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分式的概念
华东师大版八年级（下册）
第16章 分式
16.1 分式及其基本性质
（第1课时）
●教学目标
1．经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式．
2．能正确地判断一个代数式是否是分式．
3．理解类比思想的数学思想．
●教学重难点
探索分式有意义的条件，分式无意义的条件和分式为0的条件．
一、课前预习
阅读教材第2～3页内容，了解本节课的主要内容．
做一做
(1)面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为 米；
(2)面积为S平方米的长方形一边长a米，则它的另一边长为 米；
(3)已知正方形的周长是acm，则一边的长是____cm，面积是____cm2；
(4)一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克．则每千克苹果的售价是 元
一、境界引入
二、探究归纳
问：在上面所列出的代数式中，哪些是整式？哪些不是？
同于前面学过的整式，是两个分母含有字母的代数式．在实际应用中，某些数量关系只用整式来表示是不够的，我们需要学习新的式子，以满足解决实际问题的需求．我们称这两个代数式为分式．
其中A叫做分式的分子(numerator)，B叫做分式的分母(denominator)． 整式和分式统称为有理式。
从分式的意义中，应注意以下三点：
(1)分式是两个整式相除的商，分数线可以理解为除号，并含有括号的作用；
(2)分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分母必须含有字母；
(3)分式分母的值不能为0．如果分母的值为0，那么分式就无意义．
解：属于整式的有：(2)、(4)、(5)；属于分式的有：(1)、(3)．
强调：不是一个常数、不是一个字母．
三、实践应用
例2 当x取什么值时，下列分式有意义？
解：
解：①|x|－3＝0，|x|＝3，∴x＝±3；
②把x＝－3代入，分母为0，分式没有意义；把x＝3代入，分母等于12，∴当x＝3时，此分式值为0.
五、课堂小结
说说分式的定义，分式有(无)意义的条件，分式为0的条件．
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16.1 分式及其基本性质 2.分式的基本性质 华东师大版 八年级下册
●教学目标
1．理解并掌握分式的基本性质及变号法则，并能运用这些性质进行分式的恒等变形．
2．理解类比的数学思想．
●教学重点和难点
重点：使学生理解并掌握分式的基本性质．
难点：灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形．
一、课前预习
阅读教材第3页内容，了解本节课的主要内容．
二、情景导入
古时候，一位王爷去山上看望习武的儿子，兄弟几个见父王来了，立刻围了上来．王爷说：“孩子们，父王今天带来了你们最喜欢吃的大饼．”说着取出一个大饼平均分成了两份，给了老大一块．嘴谗的老二说：“父王，我想吃两块饼．”于是父王把第二块饼平均分成四份，给了老二两块．贪心的老三说：“父王，给我三块饼．”父王又把第三块饼平均分成了六份，给了他三块，一向老实的大哥开腔了：“父王，老四最小，应该给他六块．”老四听了非常高兴，觉得父王给他最多．同学们，你们觉得谁最多呢？
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
分式的基本性质：
分数的基本性质：分数的分子分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变.
解：(1)正确；
(2)不正确．根据分式的基本性质应该同时乘以(或除以)一个不为0的整式．(1)中a≠0，而(2)中c有0的可能性，故不正确．
分析：分式的约分，即要求把分子与分母的公因式约去，为此，首先要找出分子与分母的公因式．
五、课堂小结
谈谈本节课你的收获与困惑．
一、分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 不为零的整式，分式的值不变.
