(共55张PPT)
●教学目标
1．了解多边形及其相关概念．
2．经历探索并归纳多边形内角和定理的过程，提高运用知识的能力．
3．掌握多边形内角和定理，并能熟练运用．
4．了解多边形的外角和定理的推导过程，并能熟练运用多边形的外角和定理．
5．理解并掌握四边形的不稳定性．
●教学重点和难点
重点：多边形内角和定理，多边形的外角和定理，四边形的不稳定性．
难点：多边形内角和定理及多边形的外角和定理的推导．
一、课前预习
阅读课本内容，了解本节主要内容．
二、情景导入
1．你能从下图中找出几个由一些线段围成的图形吗？
2．三角形的内角和等于180°.四边形，五边形，六边形，……n边形的内角和等于多少？
3．我们已经知道三角形的外角和为360°，那么四边形的外角和为多少度呢？
4．三角形具有稳定性，那么四边形呢？用4根木条钉成如图的木框，随意扭转四边形的边，它的形状会发生变化吗？
三、新知探究
1．在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形．
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形．如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫作n边形．多边形相邻两边组成的角叫作它的内角．
多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形的一个外角．如图，∠EDF是五方形ABCDE的一个外角．
在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和．
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线．如图，AC、AD是五边形ABCDE的两条对角线．
特别提醒：n边形(n≥3)从一个顶点可引出(n－3)条对角线，把n边形分割成(n－2)个三角形．
2．如图，画出任意一个四边形的一条对角线，都能将这个四边形分为两个三角形．这样，任意一个四边形的内角和，都等于两个三角形的内角和，即360°.
从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗？观察图，请填空：
从五边形的一个顶点出发，可以引____条对角线，它们将五边形分为____个三角形，五边形的内角和等于180°×____.
从六边形的一个顶点出发，可以引____条对角线，它们将六边形分为____个三角形，六边形的内角和等于180°×_____.
一般地，怎样求n边形的内角和呢？请填空：
从n边形的一个顶点出发，可以引________条对角线，它们将n边形分为________个三角形，n边形的内角和等于180°×________.
总结：过n边形的一个顶点可以做(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形，每个三角形内角和180°.
所以n边形内角和(n－2)×180°.
把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形内角和公式吗？
方法2：如图：过n边形内任意一点与n边形各顶点连接，可得n个三角形，其内角和n×180°.再减去以O为顶点的周角．
即得n边形内角和n·180°－360°.
得出了多边形内角和公式：n边形内角和等于(n－2)·180°.
如图，在四边形ABCD的每一个顶点处取一个外角，如∠1、∠2、∠3、∠4.
∵∠1＋∠DAB＝180°，∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠ADC＝180°，又∠DAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠ADC＝360°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝4×180°－360°＝360°，∴四边形的外角和为360°.
探究：三角形的外角和是360°，四边形的外角和是360°，n边形(n为不小于3的任意整数)的外角和都是360°吗？n边形的外角和与边数有关系吗？
类似于求四边形外角和的思路，在n边形的每一个顶点处取一个外角，其中每一个外角与它相邻的内角之和为180°.因此，这n个外角与跟它相邻的内角之和加起来是n·180°，将这个总和减去n边形的内角和(n－2)·180°所得的差即为n边形的外角和．
n·180°－(n－2)·180°
＝[n－(n－2)]·180°
＝2×180°
＝360°.
由此得出：任意多边形的外角和等于360°.
4．我们发现，四边形的边长不变，但它的形状改变了，这说明四边形具有不稳定性．
在实际生活中，我们经常利用四边形的不稳定性，例如图(a)中的电动伸缩门，图(b)中的升降器，有时又要克服四边形的不稳定性，例如在图(c)中的栅栏两横梁之间加钉斜木条，构成三角形，这是为了利用三角形的稳定性．
四、点点对接
【例1】若一个多边形的边数增加一条，其内角和变为1440°，求这个多边形的边数．
分析：注意对多边形内角和公式(n－2)·180°中n的理解，当n边形边数增加一条后，多边形变成了(n＋1)边形，故公式中的n相应地变成了n＋1.
解：设这个多边形的边数为n，增加一边后边数变为n＋1，由内角和公式，得(n＋1－2)·180°＝1440°，解得n＝9.即这个多边形的边数为9.
【例2】若一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为2210°，则这个多边形是几边形？除去的这个角等于多少度？
分析：由多边形内角和公式(n－2)·180°可知，多边形的内角和能被180整除，而多边形的每一个内角又都小于180°，2210°最少加上多少才能被180整除呢？易知除去的这个内角为130°，进而可求其边数．
解：设这个多边形的边数为n，除去的这个角为x°.依题意，得(n－2)·180°＝2210°＋x°.即(n－2)·180°＝12×180°＋(50°＋x°)，∵等式右边是180°的整数倍．又∵0°＜x°＜180°，∴x°＝130°，此时n＝15.∴这个多边形是十五边形，除去的这个角等于130°.
【例3】一个多边形的内角和与外角和的总和是2520°，试求这个多边形的边数．
分析：由多边形内角和为(n－2)·180°，外角和为360°，内、外角总和为2520°，则可由此列方程求解．
解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得(n－2)·180°＋360°＝2520°，解得n＝14.因此，这个多边形是十四边形．
分析：根据外角与其相邻内角互补及已知条件，可以求得它的每一个外角都为30°，每一个内角都为150°，再利用外角相等及外角和为360°可求得边数，进而可确定是几边形．
【例5】如图所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数．
分析：已知图形为不规则的图形，我们可尝试将这7个角的和转化为一个多边形的内角和求解，如果连接BF，则可得到一个五边形，借助五边形的内角和可解决问题．
解：如图所示，连接BF.则∠A＋∠G＋∠1＝∠2＋∠3＋∠4，∵∠1＝∠2，∴∠A＋∠G＝∠3＋∠4，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝∠D＋∠C＋∠CBF＋∠BFE＋∠E＝(5－2)×180°＝540°.
【例6】如图，小陈从点O出发，前进5m后向右转20°，再前进5m后又向右转20°，……，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时，一共走了( )
A．60m B．100m C．90m D．120m
分析：小陈的行走路线围成的图形是一个正多边形，它的每条边长都是5m，每个外角都是20°，所以围成的正多边形的边数是360°÷20°＝18，故小陈行走的总路程为5×18＝90(m)．
解：C.
五、课堂小结
本节课我们应掌握：
1．多边形内角和定理，并能熟练运用．
2．多边形的外角和定理．
3．四边形的不稳定性．
三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形（但我们习惯称为三角形）．
你能说出三角形的定义吗？
三角形是由三条不在同一条直线上的线段
首尾顺次相接组成的封闭图形
既然我们已经知道什么叫三角形，你能根据三角形
的定义，说出什么叫四边形吗？
四边形是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形，记为四边形ABCD
五边形，它是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形，记为五边形ABCDE
一般地，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
那么多边形的定义呢？
下面所示的图形也是多边形，但不在我们现在研究的范围内 .
一个多边形，如果把它任意一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形.
有什么不同？
凹多边形
凸多边形
注意：我们主要研究的都是凸多边形
1.如图所示，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角.
3.∠CBE和∠ABF都是与∠ABC相邻的外角， 两者互为对顶角，四边形有八个外角.
