－1）=5
解：原方程可变形为
（x－2）（x+4）=0
x－2=0或x+4=0
∴ x1=2 ，x2=-4
解题步骤演示
x2+2x－8 =0
左边分解成两个一次因式 的乘积
至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程
两个一元一次方程的解就是原方程的解
方程右边化为零
思考题：
1、多项式：
（x+y）2-2（x2-y2）+（x-y）2能用完全平方公式分解吗？
2、在括号内补上一项，使多项式成为完全平方式：
x4+4x2+（ ）
3、用因式分解法解下列方程：
y2=3y
②（2a－3）2=（a－2）（3a－4）
③
④x2+7x+12=0
①（x－5 ）（x+2）=18
小结：
1、是一个二次三项式
2、有两个“项”平方，而且有这两“项”的积的两倍或负两倍
3、我们可以利用完全平方公式来进行因式分解
完全平方式具有：
17.2一元二次方程的解法
3.因式分解法(3)
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法？
（1）直接开平方法：
（2）配方法：
x2=a （a≥0）
（x+h）2=k （k≥0）
（3）公式法：
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖，小明，小亮都设这个数为x，根据题意得
小颖做得对吗？
小明做得对吗？
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖，小明，小亮都设这个数为x，根据题意得
小亮做得对吗？
分解因式法
当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解．这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法．
提示：
1．用分解因式法的条件是：方程左边易于分解，而右边等于零;
2．关键是熟练掌握因式分解的知识;
3．理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零．”
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式．
分解因式的方法有那些？
（1）提取公因式法：
（2）公式法：
（3）十字相乘法：
am+bm+cm=m（a+b+c）．
a2-b2=（a+b）（a-b）， a2+2ab+b2=（a+b）2．
x2+（a+b）x+ab
=
（x+a）（x+b）．
1． x2-4=0; 2． （x+1）2-25=0．
解：
（x+2）（x-2）=0，
∴x+2=0，或x-2=0．
∴x1=-2， x2=2．
淘金者
你能用分解因式法解下列方程吗？
解：
[（x+1）+5][（x+1）-5]=0，
∴x+6=0，或x-4=0．
∴x1=-6， x2=4．
这种解法是不是解这两个方程的最好方法？
你是否还有其它方法来解？
例3 解下列方程：
（1）x（x-2）+x-2=0；
分解因式法解一元二次方程的步骤是：
2． 将方程左边因式分解；
3． 根据“至少有一个因式为零”，转化为两个一元一次方程．
4． 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根．
1．化方程为一般形式；
（1）5x2=4x； （2）x-2=x（x-2）；
用分解因式法解方程：
利用十字相乘法：
x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）．
（3）x2+6x-7=0.
1．解下列方程
2．把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为r．
分解因式法解一元二次方程的步骤是：
1． 将方程左边因式分解，右边等于0；
2． 根据“至少有一个因式为零”，转化为两个一元一次方程．
3． 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根．
17.2一元二次方程的解法
3.因式分解法(4)
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1、方程左边不为零，右边化为 ．
2、将方程左边分解成两个 的乘积．
3、至少 一次因式为零，得到两个一元一次方程．
4、两个 就是原方程的解．
零
一次因式
有一个
一元一次方程的解
分解因式的方法有那些？
（1）提取公因式法：
（2）公式法：
（3）十字相乘法：
am+bm+cm=m（a+b+c）．
a2-b2=（a+b）（a-b），a2+2ab+b2=（a+b）2．
x2+（a+b）x+ab
=
（x+a）（x+b）．
例 （x+3）（x－1）=5
解：原方程可变形为：
（x－2）（x+4）=0
x－2=0或x+4=0
∴ x1=2 ，x2=-4
解题步骤演示
x2+2x－8 =0
左边分解成两个一次因式 的乘积
至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程
两个一元一次方程的解就是原方程的解
方程右边化为零
快速回答：下列各方程的根分别是多少？
AB=0?A=0或B＝0
争先赛
1．解下列方程：
解：设这个数为x，根据题意，得
∴x=0，或2x-7=0．
2x2=7x．
2x2-7x=0，
x（2x-7） =0，
先胜为快
2．一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数．
解下列方程
回味无穷
1．当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解．这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法．
2．分解因式法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握因式分解的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零．”
3．因式分解法解一元二次方程的步骤是：
（1）将方程左边因式分解，右边等于0；
（2）根据“至少有一个因式为零”，得到两个一元一次方程．
（3）两个一元一次方程的根就是原方程的根．
4．因式分解的方法，突出了转化的思想方法——“降次”，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程．
(共13张PPT)
●教学目标
1．了解什么是一元二次方程根的判别式；
2．知道一元二次方程根的判别式的应用．
●教学重点和难点
重点：如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况．
难点：根的判别式的变式应用．
一、课前预习
阅读课本内容，了解本节主要内容．
二、情景导入
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)只有当系数a、b、c满足条件b2－4ac____0时才有实数根．
观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：
①当b2－4ac＞0时，方程有______个____________的实数根；(填“相等”或“不相等”)
②当b2－4ac＝0时，方程有______个____________的实数根x1＝x2＝________；
③当b2－4ac＜0时，方程____________实数根．
三、新知探究
交流：在前面的学习中，你是否注意到：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根的条件是什么？何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？
前面，通过配方，得到了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式：
可见，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根的情况由b2-4ac来确定。我们把 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根的判别式，通常用符号“△”来表示，即△ =b2-4ac.