二、分式的约分和最简分式
分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
（化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式）
最简分式：分子和分母没有公因式的分式叫最简分式。
青春是有限的，智慧是无穷的，趁短的青春，去学习无穷的智慧。——高尔基
(共13张PPT)
16.2 分式的运算 1.分式的乘除 华东师大版 八年级下册
●教学目标
1．熟练地进行分式的乘除法运算．
2．掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算．
●教学重点和难点
重点：分式的乘除法、乘方运算．
难点：分式的乘除法、混合运算，以及分式乘法，除法、乘方运算中符号的确定．
一、课前预习
阅读教材第6～7页内容，了解本节课的主要内容．
问题2：大拖拉机m天耕地ahm2，小拖拉机n天耕地bhm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？
师生活动：学生根据题意，分别列出问题1、问题2所求的数量关系式为：
(2)学生通过类比分数的乘除法则，探究分式的乘除法则，并在表中填写．
2.分式乘方的法则
怎样进行分式的乘方呢？试计算：
归纳：
分式的乘方是把分式的分子、分母各自乘方，再把所得的幂相除。
公式表示为：
(k为正整数)
看看你会用上面的公式吗？
分式的乘方法则：
师生活动：自主探索，独立完成例题，
两名学生进行板演
在互动中得出正确的解题步骤，以及解题中应注意的问题．
例3：计算：
五、课堂小结
说说分式的乘除法的运算法则和分式的乘方的运算法则．
在寻求真理的长河中，唯有学习，不断地学习，勤奋地学习，有创造性地学习，才能越重山跨峻岭。
—— 华罗庚
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华东师大版八年级（下册）
第16章 分式
16.2 分式的运算（第2课时）
●教学目标
1．掌握同分母、异分母分式的加减，能熟练地进行同分母、异分母分式的加减运算．
2．渗透类比、化归数学思想方法，培养学生的能力．
●教学重点和难点
重点：让学生熟练地掌握同分母、异分母分式的加减法．
难点：能熟练准确的进行分式加减运算．
一、课前预习
阅读教材第8页内容，了解本节课的主要内容．
想一想
【同分母的分数加减法的法则】
同分母的分数相加减，分母不变,分子相加减。
问题1：猜一猜, 同分母的分式应该如何加减？
如：
同分母分式加减法法则 与同分母分数加减法的法则类似
【同分母的分式加减法的法则】
同分母的分式相加减，分母不变,分子相加减。
问题2：从甲地到乙地有两条路，每条路都是3km，其中第一条路是平路，第二条路有1km的上坡路，2km的下坡路．小丽在上坡路的骑车速度为vkm/h，在平路上的骑车速度为2vkm/h，在下坡路的骑车速度为3vkm/h，那么
(1)当走第一条路时，她从甲地到乙地需多长时间？
(2)当走第二条路时，她从甲地到乙地需多长时间？
(3)她走哪条路花费的时间少？少用多长时间？
例题讲解与练习
例1 计算：
.
解：
同分母分式加减的基本步骤：
1. 分母不变，把分子相加减。
（1）如果分式的分子是多项式，一定要加上括号；
（2）如果是分子式单项式，可以不加括号。
2. 分子相加减时，应先去括号，再合并同类项；
3. 最后的结果，应化为最简分式或者整式。
问题2：想一想，异分母的分数如何加减？
【异分母分数加减法的法则】
通分，把异分母分数化为同分母分数。
问题3：想一想，异分母的分式如何进行加减？
探 索
探索异分母分式的加减法的法则
探索异分母分式的加减法的法则
想一想
2、与异分母分数的加减法类似，异分母分式相加减，需要先通分，变为同分母的分式，然后再加减 。
1、计算：
通分时，最简公分母由下面的方法确定：
①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
②最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积；
③分母是多项式时一般需先因式分解。
归纳总结
例题讲解与练习
例2 计算：
.
解
因为最简公分母是__________，
＝__________
＝_______＝___.