既然三角形有三个内角、三条边，六个外角，那么四边形有几个内角？几条边？几个外角呢？
2.AB、BC、CD、DA是四边形ABCD的四条边.
那么五边形有几个内角？几条边？几个外角呢？
那么六边形有几个内角？几条边？几个外角呢？
那么n边形有几个内角？几条边？几个外角呢？
六边形有6个内角,6条边,12个外角
五边形有5个内角，5条边,10个外角
n边形有n个内角，n条边，2n个外角
请大家细心地填一填，多边形的内角，边，外角三者的关系表，你能发现什么规律？
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
n
n
6
8
10
12
14
2n
连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
线段AC是四边形ABCD的一条对角线；
多边形的对角线用虚线表示.
请大家思考：五边形ABCDE共有几条对角线呢？
五边形ABCDE共有5条对角线.
请大家思考：六边形ABCDEF共有几条对角线呢？
六边形ABCDEF共有9条对角线.
有没有什么
规律呢？
请问：四边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？
请问：五边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？
请问：六边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？
请问：N边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？
……
1
2
3
N-3
我们已经知道一个三角形的内角和等于180°，那么四边形的内角和等于多少呢？五边形、六边形呢？由此，n边形的内角和等于多少呢？
我们学习数学的
基本思想什么？
化未知为已知
那么我们能不能利用三角形的内角和，来求出四边形的内角和，以及五边形、六边形，n边形的内角和？
请你认真地想一想，你能通过怎样的方法把多边形转化为三角形？
3
4
5
n-2
540 °
720 °
900 °
180° (n-2)
1.从一个顶点出发
请你认真地想一想，你能通过怎样的方法把多边形转化为三角形？
2
3
4
5
6
n-1
180 °
36 0 °
540 °
720 °
900 °
180 ° (n-1)
-180 °
2.从边上的一个点出发
请你认真地想一想，你能通过怎样的方法把多边形转化为三角形？
3
4
5
6
7
n
180 °
360 °
540 °
720 °
900 °
180 ° n-360°
3.从多边形内一个点出发
请你认真地想一想，你能通过怎样的方法把多边形转化为三角形？
180 °n- 36 0 °= 180 °n- 2X180 °= 180 °(n-2)
4.从多边形外一个点出发
由此，我们就可以得出 :
n边形的内角和为_________________．
(n-2) ·180 °
它有什么作用呢?
1.知道多边形的边数,可以求出多边形的度数.
2.知道多边形的度数,可以求出多边形的边数.
练习1 已知多边形的内角和的度数为900°，则这个多边形的边数为________.
解:（n－2）×180° = 900°
（n－2）= 900° /180°
（n－2） = 5
n= 5 +2
n=7
7
哇!这么简单呀!
练习2 已知在一个十边形中，九个内角的和的度数是1290°，求这个十边形的另一个内角的度数.
解: （10－2）×180° =1440 °,
则十边形的另一个内角的度数为
1440 °- 1290° =150 °.
先求出十边形的内角和,再减
去1290°,就可以得出.
前面我们学习了三角形的外角和是360 ° ，当时是怎样研究出来的？
A
B
C
D
E
F
1.先把三角形的三个外角和三个内角这六个角
的和求出来，刚好是三个平角。
2.再用这六个角的和减去三个内角的和，剩下
的就是三角形的外角和了！
那么你能研究出四边形的外角和吗？
整体思路：1.先求4个外角+4个内角的和；
2.再减去4个内角的和
容易看出，4个外角+4个内角=4个平角，
而4个内角的和是360 ° ，
那么四边形的外角和就是4X 180°-360°= 360°.
那么五边形，六边形，n边形的外角和吗？
五边形的外角和就是5X 180°-540°= 360 °
六边形的外角和就是6X 180°-720°= 360°
。。。。。。
n边形的外角和就是nX 180°- (n-2)X 180°
= (n-n+2)X 180° = 360 °
任意多边形的外角和都为360 °
三角形如果三条边都相等，三个角也都相等，那么这样的三角形就叫做正三角形.
多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形.如正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等等 .
正三角形
正四边形
正五边形
正六边形
正八边形
(或正三边形)
(或正四边形)
因为正多边形的每个角相等,所以知道
正多边形的边数,就可以求出每一个内角的度数.
（n－2）×180°/ n
例 求正六边形每个内角的度数．
解:正六边形的内角和为
（n－2）×180°
=（6－2）×180°
=720°,
因而每个内角的度数为720°÷6=120 °.
分析: n边形的内角和公式为(n-2) · 180 °,
现在知道这个多边形的边数是，代入这个公式
既可求出.
老师,可以用计算器吗?
练习3 正五边形的每一个内角等于_____,外角等于___.
解: （n－2）×180°/ n
= （5－2）×180°/5
=540°/5
=108°
练习4 如果一个正多边形的一个内角等于120°,则这个多边形的边数是_____
解: 120°n=（n－2）×180°
120°n=n×180°-360 °
60°n =360 °
n =6
1.如果一个正多边形的一个内角等于150°,则这个多边形的边数是_____.
A.12 B.9 C. 8 D.7
A
3.如果一个多边形的边数增加1,则这个多边形的内角和_________.
增加180 °
2.如果一个多边形的每一个外角等于30°,则这个多边形的边数是_____.
12
4. 五边形中,前四个角的比是1:2:3:4,第五个角比最小角多100 °,则这个五边形的内角分别为_____
解：设五边形中前四个角的度数分别是x,2x,3x,4x,则第五个角度数是x+ 100 °.
X+2x+3x+4x+x+ 100 °= （5－2）×180°
11X +100 °= 540°
11X = 440°
X = 40°
则这个五边形的内角分别为40, 80°, 120°, 160°, 140°.
5 、正五边形的每一个外角等于___.每一个内角等于_____,
72°
144°
6 、 如果一个正多边形的一个内角等于120°,则这个多边形的边数是_____
6
思考一：一个三角形中，它的内角最多可以有几个锐角？ 为什么？
思考二：一个四边形中，它的内角最多可以有几个锐角？ 为什么？
思考三：一个多边形中，它的内角最多可以有几个锐角？为什么？
一个多边形中，它的外角最多可以有几个钝角？
3
今天你学到了什么知识？你能用自己的话说说吗？
(共16张PPT)
●教学目标
1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质，并两条平行线之间的距离的定义．
2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．
3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．
●教学重点和难点
重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．
难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．
一、课前预习
阅读课本内容，了解本节主要内容．
二、情景导入
我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的图象？
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
读作：平行四边形ABCD
记作： ABCD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵四边形ABCD是平行四边形
三、新知探究
1．你能总结出平行四边形的定义吗？
2．【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？
(1)由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角；
根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？
?(2)猜想平行四边形的对边相等、对角相等．
下面证明这个结论的正确性．
已知：如图ABCD，
求证：AB＝CD，CB＝AD，
∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD.
分析：作?ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．(作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．)
证明：连接AC，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.又AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(ASA)．∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D.又∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD.
由此得到平行四边形的性质定理：
性质1：平行四边形的对边相等．性质2：平行四边形的对角相等．
3．如图，直线l1∥直线l2，AB、CD是夹在直线l1、l2之间的两条平行线段，由上面性质1，可得如下结论：
夹在两条平行线之间的平行线段相等．
由上述结论可知：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，因此，可以用点到直线的距离来定义两条平行线间的距离．
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离，如图中，线段AE就是直线l1和直线l2之间的距离．
两条平行线之间的距离处处相等．如图中，AE＝CF.