一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0),
当△ ＞0时，有两个不相等的实数根；
当△ = 0时，有两个相等的实数根；
当△ ＜0时，没有实数根。
反过来，有
当方程有两个不相等的实数根时， △ ＞0；
当方程有两个相等的实数根时， △ = 0；
当方程没有实数根时， △ ＜0。
四、点点对接
【例1】不解方程判别下列一元二次方程根的情况．
(1)x2－2x＋1＝0；
(2)3x2＋4x＋5＝0；
(3)－x2＋7x＋6＝0；
(4)3x2＋5x＝0.
分析：不需解方程，只要能把各方程中对应的代数式b2－4ac的值求出来，然后根据其性质就能对方程根的情况作出判断．
解：(1)b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝4－4＝0，∴此方程有两个相等的实根．
(2)b2－4ac＝42－4×3×5＝16－60＝－44＜0，∴此方程没有实数根．
(3)b2－4ac＝72－4×(－1)×6＝49＋24＝73＞0，∴此方程有两个不相等的实数根．
(4)b2－4ac＝52－4×3×0＝25＞0，∴此方程有两个不相等的实数根．
【例2】证明：不论m取何值，关于x的方程x2－(m＋2)x＋2m－1＝0总有两个不相等的实数根．
分析：本题只需证明：无论m取何值，△＝[－(m＋2)]2－4(2m－1)的值均大于0即可．
证明：△＝b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(2m－1)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4，
又∵无论m取何实数，(m－2)2≥0，
∴(m－2)2＋4＞0，
∴无论m取何值，方程x2－(m＋2)x＋2m－1＝0总有两个不相等的实数根．
【例3】关于x的一元二次方程mx2－(3m－1)x＋2m－1＝0，其根的判别式的值为1，求m的值及方程的根．
分析：由于方程mx2－(3m－1)x＋2m－1＝0是一元二次方程，故隐含条件m≠0，又根据判别式的值为1，可求出m的值，从而求出方程的根．
解：由题意得m≠0.
∵b2－4ac＝[－(3m－1)]2－4m(2m－1)＝9m2－6m＋1－8m2＋4m＝m2－2m＋1＝1，
∴m2－2m＝0，∴m1＝0(舍去)，m2＝2.
把m＝2代入原方程，得2x2－5x＋3＝0.
要点、考点聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况：
(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
(2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
(3)当Δ＜0时，方程无实数根.
2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这方面的知识主要用来求取值范围等问题.
1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式.
2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为
“方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.
(共12张PPT)
●教学目标
1．熟练掌握一元二次方程的根与系数关系．
2．灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题．
3．提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力．
●教学重点和难点
重点：一元二次方程的根与系数关系．
难点：对根与系数关系的理解和推导．
一、课前预习
阅读课本内容，了解本节主要内容．
二、情景导入
在前面17.3节中，我们学过，一元二次方程的每一个根都可由它的各项系数通过运算得到．进一步，你是否注意到每个方程中的两根之和(x1＋x2)，两根之积(x1x2)与该方程的各项系数之间有怎样的关系？填写下表，然后观察根与系数的关系：
根据你的观察，猜想：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根如果是x1、x2，那么x1＋x2＝________，x1x2＝________.
你能证明上面的猜想吗？
方程 x1 x2 x1＋x2 x1x2
x2＋2x－15＝0 ? ? ? ?
3x2－4x＋1＝0 ? ? ? ?
2x2－5x＋1＝0 ? ? ? ?
