(共27张PPT)
《18.1勾股定理》
●教学目标
1．掌握勾股定理．
2．学会利用勾股定理进行计算、证明与作图．
3在定理的证明中培养学生的拼图能力，通过问题的解决，提高学生的运算能力．
4．熟练运用勾股定理解决实际问题．
●教学重点和难点
重点：掌握勾股定理，学会利用勾股定理进行计算、证明；熟练运用勾股定理解决实际问题．
难点：勾股定理的证明．
一、课前预习
阅读课本内容，了解本节主要内容．
二、情景导入
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等．我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的．这个事实可以说明勾股定理的重大意义．尤其是在两千年前，是非常了不起的成就．
动手做：用尺规做直角三角形ABC，使 ∠C=90°， AC=3cm BC=4cm．
动手量：如果一个直角三角形的两直角边的长分别
是3cm和4cm，则它的斜边长是多少？
动手算： 3、4、5各自的平方有什么关系？
动脑猜：任意直角三角形两直角边的平方和都等于 斜边的平方吗？
（5cm）
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五．”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3，长的直角边(股)的长是4，那么斜边(弦)的长是5.
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长．
你是否发现32＋42与52的关系，52＋122和132的关系，即32＋42＝52，52＋122＝132，那么就有勾2＋股2＝弦2.
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
三、新知探究
1．新课背景知识复习
(1)三角形的三边关系
(2)问题：直角三角形的三边关系，除了满足一般关系外，还有另外的特殊关系吗？
2．勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方．
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，因此，我们称上述定理为勾股定理，国外称为毕达哥拉斯定理．
勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为ab，斜边为c，那么a?+b?=c?．
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90? ，AB=c，AC=b，BC=a，
?a2+b2=c2．
┏
如果直角三角形的两直角边用a、b表示，斜边用c表示，那么勾股定理可表示为a2＋b2＝c2.
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图2所示的正方形，
方法三：“总统”法．如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形
四、点点对接
【例1】已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长．
【例2】如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC上任一点，求证：BD2＋CD2＝2AD2.
证法一：过点A作AE⊥BC于E，则
在Rt△ADE中，AD2＝DE2＋AE2，
又∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴AE＝BE＝CE，
∵BD2＋CD2＝(BE－DE)2＋(CE＋DE)2＝BE2＋CE2＋2DE2＝2AE2＋2DE2＝2AD2，即BD2＋CD2＝2AD2.
证法二：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则DE∥AC，DF∥AB，
又∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴EB＝ED，FD＝FC＝AE，
在Rt△EBD和Rt△FDC中，BD2＝BE2＋DE2，CD2＝FD2＋FC2，
在Rt△AED中，DE2＋AE2＝AD2，
∴BD2＋CD2＝2AD2.
【例3】如图所示，在一个高BC为6米，长AC为10米，宽为2.5米的楼梯表面铺设地毯，若每平方米地毯的价格为50元，你能算出铺设地毯至少需要花费多少钱吗？
分析：所需地毯的长等于楼梯水平面上的长度与竖直面上的长度之和．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2＝AC2－BC2＝102－62＝64，所以AB＝8(米)，
根据楼梯表面的形状可知：铺设的地毯在楼梯的所有水平面上的长度之和等于AB，竖直面上的长度之和等于BC，
故地毯的总长度为6＋8＝14(米)．
所以铺设地毯的总面积为14×2.5＝35(平方米)，
铺设地毯至少需要花费35×50＝1750(元)．
【例4】有一个水池，水面是一个边长为6米的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1米，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度．
解：如图所示为芦苇在水池中的截面图，设芦苇的长为x米，即AD＝x米，那么水池深为AB＝(x－1)米，在Rt△ABD中，BD＝3，由勾股定理，得x2－(x－1)2＝32，整理得x2－x2＋2x－1＝9，所以2x＝10，所以x＝5.
答：芦苇的长度为5米．
【例5】为丰富少年儿童的业余文化生活，某社区要在如图所示的AB所在的直线上建一图书阅览室，该社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB＝250m，CA＝150m，DB＝100m.试问：阅览室E建在距A点多少米处，才能使它到C、D两所学校的距离相等？
解：设阅览室E点到A点的距离为xm，连接CE、DE，在Rt△EAC和Rt△EBD中，CE2＝AE2＋AC2＝x2＋1502，DE2＝EB2＋DB2＝(250－x)2＋1002，
∵点E到点C、D的距离相等，即EC＝ED，
∴EC2＝ED2，即x2＋1502＝(250－x)2＋1002，解得x＝100.