四、点点对接
【例1】?ABCD的周长为30cm，两邻边的长度之比为2∶3(AB＜BC)，求它的各边的长．
分析：依题意，设AB＝2xcm，则BC＝3xcm.根据平行四边形的对边相等，得AD＝3xcm，CD＝2xcm.根据等量关系可列方程为2x＋3x＋2x＋3x＝30，解出x值后即可算出各边长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD.又∵两邻边的长度之比为2∶3(AB＜BC)，∴可设AB＝2xcm，则BC＝3xcm.依题意可列方程2x＋3x＋2x＋3x＝30.解得x＝3，∴2x＝2×3＝6，3x＝3×3＝9.∴它的各边的长分别为6cm、9cm、6cm、9cm.
【例2】如图，在?ABCD中，已知∠A＋∠C＝120°，求平行四边形各角的度数．
分析：由平行四边形的对角相等，得∠A＝∠C，结合已知条件∠A＋∠C＝120°，即可求出∠A和∠C的度数；再根据平行线的性质，进而求出∠B、∠D的度数．
解：在?ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D.
又∵∠A＋∠C＝120°，∴∠A＝∠C＝60°，
∵AB∥CD，∴∠D＝180°－∠A＝180°－60°＝120°.
∴∠B＝∠D＝120°.
【例3】如图甲所示，在?ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，且分别交CD于点E、F，AE、BF相交于点M.
(1)求证：AE⊥BF；
(2)判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明．
分析：(1)要证AE⊥BF，只需证∠AMB＝90°.在△ABM中，利用平行四边形邻角互补及角平分线的定义证明∠MAB＋∠MBA＝90°即可，此为证法1；由条件及结论“平分、垂直”联想到构造等腰三角形，再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可证明，此为证法2；
(2)DF和CE均不在独立的几何图形中，利用EF将其转化为证明DE＝CF，即可利用平行四边形和三角形的有关知识来证明．
解：(1)证法1：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°，
∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴2∠EAB＋2∠FBA＝180°，∴∠EAB＋∠FBA＝90°.
∴∠AMB＝90°，即AE⊥BF.
证法2：如图乙所示，延长BC、AE交于点P.
在?ABCD中，AD∥BC，∴∠DAP＝∠P，
∵AE平分∠DAB，∴∠DAP＝∠PAB，
∴∠PAB＝∠P，∴BA＝BP，
∵BF平分∠ABC，∴BM⊥AP，即AE⊥BF；
(2)解：DF＝CE.理由如下：
在?ABCD中，CD∥AB，∴∠DEA＝∠EAB.
又∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB.
∴∠DEA＝∠DAE，∴DE＝DA.
同理可得CF＝CB.∵AD＝BC，∴DE＝CF，
∴DE－EF＝CF－EF，即DF＝CE.
【例4】已知：如图，?ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠B＝45°，求直线AD和直线BC之间的距离，直线AB和直线DC之间的距离．
五、课堂小结
本节课我们应掌握：
1.平行四边形的定义；
2.平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用；
3.两条平行线之间的距离的定义．
(共26张PPT)
●教学目标
1．理解并掌握平行四边形对角线互相平分的性质．
2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．
3．培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．
●教学重点和难点
重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．
难点：综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．
一、课前预习
阅读课本内容，了解本节主要内容．
二、情景导入
复习提问：
(1)什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：
(2)平行四边形的性质：
①具有一般四边形的性质(内角和是360°)．
②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．边：平行四边形的对边相等．
三、新知探究
?请学生在纸上画两个全等的ABCD和EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它们分别交于点O.把这两个平行四边形落在一起，在点O处钉一个图钉，将ABCD绕点O旋转，观察它还和EFGH重合吗？你能从图中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？
由此得到平行四边形的性质定理：
平行四边形的对角线互相平分．
四、点点对接
【例1】已知：如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F.
求证：OE＝OF，AE＝CF，BE＝DF.
证明：在?ABCD中，AB∥CD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
又OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，
∴△AOE≌△COF(ASA)．
∴OE＝OF，AE＝CF(全等三角形对应边相等)．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD(平行四边形对边相等)．
∴AB－AE＝CD－CF.即BE＝FD.
※【引申】若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交(图c和图d)，例1的结论是否成立，说明你的理由．
【例2】已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积．
分析：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积＝底×高(高为此底上的高)，可求得ABCD的面积．(平行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了．)
【例3】如图，?ABCD的对角线相交于点O，且AB≠BC，过点O作OE⊥AC交BC于点E，如果△ABE的周长为b，则?ABCD的周长是( )
A．b B．1.5b C．2b D．3b
分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD，OA＝OC.∵OE⊥AC，∴AE＝CE.∵AB＋BE＋AE＝b，即AB＋BE＋CE＝b，∴AB＋BC＝b.∴?ABCD的周长为2(AB＋BC)＝2b.
解：C.
五、课堂小结
本节课我们应掌握：
1．平行四边形对角线互相平分的性质．
2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．
你能证明 它吗?
你知道平行四边形的对角线有什么性质吗？
猜一猜
O
平行四边形的对角线互相平分.
O
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AD∥BC.
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4.
∴ △AOD≌△COB（ASA）.
∴ OA=OC，OB=OD.
3
2
4
1
平行四边形的性质3：
几何语言：
O
平行四边形对角线互相平分.
例 如图， ABCD中，对角线AC、BD相交于点O， AB⊥AC， AB=3，AD=5，求BD的长.
B
C
D
A
O
解：
∴△ABC是直角三角形.
又∵AB⊥AC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD=5.
∴
∴
∴BD=2BO=2
说一说,练一练
1、如图，在 ABCD中，BC=10cm, AC=8cm, BD=14cm,
（1）△ AOD的周长是多少？为什么？
（2）△ABC与△ DBC的周长哪个长？长多少？
2. 若平行四边形的一边长为５,则它的两条对角线长可以是( )
Ａ. １２和２ Ｂ. ３和４
Ｃ. ４和６ Ｄ. ４和８
O
D
B
A
C
D
1.如图，在 ABCD中，对角线AC,BD交于点O，AC＝10，BD=8,则AD的取值范围是 _________.
1＜AD＜9
填一填
O
D
B
A
C
2.如图,在 ABCD中, 对角线AC﹑BD相交于点O,且AC+BD=20, △AOB的周长等于15,
则CD=______.
5
一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动， 到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：
老大
老二
老三
老四
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
O
●
老大
老四
老三
老二
M
故四人的土地面积相同，老人分地合理.
小明家有一块平行四边形菜地，菜地中间有一口井，为了浇水的方便，小明建议妈妈经过水井修一条路，可以把菜地分成面积相等的两部分. 同学们，你知道聪明的小明是怎么帮妈妈分的吗？
O
找一找
在这些图形中面积相等的图形有哪些？
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分
1、 通过本节课的学习，你有什么收获？
2、 平行四边形的性质共有哪些？
(共30张PPT)
第３课时
●教学目标
1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．
2．会运用平行四边形的判定定理1，2，3解决问题．
●教学重点和难点
重点：平行四边形的判定定理1，2，3.