三、新知探究
如果方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根是 x1,x2
那么 x1+x2= , x1·x2=
一元二次方程的根与系数的关系
推论
如果方程 x2+px+q=0 的两个根是 x1,x2
那么 x1+x2=－p ,x1x2=q
这个关系通常称为韦达定理(Vieta's theorem)．
当一元二次方程的二次项系数为1时，它的标准形式为x2＋px＋q＝0，设它的两个根为x1、x2，这时韦达定理应是：x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
∴另一个根为x2＝3，m的值为－7.
∴方程的另一个根为3，m的值为－7.
当m＝－11时，方程为2x2＋11x＋23＝0，△＝112－4×2×23＜0，方程无实数根，所以m＝－11不合题意，舍去；
当m＝3时，方程为2x2－3x－5＝0，△＝(－3)2－4×2×(－5)＞0，方程有两个不相等的实根．∴m的值为3.
五、课堂小结
本节课应掌握：
1．韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系．
2．运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为0，△≥0；
3．韦达定理的应用常见题型：
①不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根；
②已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值；
③由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值；
④判断两个根的符号；
⑤不解方程求含有方程的两根的式子的值．
(共12张PPT)
17.5一元二次方程的应用
(第一课时)
教学目标
1．继续探索实际问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理，进一步培养分析问题和解决问题的能力．
2．会运用方程模型解决数字、增长率等问题应用题．
3．了解增设辅助未知数的方法，明确辅助未知数的作用．
4．通过观察，思考，交流，进一步提高逻辑思维和分析问题解决问题能力．
教学重点和难点
重点：会运用方程模型解决数字、增长率等问题应用题．
难点：建立数学模型，找等量关系，列方程．
一、课前预习
阅读课本内容，了解本节主要内容．
二、情景导入
1．列方程解应用题的步骤是什么？
2．解一元二次方程的方法有几种？通常如何进行选择？
3．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大？
三、新知探究
1．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．(利息税为利息的20%)
分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000＋2000x·80%；第二次存，本金就变为1000＋2000x·80%，其它依此类推．
归纳：通过解决以上问题，列一元二次方程解实际问题的基本步骤是什么？与以前学过的列方程解实际问题的步骤有何异同？
2．某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？
分析：设平均增长率是x，则二月份生产电视机的台数是多少？三月份生产电视机的台数是多少？第一季度生产电视机的总台数还可以怎样表示？等量关系是什么？
归纳：以上这几道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程(组)、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．
四、点点对接
【例1】某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？
分析：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x.因为一月份是1万台，那么二月份应是(1＋x)台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长，即(1＋x)＋(1＋x)x＝(1＋x)2，那么就很容易从第一季度总台数列出等式．
解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x，则1＋(1＋x)＋(1＋x)2＝3.31，去括号：1＋1＋x＋1＋2x＋x2＝3.31，整理，得：x2＋3x－0.31＝0，解得：x＝10%.答：(略)
【例2】已知三个连续奇数，其中最小的数的平方的3倍减去25和两个较大数的平方和相等，试求这三个数．
分析：设中间的奇数为x，可使计算过程简便，若设最大的为x，计算较烦琐，注意设未知数的技巧．
解：设中间的奇数为x，则最小的、最大的奇数分别为x－2，x＋2.根据题意，得x2＋(x＋2)2＝3(x－2)2－25，整理，得x2－16x－17＝0，解得x1＝－1，x2＝17.当x＝－1时，x－2＝－3，x＋2＝1；当x＝17时，x－2＝15，x＋2＝19.答：这三个奇数分别是－3，－1，1或15，17，19.
【例3】有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
分析：第一轮传染后患流感人数为(1＋x)，第二轮传染的人数为(1＋x)x，第二轮传染后患流感人数为1＋x＋(1＋x)x.