∴阅览室应建在距A点100m处．
分析：假设E点在AB上的位置已经确定，即CE＝DE，可设AE的长为xm，根据勾股定理列方程求出x的值，从而确定了E点的位置．
【例6】已知：如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2.求：四边形ABCD的面积．
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单．教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会．
五、课堂小结
本节课我们应掌握勾股定理，学会利用勾股定理进行计算、证明；熟练运用勾股定理解决实际问题．
我国早在三千多年就知道了这个定理，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．因此就把这一定理称为勾股定理．
辉煌发现
毕达哥拉斯
数学史话
《勾股圆方图》
?(a + b)(b + a) = ?c2 + 2(?ab)
?a2 + ab + ?b2 = ?c2 + ab
? a2 + b2 = c2
a
a
b
b
c
c
证法1：伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法．1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为“总统”证法．
∟
∟
∟
a
b
c
a
b
c
证法2：
s大正方形=（a+b）2=a2+2ab+b2
s大正方形=c2+4× ab=c2+2ab
∵s大正方形=s大正方形
∴a2+2ab+b2=c2+2ab
∴a2+b2=c2
证法3：
s大正方形=c2
s大正方形=4× ab+（b-a）2
=2ab+b2-2ab+b2
=a2+b2
∵s大正方形=s大正方形
∴c2=a2+b2
定理：经过证明被确认为正确的命题叫做定理．
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为ａ、ｂ，斜边为ｃ，那么a2+b2=c2．
一个长方形零件（如图），根据所给的尺寸(单位mm)，求两孔中心A、B之间的距离．
C
解： 过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则
∠ACB=90°，
AC=90-40=50（mm）
BC=160-40=120（mm）
由勾股定理有：
AB2=AC2+BC2=502+1202
=16900（mm2）
∵AB＞0，
∴AB=130（mm）
答：两孔中心A，B的距离为130mm．
应用知识之学海无涯
(共13张PPT)
《18．1勾股定理》
●教学目标
1．理解并会证明勾股定理的逆定理．
2．会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形．
3．知道什么叫勾股数，记住一些常见的勾股数．
4．通过勾股定理与其逆定理的比较，提高学生的辨析能力．
5．通过勾股定理及以前的知识的综合运用，提高综合运用知识的能力．
●教学重点和难点
重点：勾股定理的逆定理及其应用．
难点：勾股定理的逆定理及其应用．
一、课前预习
阅读课本内容，了解本节主要内容．
?二、情景导入
1．怎样判定一个三角形是等腰三角形？
2．怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想．
三、新知探究
1．证明：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
分析：(1)注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证；
(2)如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角；
(3)利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决；
(4)先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1＝c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证；
动手画好图形后剪下放到一起观察能否重合
2．勾股定理的逆定理的获得
勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
说明：
(1)勾股定理及其逆定理的区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理．
(2)判定直角三角形的方法：①角为90°②垂直③勾股定理的逆定理．
四、点点对接
【例1】判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形．
(1)在△ABC中，∠A＝18°，∠B＝72°；
(2)在△ABC中，AC＝8，AB＝17，BC＝15；
(3)在△ABC中，三边a、b、c满足a2－b2＝c2.
分析：(1)中已知两个角的度数，故可用“有两个角互余的三角形是直角三角形”来判断；(2)(3)中已知三角形三边(或三边关系)，故可用勾股定理的逆定理来判断．
解：(1)∵∠A＝18°，∠B＝72°，∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝90°.∴△ABC是直角三角形；
(2)∵AC2＝64，BC2＝225，AB2＝289，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；
(3)∵a2－b2＝c2，∴b2＋c2＝a2，∴△ABC是直角三角形．
【例2】已知a、b、c为△ABC的三边，且满足(a－7)2＋(b－24)2＋(c－25)2＝0.试判断△ABC的形状．
分析：可先确定a、b、c的值，然后再结合勾股定理的逆定理进行判断．
解：由平方数的非负性，得a－7＝0，b－24＝0，c－25＝0，∴a＝7，b＝24，c＝25.
又∵a2＝72＝49，b2＝242＝576，c2＝252＝625，
∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形．
分析：欲证明AE⊥EF，只需证明∠AEF＝90°即可．故可考虑用勾股定理的逆定理来判定△AEF是直角三角形．
解：如图，连接AF.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠D＝90°，设CF＝1，则CD＝4，∴CE＝BE＝2，AB＝AD＝4，DF＝3，在Rt△CEF中，EF2＝CF2＋CE2＝12＋22＝5，同理AE2＝20，AF2＝25，∴EF2＋AE2＝AF2，∴△AEF是直角三角形，且∠AEF＝90°，∴AE⊥EF.
【例4】如图，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m.求图中阴影部分的面积．
分析：如图中阴影部分的面积是一个不规则的图形，因此我们首先应考虑如何转化为规则图形的和差，这是方向，同学们记住，实际上S阴＝S△ABC－S△ACD，现在只要明确怎样计算S△ABC和S△ACD了．
点拨：这题应总结出两种思想方法：一是求不规则图形的面积方法“将不规则图化成规则”，二是求面积中，要注意其特殊性．
五、课堂小结
1．逆定理应用时易出现的错误是分不清哪一条边作斜边(最大边)．
2．判定是否为直角三角形的一种方法：结合勾股定理和代数式、方程综合运用．