难点：运用平行四边形的判定定理1，2，3解决问题．
一、课前预习
阅读课本内容，了解本节主要内容．
二、情景导入
1．欣赏图片、提出问题．
展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？
2．小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？
利用手中的学具——硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：
(1)你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？(2)你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？(3)你能说出你的做法及其道理吗？(4)能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？
三、新知探究
1．思考
将线段AB按图①中所给的方向和距离，平移成线段A′B′，顺次连接点A、B、B′、A′，构成一个一组对边平行且相等的四边形ABB′A′，你能说出它一定是平行四边形吗？为什么？
如图①，把线段AB平移到某一位置，得到线段DC，则可知AB∥DC，且AB＝DC，由于点A、B的对应点分别是点D、C，连接AD、BC，由平移的性质：两组对应点的连线平行且相等，即AD∥BC，由平行四边形的定义可知四边形ABCD是平行四边形．
实际上，上述问题抽象出来就是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？如图②，已知AB∥DC，且AB＝DC，如果连接AC，也可证明四边形ABCD是平行四边形，请你完成这个证明过程．
由此得到平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
2．如图③，用两支同样长的铅笔和两支同样长的钢笔能摆成一个平行四边形的形状吗？
把上述问题抽象出来就是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形吗？
下面我们来证明这个结论．
如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，连接AC.∵AB＝CD，BC＝DA，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA，∴∠1＝∠2，则AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．
由此得到平行四边形的判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
3.过点O画两条线段AC、BD，使得OA＝OC，OB＝OD，连接AB、BC、CD、DA，则四边形ABCD是平行四边形，如图，你能说出这样画出的四边形ABCD一定是平行四边形的道理吗？
如图，在四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，又∵∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD，∴AB＝CD，∠ABO＝∠CDO，从而∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．
由此得到平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
四、点点对接
【例1】已知：如图，在?ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE＝DF.
分析：证明BE＝DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明四边形BEDF是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单．
【例2】如图所示，在?ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AF＝CE.求证：DE＝BF.
分析：由已知联想到连接DB，与AC相交于点O，则有OD＝OB，OE＝OF；再利用判定定理2证明四边形EBFD是平行四边形，进而结合平行四边形的性质证明OE＝OF.
证明：如图，连接BD，交AC于点O，连接DF、BE.∵四边形ABCD是平行四边形，且点O为对角线的交点，∴OD＝OB，AO＝CO，又∵AF＝EC，∴AF－AO＝CE－CO，∴OF＝OE，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE＝BF.
【例3】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
【例4】如图，在?ABCD中，分别过各顶点向对角线作垂线BE、CH、DG、AF，垂足为E、H、G、F.
求证：四边形EFGH为平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝CB.∴△ABD≌△CDB.又AF⊥BD于F，CH⊥BD于H，∴AF＝CH.同理BE＝DG.在Rt△AFB和Rt△CHD中，∵AF＝CH，AB＝CD，∴△AFB≌△CHD(HL)，∴BF＝DH，同理可证△AEB≌△CGD，∴AE＝CG，∵OB＝OD，BF＝DH，∴OF＝OH.同理OE＝OG.∴四边形EFGH为平行四边形．
解：有6个平行四边形，分别是ABOF，ABCO，BCDO，CDEO，DEFO，EFAO.
理由是：因为正△ABO≌正△AOF，所以AB＝BO，OF＝FA.根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形．其它五个同理．
【例5】小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形．你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由．
五、课堂小结
本节课我们应掌握：平行四边形的判定定理1，2，3及其运用．
B
A
将线段AB沿着所给的方向和距离,
平移到A′B′ ,构成四边形A′ABB′。
动动脑
想一想：这个四边形具备了怎样的特征？
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
你能用一句话概括你的发现吗？
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
写出:已知,求证,证明.
已知:如图,在四边形ABCD中，AB=CD,AB∥CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
已知:如图,在四边形ABCD中，AB=CD,AB∥CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
B
C
A
D
证明：
连接DB,
∵ AB∥CD，
∴∠CDB= ∠ABD.
在△CDB与△ABD中,
CD=AB,（已知）
∠CDB= ∠ABD,（已证）
DB=BD,（公共边）
∴△CDB≌△ABD.（SAS）
∴ ∠ADB= ∠CBD,
∴ AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边行.
B
C
A
D
定理1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
平行四边形的对边相等.
逆命题两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
已知：四边形ABCD, AB=CD，AD=BC，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明:
∵ 在△ABC与△CDA中,
AB=CD,（已知）
AD=BC,（已知）
AC=CA,（公共边）
∴△ABC≌△CDA.（SSS）
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∴ AB∥CD，AD∥BC .
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
D
A
C
2
1
3
4
连接AC，
平行四边形的对边相等.
B
D
A
C
定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
已知：如图，四边形ABCD, AC、BD交于点O且OA=OC，OB=OD
求证：四边形ABCD是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
证明：∵在△AOB与△COD中,
AO = CO,（已知）
∠1 = ∠2,（已知）
BO = DO,（已知）
∴△AOB≌△COD.（SAS）
∴∠3=∠4.
∴AB∥CD.
同理AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
你还能用其他的方法来证明吗?
定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
例1 已知:如图，点E、F是平行四边形对角线AB上的两点，且AE=CF.
求证：四边形DEBF是平行四边形.
E
F
O
证明：连接BD交AC于点O,
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO.
又∵AE=CF，
∴OE=OF。
∴四边形DEBF是平行四边形.
判定 文字语言 图形语言 符号语言
定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
∵AB∥CD,AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
定理１ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD, AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形
定理２ 两组对边分别相等的四边形是平等四边形
∵AB=CD,AD= BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形
定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
∵OA=OC,OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形
(共18张PPT)
第３课时
●教学目标
1．理解并掌握平行线等分线段定理及推论．
2．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质，并能熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
3．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．
●教学重点和难点
重点：掌握和运用三角形中位线的性质．
难点：三角形中位线性质的证明(辅助线的添加方法)．
一、课前预习
阅读课本内容，了解本节主要内容．
二、情景导入
2．动手操作：剪一刀，将一张三角形纸片剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片
(1)如果要求剪得的两张纸片能拼成平行的四边形，剪痕的位置有什么要求？
(2)要把所剪得的两个图形拼成一个平行四边形，可将其中的三角形做怎样的图形变换？
三、新知探究
1．平行线等分线段定理及推论：
已知，直线l1、l2、l3互相平行，直线AC和直线A1C1分别交直线l1、l2、l3于点A、B、C和点A1、B1、C1，且AB＝BC.
求证：A1B1＝B1C1.
证明：过点B1作EF∥AC，分别交直线l1、l3于点E、F.
∴四边形ABB1E，BCFB1都是平行四边形，∴EB1＝AB，B1F＝BC，∵AB＝BC，∴EB1＝B1F，又∵∠A1EB1＝∠B1FC1，∠A1B1E＝∠C1B1F，∴△A1B1E≌△C1B1F，∴A1B1＝B1C1.
由此得到如下结论：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
作为上述结论的特例，应有如下推论：
经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边．
在图中，直线A1C1向左平移，使得点A1和点A重合，则可得到上面推论．
2．三角形的中位线的概念：
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线．
分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．
3．如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE＝BC.