解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得：1＋x＋(1＋x)x＝64，解得x1＝7，x2＝－9(舍去)，则每轮传染中平均一个人传染了7个人．
(2)7×64＝448，则第三轮将又有448人被感染．
【例4】两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
分析：绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000元，乙种药品成本的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．
相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题．
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000(1－x)元，两年后甲种药品成本为5000(1－x)2元．依题意，得5000(1－x)2＝3000，解得：x1≈0.225，x2≈1.775(不合题意，舍去)，设乙种药品成本的平均下降率为y.则：6000(1－y)2＝3600，整理，得：(1－y)2＝0.6，解得：y≈0.225.答：两种药品成本的年平均下降率一样大．
五、课堂小结
1．列一元二次方程解应用题的一般步骤．
2．利用一元二次方程解决实际生活中的百分率问题．
列方程解应用题的一般步骤
1、审：弄清题意，明确已知、未知，分清
数量关系；
2、设：明确未知，设出未知数，列出有关
代数式；
3、找：找出表示题目全部含义的相等关系；
4、列：根据相等关系列出方程；
5、解：解这个方程；
6、验：检验方程的解是否符合题意；
7、答：写出答案；
(带单位)
(带单位)
(共17张PPT)
17.5一元二次方程应用第二课时
●教学目标
1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
2．会建立一元二次方程的数学模型解决市场经济问题应用题．
3．会解可化为一元二次方程的分式应用题．
●教学重点和难点
重点：会建立一元二次方程的数学模型解决面积及市场经济问题应用题．
难点：建立数学模型，找等量关系，列方程．
阅读课本内容，了解本节主要内容．
列一元一次方程方程解应用题的步骤？
①审题，
②找等量关系
③列方程，
④解方程，
⑤答。
二、情景导入
1．直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？
2．如图，有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成无盖纸盒．若纸盒的底面积是450cm，那么纸盒的高是多少？
三、新知探究
面积问题：
此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割成或组合成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积、体积公式列出方程．
几何图形问题一般从面积(或体积)等方面找等量关系，要熟练掌握有关的面积(或体积)公式．
如图①所示，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，如图②所示，地毯中央的矩形图案长6米，宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽．
分析：设花边的宽为x米，则地毯的长和宽分别表示为(2x＋6)米和(2x＋3)米，根据长方形的面积公式列方程．
四、点点对接
【例1】学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？
分析：问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图不难发现小道的占地面积与位置无关，设道路宽为xm，则两条小道的面积分别为32xm2和20xm2，其中重叠部分小正方形的面积为xm2.由此，得种植面积为(32×20－32x－20x＋x2)m2，根据题意，便可列出方程，32×20－32x－20x＋x2＝540.如果假想把道路平移到两边，如图所示，小道所占面积保持不变，这样可得种植场地的长为(32－x)m，宽为(20－x)m，这样可更方便地列出方程(32－x)(20－x)＝540.
解：设道路的宽为xm，由题意得(32－x)(20－x)＝540，解这个方程得x1＝2，x2＝50.因为试验田的宽为20m，所以x＝50不符合题意，舍去．
答：小道的宽为2m.
【例2】某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？
答：每张贺年卡应降价0.1元．
【例3】如图所示，在△ABC中∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ＝8cm2.
分析：设经过x秒钟，使S△PBQ＝8cm2，那么AP＝x，PB＝6－x，QB＝2x，那么根据三角形的面积公式便可得到一元二次方程的数学模型．
【例4】某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
(1)当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润；
(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式；
(3)商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？
解：(1)销售量：500－5×10＝450(kg)；销售利润：450×(55－40)＝450×15＝6750元
(2)y＝(x－40)[500－10(x－50)]＝－10x2＋1400x－40000
(3)由于水产品不超过10000÷40＝250kg，定价为x元，则(x－40)[500－10(x－50)]＝8000，解得：x1＝80，x2＝60，当x1＝80时，进货500－10(80－50)
＝200kg＜250kg，满足题意．当x2＝60时，进货500－10(60－50)＝400kg＞250kg(舍去)．
【例5】用12m长的一根铁丝围成长方形．
(1)如果长方形的面积为5m2，那么此时长方形的长是多少？宽是多少？如果面积是8m2呢？
(2)能否围成面积是10m2的长方形？为什么？
(3)能围成的长方形的最大面积是多少？
分析：长方形的面积等于长×宽，因而用含有未知数的代数式表示出长方形的长和宽，可以列出方程，当面积不确定时，只要所列方程有解且符合实际意义，这样的长方形就存在．
?(2)当面积为10m2时，x(6－x)＝10，即x2－6x＋10＝0，此时，b2－4ac＝36－40＝－4＜0，故此方程无实数根．所以这样的长方形不存在，即不能围成面积是10m2的长方形；
(3)设围成的长方形面积为k，则有x(6－x)＝k，即x2－6x＋k＝0，要方程有解，必须有Δ＝(－6)2－4k≥0，即k≤9.∴最大的k只能是9，即最大的面积是9m2，此时x＝3m，6－x＝3(m)，这时围成的图形是正方形．
五、课堂小结
本节课我们应掌握：
1．建立一元二次方程的数学模型并运用它解决面积问题应用题．
2．会建立一元二次方程的数学模型解决市场经济问题应用题．
3．会解可化为一元二次方程的分式应用题．