(也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同)
【思考】：
(1)想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？
(2)三角形的中位线与第三边有怎样的关系？
[答：(1)一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线；(2)三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行于与第三边，并且等于第三边的一半．]
三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于与第三边，且等于第三边的一半．
四、点点对接
【例1】已知：如图(1)，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
分析：因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．
此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．
分析：DE与EF没有直接的联系，故要证明DE＝EF，必须先找到两者之间的联系．由点D、E、F分别是MB、BC、CN的中点，想到三角形的中位线，故连接BN、CM，证明BN＝CM即可．
【例3】如图，已知△ABC是锐角三角形，分别以AB、AC为边向外侧作两个等边三角形ABM和CAN.点D、E、F分别是MB、BC、CN的中点，连接DE、FE.
求证：DE＝EF.
点拨：题目中只要有中点这个条件，通常就要考虑三角形的中线、中位线，若中点较多时，往往考虑三角形的中位线，通过延长中位线法解决问题．
五、课堂小结
本节课我们应掌握：
1.平行线等分线段定理及推论；
2.三角形中位线的性质并能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
(共38张PPT)
三菱越野汽车欣赏
菱 形 （1）
●教学目标
1．理解并掌握菱形的性质；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．
2．理解并掌握菱形的判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算．
3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．
4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．
●教学重点和难点
重点：菱形的性质及判定．
难点：菱形的性质及判定的综合应用．
一、课前预习
阅读课本内容，了解本节主要内容．
二、情景导入
1．(复习)什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？
2．【问题】要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？
三、新知探究
1．我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．
菱形定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
2．由菱形的定义可以知道菱形的性质定理1：
菱形的四条边都相等．
?3．菱形的性质定理2：
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、DB相交于点O，对角线AC⊥DB吗？你的理由是什么？
∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴点D在线段AC的垂直平分线上，又点O为线段AC的中点，∴直线DO(即直线DB)是线段AC的垂直平分线，∴AC⊥DB.
由此得到菱形的性质：菱形的对角线互相垂直．
4．菱形的判定定理1：
如图，用4支长度相等的铅笔能摆成菱形吗？
把上述问题抽象出来就是：四条边都相等的四边形是菱形吗？
下面我们来证明这个结论．?
如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∵AD＝BC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．
由此得到菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形．
5．菱形的判定定理2：
过点O画两条互相垂直的线段AC、BD，使得OA＝OC，OB＝OD，连接AB、BC、CD、DA.则四边形ABCD是菱形，如图．
过点O画两条互相垂直的线段AC、BD，使得OA＝OC，OB＝OD，连接AB、BC、CD、DA.则四边形ABCD是菱形，如图．
我们来进行证明．
在?ABCD中，AC⊥BD，OA＝OC，∴BD是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，同理AB＝AC，BC＝CD，AB＝AD，∴?ABCD是菱形．
由此得到菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
四、点点对接?
【例1】如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗？试说明理由．
分析：由菱形的定义去判定图形，由DE∥AC，DF∥BC知四边形DECF是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．
解：四边形DECF是菱形，理由如下：∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形，∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2，∵DF∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴CF＝DF，∴四边形DECF是菱形．
分析：菱形的每一条对角线平分一组对角，四条边相等，可得到△BCE≌△DCE，推出∠CBE＝∠CDE.又可由AB∥CD得到∠AFD＝∠CDE，由此结论可得．
【例2】如图，已知四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DE交AC于E.求证：∠AFD＝∠CBE.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD.∵CA平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE.又CE＝CE，∴△BCE≌△DCE(SAS)，∴∠CBE＝∠CDE.∵在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD＝∠CDE，∴∠AFD＝∠CBE.
【例3】如图所示，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD＝120°，对角线AC和BD相交于点O，求这个菱形的面积．
【例4】如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F.试说明四边形AFCE是菱形．
分析：由于EF⊥AC，只需先证明四边形AFCE是平行四边形即可得出结论．
分析：欲证四边形CDEF为菱形，则必须先证其是平行四边形，再证一组邻边相等，而由已知很容易得到CD＝DE.因此关键是证四边形CDEF为平行四边形，所以只需证CF ?平行且等于DE，问题便得解．
【例5】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是∠A的平分线，交BC于D，CH是AB边上的高，交AD于F，DE⊥AB于E.求证：四边形CDEF是菱形．
证明：如图，∵∠1＝∠2，DC⊥AC，DE⊥AB，∴CD＝DE，
∵CH⊥AB，∴∠CHA＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠1＋∠5＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠4＝∠5.∴CF＝CD，∴CF＝DE.∵CH⊥AB，DE⊥AB，∴CF∥DE.∴四边形CDEF为平行四边形，又∵CD＝DE，∴四边形CDEF为菱形．
(1)求证：四边形DAEF是平行四边形；
(2)探究下列问题(只填满足的条件，不需证明)：
①当△ABC满足________条件时，四边形DAEF是矩形；
②当△ABC满足________条件时，四边形DAEF是菱形；
③当△ABC满足________条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．
分析：利用等边三角形的性质和全等三角形的知识可以证明四边形DAEF是平行四边形，然后再根据矩形、菱形的定义探究使结论成立的条件．
【例6】如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD、等边三角形ACE和等边三角形BCF.
(2)①∠BAC＝150°；②AB＝AC≠BC；③∠BAC＝60°.
五、课堂小结
本节课应掌握：
1.菱形概念、性质及判定；
2.会用菱形的性质及判定进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．
两组对边
分别平行
矩形
情景创设
我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平行四边形，我们已经研究了一种特殊的平行四边形——矩形 ；这堂课还要研究另一种特殊的平行四边形——菱形
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；
AB=BC
四边形ABCD是菱形
他是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
菱形的性质：
（1）菱形具有平行四边形的一切性质；
（2）菱形的四条边都相等；
（3）菱形的两条对角线互相垂直，
并且每一条对角线平分一组对角；
（4）菱形是轴对称图形；也是中心对称图形；
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图，
证明：∵四边形ABCD是菱形
在△ABD中，
又∵BO=DO
∴AB=AD（菱形的四条边都相等）
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD
同理： AC平分∠BCD；
BD平分∠ABC和∠ADC
求证：AC⊥BD ；
AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC
命题：菱形的对角线互相垂直平分，
并且每一条对角线平分一组对角；
相等的线段：
相等的角：
等腰三角形有：
直角三角形有：
全等三角形有：
已知四边形ABCD是菱形
AB=CD=AD=BC
OA=OC OB=OD
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
△ABC △ DBC △ACD △ABD
Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA
Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
A
B
C
D
O
1
2
3
4
5
6
7
8
菱形的 两条对角线互相平分
菱形的两组对边平行且相等
边
对角线
角
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
【菱形的面积公式】
O
E
S菱形=BC. AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能 计算菱形的面积公式吗?
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
2.菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______.
3cm
60度
3.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,AO=4cm，求两对角线AC、BD的长。
4.菱形ABCD中两条对角线的长分别是6cm和8cm,求菱形的周长和面积.
O
3、已知菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．
求：⑴∠ABC的度数
⑵对角线AC的长
⑶菱形ABCD的面积
4、如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，
求证：EB=OA；
5、已知，菱形对角线长分别为12cm和16cm，
求菱形的高。
已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
求证：EF⊥AD；
6、在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数是（ ）
A.75°B.60°C.45°D.30°
B
1．定义：
2．性质：
矩形和菱形常利用图中的RT△进行计算和证明
3．面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
思考：如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60度，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点，满足AE+CF=a。
证明：不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正三角形。
A
B
C
D
E
F
(共35张PPT)
●教学目标
1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．
2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．
3．探索并掌握直角三角形斜边上的中线的性质，并能运用该性质进行有关的证明和计算．
●教学重点和难点
重点：矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质．
难点：矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质的灵活应用．
一、课前预习
阅读课本内容，了解本节主要内容．
二、情景导入
1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片(推拉门，活动衣架，篱笆、井架等)，想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？
2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？(动画演示拉动过程如图)
三、新知探究
再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？(小学学过的长方形)引出本课题及矩形定义．
矩形定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．
矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象．
【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上(作出对角线)，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．
①随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？
②当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？
操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质．
矩形性质1：矩形的四个角都是直角．
矩形性质2：矩形的对角线相等．
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【例1】已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4cm，求矩形对角线的长．
分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分．∴OA＝OB.又∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形．∴矩形的对角线长AC＝BD＝2OA＝2×4＝8(cm)．
分析：(1)因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．
解：(1)设AD＝xcm，则对角线长(x＋4)cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：x2＋82＝(x＋4)2，解得x＝6.则AD＝6cm；
(2)“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：AE×DB＝AD×AB，解得AE＝4.8cm.
【例2】已知：如图，矩形ABCD，AB长8cm，对角线比AD边长4cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长．
分析：本题中有中点，有直角，由此联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个定理．
【例3】如图，BD、CE是△ABC不同边上的高，点G、F分别是BC、DE的中点．试说明GF⊥DE.
分析：CE、EF分别是BC、AE线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，且AD∥BC.∴∠1＝∠2.∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°.∴∠B＝∠AFD.又AD＝AE，∴△ABE≌△DFA(AAS)．∴AF＝BE.∴EF＝EC.(此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC.)
【例4】已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE＝BC.求证：CE＝EF.
五、课堂小结
本节课我们应掌握：
1．矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．
2．运用矩形的概念和性质来解决有关问题．
3．直角三角形斜边上的中线的性质及运用．
有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形的定义：
19.3 矩形、菱形、正方形
矩形
一般性质：
具备平行四边形所有的性质
对边平行
对边相等，
对角相等，
对角线互相平分
探索新知:矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
矩形是轴对称图形.
A
B
C
D
已知：四边形ABCD是矩形
求证：AC = BD
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90°
又∵AB = DC ， BC = CB
∴△ABC≌△DCB
∴AC = BD
矩形特殊的性质
矩形特殊的性质
矩形的四个角都是直角．
矩形的两条对角线相等．
从角上看：
从对角线上看：
矩形的特殊性质
矩形的四个角都是直角
数学语言
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=900
矩形的特殊性质
矩形的对角线相等
数学语言
∵四边形ABCD是矩形
∴AC = BD
O
A
B
C
D
公平,因为OA=OC=OB=OD
O
D
证明: 延长BO至D,使OD=BO,
连结AD、DC.
∵AO=OC, BO=OD
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=900
∴AC=BD
再探新知
推论：
直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半．
O
解：∵ 四边形ABCD是矩形
∴AC与BD相等且互相平分
∴ OA=OB
∵ ∠AOB=60°
∴ △AOB是等边三角形
∴ OA=AB=4(㎝)
∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝)
例: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长？
O
方法小结: 如果矩形两对角 线的夹角是60°
或120°, 则其中必有等边三角形.
如图，在矩形ABCD中，找出相等的线段与相等的角。
想一想：上图中有几个直角三角形，它们全等吗？图中有个等腰三解形，有几对全等的等腰三角形？
小试牛刀
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矩形具有而一般平行四边形不
具有的性质是 ( ）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
C
营中热身
四边形ABCD是矩形
1.若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
则AC＝_______ ㎝ OB=_______ ㎝
2.若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝____ cm
矩形的面积＝_______ ㎝2
若已知 ∠DOC=120°，AC＝8㎝，则AD= _____cm
AB= _____cm
5
10
4
48
28
营中寻宝
4.已知△ABC是Rt△，∠ABC=900，
BD是斜边AC上的中线
(1)若BD=3㎝则AC＝ ㎝
(2) 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝ ㎝，
BD＝ ㎝.
6
5
10
营中寻宝
矩形的四个角都是直角.
※ 矩形的性质定理1
矩形的对角线相等.
※ 矩形的性质定理2
※ 推 论
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
反思拓展：
1、工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图1），使
AB=CD,EF=GH;
（2）摆放成如图（2）的四边形，则这时窗框的形状是
＿＿＿＿＿，根据的数学道理是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图3）调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图4），说明窗框合格，这时窗框是＿＿＿＿，根据的数学道理是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
2、 如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm,对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少？
解： ∵ △AOB、 △BOC、 △COD
和△AOD四个三角形的周长和为86cm,
又∵
AC=BD=13cm,
∴ AB+BC+CD+DA=86－2(AC+BD)
=86－4×13=34(cm)
即矩形ABCD的周长等于34cm。
Ｏ
(共29张PPT)
●教学目标
1．理解并掌握矩形的判定方法．
2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力．
●教学重点和难点
重点：矩形的判定．
难点：矩形的判定及性质的综合应用．
一、课前预习
阅读课本内容，了解本节主要内容．
二、情景导入
1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？矩形有哪些性质？
2．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？
3．事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？
三、新知探究
1．矩形的判定定理1：
从“矩形的两条对角线相等且互相平分”这一性质受到启发，你能画出一个对角线长度为4cm的矩形吗？这样的矩形有多少个？
你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理．
我们来进行证明：
在?ABCD中，由于AB＝DC，AC＝DB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB，∴∠ABC＝∠DCB，又∵∠ABC＋∠DCB＝180°，∴∠ABC＝90°，∴?ABCD是矩形．
由此得到矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．
如图，由画法可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，因此它是平行四边形，又已知其对角线相等，由述问题抽象出来就是：对角线相等的平行四边形是矩形吗？
2．矩形的判定定理2：
如图，四边形ABCD的四个角都是直角，由于“同旁内角互补，两直线平行”，因此AB∥DC，AD∥BC，从而四边形ABCD是平行四边形，所以?ABCD是矩形，由此得到四个角是直角的四边形是矩形．
三个角是直角的四边形，容易知道另一个角也是直角，由此得到：三个角是直角的四边形是矩形．
分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值．
四、点点对接?
【例1】已知?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB＝4cm，求这个平行四边形的面积．
【例2】已知：如图(1)，?ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H.求证：四边形EFGH是矩形．
分析：要证四边形EFGH是矩形，由于此题目可分解出基本图形，如图(2)，因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明．
分析：先证四边形BCED是平行四边形，这可由证△ADB≌△AEC与已知条件DE＝BC而推出，再证对角线BE＝CD，这可由△ABE≌△ACD而推出．
【例3】如图所示，已知AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE.求证：四边形BCED是矩形．
证明：在△ADB和△AEC中，∵AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，AB＝AC.∴△ADB≌△AEC，∴BD＝CE.又∵DE＝BC，∴四边形BCED是平行四边形．∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△EAB中，∵DA＝AE，∠DAC＝∠EAB，AC＝AB，∴△DAC≌△EAB，∴DC＝BE，∴四边形BCED是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．
(1)试说明EO＝FO；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？简要说明理由．
【例4】如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.
分析：(1)根据条件证明△OEC与△OCF都是等腰三角形，即OE＝OC＝OF；
(2)由(1)OE＝OC＝OF，只要OA＝OC，即点O为AC的中点，则四边形AECF是矩形．
解：(1)因为MN∥BC，CE、CF分别是∠BCA、∠BCA外角的平分线，所以∠CEO＝∠ECO，∠CFO＝∠FCO，所以OE＝OC，OF＝OC，所以EO＝FO；
(2)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．由(1)知EO＝FO，又因为AO＝CO，所以四边形AECF为平行四边形，因为OE＝OC，所以AC＝EF，所以四边形AECF是矩形．
五、课堂小结
本节课我们应掌握：1.矩形的判定方法；2.能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题．
测量…？
木工朋友在制作窗框后，需要检测所制作的窗框是否是矩形，那么他需要测量哪些数据，其根据又是什么呢？
分析矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
∵ □ ABCD
∠A=90°
∴ □ ABCD是矩形
由定义判定：
矩形的四个角都是直角
四个角是直角的四边形是矩形
条件
结论
①任意画一个符合条件的图形，通过观察、测量猜想其形状；
李芳同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形。猜想她判断的依据？
有三个角是直角的四边形是矩形
你能证明上述结论吗？
A
B
D
C
有三个角是直角的四边形是矩形
∵ ∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形
符号表达式：
如图，BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠CBP的平分线，CE⊥BE，CD⊥BD，E，D为垂足，猜一猜：四边形BECD的形状
A
B
C
D
E
P
∵ BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠CBP的平分线
∴∠DBE=90°
又∵ CE⊥BE，CD⊥BD
∴四边形BECD是矩形
∴∠D=∠E=90°
矩形的对角线相等
对角线相等的平行四边形是矩形
②任意画一个符合条件的图形，通过观察、测量猜想其形状确定真命题；
对角线相等的四边形是矩形
∵ 在□ ABCD中，AB=DC,
BC=CB, 且AC=DB
∴ △ABC≌ △DCB（SSS）
∵ AB//CD ∴ ∠ABC+∠DCB=180°
∴ ∠ABC=∠DCB=90°
又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ □ ABCD是矩形
∴ ∠ABC=∠DCB
命题：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：在□ ABCD，AC=BD
求证： □ ABCD是矩形
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形
且 AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
符号表达式：
你能归纳矩形的几种判定方法吗？
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形 。
(对角线平分且相等的四边形是矩形)
有三个角是直角的四边形是矩形 。
方法1：
方法2：
方法3：
测量…？
分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，则窗框符合规格
测量出三个内角的度数，如果三个内角都是直角，则窗框符合规格
分别测量出窗框四边和两条对角线的长度，如果窗框两组对边长度、两条对角线的长度分别相等，那么窗框符合规格
方案:
方案:
方案:
迁移提高训练题
1.下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；
（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；
（4）有三个角都相等的四边形是矩形;
X
X
X
X
2.如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC，
求证：四边形ABCD是矩形。
(共29张PPT)
正方形
●教学目标
1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．
●教学重点和难点
重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．
难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．
一、课前预习
阅读课本内容，了解本节主要内容．
二、情景导入
?装修房子铺地面的瓷砖(如图)大多是正方形的形状，它是什么样的四边形呢？它与平行四边形、矩形、菱形有什么关系？
三、新知探究
1．做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．
学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？
我们把有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形．
2．正方形是特殊的矩形，又是特殊的菱形，更是特殊的平行四边形，因此正方形具有这些图形的所有性质．
性质1：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．
性质2：正方形的对角线相等且互相垂直平分．
以上性质，请同学自己证明．
四、点点对接
【例1】如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F.求证：AF＝BF＋EF.
分析：要想得到AF＝BF＋EF这个结论，只要能得到AE＝BF就可以了，而利用正方形的性质容易得到△ABF≌△DAE，此题即可解决．
【例2】如图，已知过正方形ABCD的对角线BD上一点P，作PE⊥BC于E，作PF⊥CD于F，试说明AP＝EF.
分析：由PE⊥BC，PF⊥CD知，四边形PECF为矩形，故有EF＝PC，这时只需说明AP＝CP，由正方形对角线互相垂直平分可知AP＝CP.
证明：连接AC、PC.∵四边形ABCD为正方形，∴BD垂直平分AC，∴AP＝CP，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∴AP＝EF.
【例3】如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.
求证：四边形CEDF是正方形．
分析：由题意知四边形DFCE是矩形，借助角平分线的性质，DF是点D到AC的距离，因而需作DG⊥AB于G，又BD平分∠ABC，DG＝DE，从而证得DE＝DF.
证明：过点D作DG⊥AB于点G，∵AD平分∠CAB，DF⊥AC，DG⊥AB，∴DF＝DG.同理DE＝DG，∴DE＝DF，∵∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，∴∠C＝∠DFC＝∠DEC＝90°，∴四边形DFCE是矩形，又DE＝DF，∴四边形DFCE是正方形．
(1)当四边形ABCD满足____条件时，四边形EFGH是菱形；
(2)当四边形ABCD满足____条件时，四边形EFGH是矩形；
(3)当四边形ABCD满足 条件时，四边形EFGH是正方形．
在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．
【例4】如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为______形．
分析：从已知条件分析，四边形EFGH的形状与四边形ABCD的对角线的位置及数量关系有关．
(2)AC⊥BD.理由：如图②，四边形ABCD的对角线互相垂直，此时四边形EFGH为平行四边形，易得GH垂直BD，即GH⊥EH，故四边形EFGH为矩形；
(3)AC＝BD且AC⊥BD，理由：如图③，四边形ABCD的对角线相等且互相垂直，综合(1)(2)可得四边形EFGH为正方形．
五、课堂小结
本节课我们应掌握：
1．正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算；
2．正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别．
操 作
⒈怎样用一张矩形的纸片折出一个正方形？
⒉怎样将一个菱形的木框变成一个正方形的木框？
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
讨 论
㈠正方形的边、角、对角线各具有什么性质？
边：对边平行，四条边都相等．
角：四个角都相等，都等于90°．
对角线：相等、垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角．
讨 论
㈡具备什么条件的平行四边形是正方形？
⒈先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等．
⒉先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角．
例题赏析
例7 E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上n点，AE=BF=CM=DN．
求证：四边形EFMN是正方形.
解：四边形EFMN是正方形． 证明：∵AE=BF=CM=DN， ∴AN=DM=CF=BE． ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°， ∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF． ∴EF=EN=NM=MF，∠ENA=∠DMN． ∴四边形EFMN是菱形． ∵∠ENA=∠DMN，∠DMN+∠DNM=90°， ∴∠ENA+∠DNM=90°． ∴∠ENM=90°． ∴四边形EFMN是正方形．
想一想
在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分∠BAC,试猜想AB、AC、BE之间的关系，并证明你的猜想．
一展身手
1.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
2.在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q是CD上任意一点，DP⊥AQ交BC于点P．
⑴求证： DQ=CP；
⑵OP与OQ有何关系？试证明你的结论．
3.如图,以△ABC的边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，M是BC的中点．
求证：
⑴CE=BG；
⑵EG=2AM．
M
E
D
F
G
B
C
A
4.求证：矩形的四个角的平分线所围成的四边形是正方形．
教学反思
▲正方形有哪些性质？如何判别一个平行四边形是正方形？
★从角上来谈；
●从边上来谈；
▲从对角线上来谈；
正方形的定义、性质及判定.
(共35张PPT)
19.4多边形的镶嵌
●教学目标
1．了解平面图形的镶嵌的含义，理解并掌握进行平面图形的镶嵌所要具备的条件．
2．能根据平面图形镶嵌的条件设计方案．
3．会利用多边形镶嵌的方法解决相关的实际问题．
●教学重点和难点
重点：理解并掌握进行平面图形的镶嵌所要具备的条件．
难点：能根据平面图形镶嵌的条件设计方案．
一、课前预习
阅读课本内容，了解本节主要内容．
可是当他到地砖店去购买正五边形的地砖时，店老板却告诉他：“如果您仅用正五边形地砖铺设地面的话，这是不可能的．”于是，这个富翁就生气了：“我偏要用正五边形地砖来铺地板！”你知道这个富翁会铺设成功吗？学习了本节的内容，你就知道答案啦！
从前，一个富翁在装修房屋时，发现许多人都是用正方形的地砖铺设地板，他就想与众不同地用正五边形地砖来铺设客房，
三、新知探究
1．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．
2．用相同的正多边形作平面镶嵌所具备的条件：
(1)正多边形的边长相等；
(2)顶点公共；
(3)在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.
注意：用相同的正多边形作平面镶嵌只有正三角形、正方形、正六边形可以，其他的都不可以，因为只有这三种内角是360°的因数．
3．用两种或多种正多边形作平面镶嵌的道理与用相同的正多边形作平面镶嵌的道理相同，都要满足围绕一点拼在一起的几种正多边形的内角之和等于360°，且相邻的多边形有相等的公共边这些条件．
(2)除了正三角形和正方形可以作平面镶嵌外，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形都可以作平面镶嵌；
4．用两种正多边形作平面镶嵌的常见情况：
注意：(1)某些非正多边形也可作平面镶嵌．(2)用四种正多边形不能作平面镶嵌，因为任意四种正多边形，围绕一个顶点，这个顶点上四个正多边形的内角和大于360°.
四、点点对接
【例1】某公司提供了如下五种型号的正多边形地砖，它们的每个角的度数分别是60°、90°、108°、120°、135°，在这些地砖中选择一种铺设地面，有几种选择？说说你的理由．
分析：能否单独铺设地面，应看正多边形的每个内角是否能整除360°，如果能整除，则可单独铺设，否则不能单独铺设．
解：有三种选择，可以选择内角分别是60°、90°、120°的正多形地砖铺设地面．理由如下：因为60°、90°、120°都是360°的约数，而108°和135°的整数倍不能得360°，所以内角是108°和135°的两种正多边形地砖不能用于单独铺设地面．
【例2】从边长相等的正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形中选出两种来铺设地面，求出铺满地面所用的正多边形的个数，画出草图．(要求写出三种铺设方法)
分析：首先求出这几种图形的内角．正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形的内角分别是60°、90°、120°、135°、150°，根据围绕在一个顶点处的内角和为360°，列二元一次方程，求正整数解．
解：(1)用m个正三角形，n个正六边形，则60m＋120n＝360，即m＋2n＝6，因为m、n为正整数，所以m＝2，n＝2或m＝4，n＝1，即用2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形可铺满地面，如图①.
用m个正三角形，n个正十二边形、则有60m＋150n＝360，即2m＋5n＝12，因为m、n为正整数，所以m＝1，n＝2，即用1个正三角形，2个正十二边形可铺满地面，如图②.
(2)用m个正方形，n个正八边形，则有90m＋135n＝360，即2m＋3n＝8，所以m＝1，n＝2，即用1个正方形，2个正八边形可铺满地面，如图③.
【例3】用相同的任意三角形能镶嵌成平面图案吗？
分析：因为任意三角形的内角和为180°，所以就可以像如图所示将六个三角形进行相应的旋转之后就能拼接，此时，在每一个拼接点就会有该三角形的三个内角各两个，故拼接后的每个拼接点处就有两个180°，即360°.
解：能．因为三角形的内角和为180°，如图，在任意一个三角形中，∠1＋∠2＋∠3＝180°，所以三个相同的
三角形的不同的三个内角绕一点可以围成一个平角，六个三角形按此法拼，则可围成一个周角，因此，任意三角形能镶嵌成平面图案．
五、课堂小结
本节课我们应理解并掌握进行平面图形的镶嵌所要具备的条件，能根据平面图形镶嵌的条件设计方案．
备用课件
四边形的内角和、外角和有哪些性质？
四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和等于360°。
多边形内角和、外角和有哪些性质？
(1)n边形的内角和为（n-2）×1800
（n≥3）
(2)任何多边形的外角和为3600
180°
60°
540°
108°
720°
120°
(n-2)×180°
×180°
内角和度数 一个内角度数
正三角形
正五边形
正六边形
…… …… ……
正n边形
好漂亮的地板!
铺设地板时要注意什么？
什么叫做“平面镶嵌”呢?
用形状相同或不同的平面封闭图形覆盖平面，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里叫做平面镶嵌.
定义
镶嵌在现实生活中应用非常广泛.
你能用一些全等的正三角形单独镶嵌成平面图案吗？
正方形、正五边形、正六边形也可以单独镶嵌吗？做一做，试试看.
不能镶嵌,为什么呢?你能说说道理吗?
1
2
3
∠1+∠2+∠3=
324°
共顶点的各个角之和必须等于360°。
正八边形能单独镶嵌吗？
我的结论
能单独镶嵌平面的正多边形只有3种，即正三角形，正方形，正六边形。
能单独用来镶嵌平面的正多边形的内角度数一定能整除360度。
用边长相等的正八边形和正方形能镶嵌平面吗？请说明理由。
正八边形的一个内角135°
2X 135° =270°
正方形的一个内角90°
所以两个正八边形和一个正方形能拼成一幅镶嵌图。
请选择两种能镶嵌平面的正多边形，动手拼一拼，组成一幅镶嵌图，并说明你选择的两种正多边形能镶嵌的数学原理。
能单独镶嵌的全等任意多边形有：三角形，四边形。
拼接在同一个点的各个角的和
恰好等于360度
1 . 的多边形叫做正多边形
2.镶嵌平面的关键是:
3,单独能镶嵌的正多边形只有:
4.能单独镶嵌的任意多边形有:
各边相等,各角也相等
拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360度。
正三角形, 正方形, 正六形。
全等三角形, 全等四边形。
现学现用：
老王是石马村办企业西湖地砖厂的厂长，他发现市场上，用来单一拼图的正多边形地砖只有三种：正三角形、正方形、正六边形。他想搞个创意，设计形状为正五边形的地砖推向市场。你认为他的想法好吗？市场前景如何？
那么他该从哪方面搞创新呢？