例题讲解与练习
例3 计算：
解：
异分母分式的加减法步骤：
1. 正确地找出各分式的最简公分母。
求最简公分母概括为：取各分母系数的最小公倍数；凡出现的字母为底的幂的因式都要取；相同字母的幂的因式取指数最大的。取这些因式的积就是最简公分母。
2.用公分母通分后，进行同分母分式的加减运算。
3.准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式。
4. 公分母保持积的形式，将各分子展开。
5. 将得到的结果化成最简分式。
归纳总结
延伸与拓展
链接一：甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地到乙地按v千米/时的速度行驶，若按(v+a)千米/时的速度行驶，可提前多少小时到达？
学习小结
1、你学到了哪些知识？要注意什么问题？
2、在学习的过程 中你有什么体会？
小结：谈谈本节课的收获？
（1）分式加减运算的方法思路：
异分母相加减
同分母
相加减
分子（整式）相加减
（2）分子相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误。
（3）分式加减运算的结果要约分，化为最 简分式（或整式）。
课堂小结
课堂小结
4、对于混合运算，一般应按运算顺序，有括号先做括号中的运算，若利用乘法对加法的分配律，有时可简化运算，而合理简捷的运算途径是我们始终提倡和追求的。
5、对每一步变形，均应为后边运算打好基础，并为后边运算的简捷合理提供条件．可以说，这是运算能力的一种体现．
6、注意约分时的符号问题。
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华东师大版八年级（下册）
第16章 分式
16.3 可化为一元一次方程的
第1课时 解分式方程
●教学目标
1．了解分式方程的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．
2．理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法．
3．理解“转化”的思想方法．
●教学重点和难点
重点：理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程．
难点：理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法．
一、课前预习
阅读教材第12～13页内容，了解本节课的主要内容．
复习提问
1、什么叫做方程？什么是一元一次方程？什么是方程的解？
2、解一元一次方程的基本方法和步骤是什么？
3、分式有意义的条件是什么？
4、分式的基本性质是怎样的？
轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.
分析：设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意，得
这个方程有何特点？
二、情景导入
分式方程的主要特征：
（1）含有分式 ；
（2）分母中含有未知数。
方程 中含有分式，并且
分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
你还能举出一个分式方程的吗？
分式方程的概念
三、新知探究
探究一：分式方程的定义
问题：上面的方程与以前学过的方程有什么相同点和不同点？
学生小组活动，教师巡视点拨，归纳总结．
分式方程定义：分母中含有未知数的等式，像这样的方程叫做分式方程．
探究二：分式方程的解法
1．回忆解一元一次方程的基本步骤．
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化“1”
2．思考
怎样解上面方程呢？有没有办法可以去掉分式方程中的分母把它转化为整式方程呢？试动手解一解这个方程．
3．总结
上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解．所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母．
探究三：分式方程的增根和解分式方程一般步骤
解方程两边同乘以(x2－1)，约去分母，得x＋1＝2
解这个整式方程，得x＝1.
2．思考
(1)能不能说x＝1就是原分式方程的解(或根)呢？为什么？
(2)小组讨论，为什么会出现上面的情况？
3．教师总结
在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根．因此，在解分式方程时必须进行检验．
4．解分式方程的一般步骤
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化“1”→检验
解：方程两边同乘以x(x－7)，约去分母，得100(x－7)＝30x.
解这个整式方程，得x＝10.
检验：把x＝10代入x(x－7)，得10×(10－7)≠0，所以x＝10是原方程的解．
分析：观察可以确定此方程的增根为x＝3，把增根为x＝3带入去分母后的整式方程即可求出k的值．
解：原方程去分母为：x＝2(x－3)＋k①，又原方程的增根为x＝3，把x＝3代入①，得：k＝3.
五、课堂小结
1．什么是分式方程？
2．解分式方程的一般步骤．
3．解分式方程为什么要进行验根？怎样进行验根？
1、什么是分式方程？举例说明
2、解分式方程的一般步骤：
a、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．
b、解这个整式方程．
c.验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是0，若结果不是0，说明此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须舍去．
3、解分式方程为什么要进行验根？怎样进行验根？
课堂小结
验根的方法有：
代入原方程检验法和代入最简公分母检验法.
(1)代入原方程检验，看方程左，右两边的值是否相等，如果值相等，则未知数的值是原方程的解，否则就是原方程的增根。
(2)代入最简公分母检验时，看最简公分母的值是否为0，若值为0，则未知数的值是原方程的增根，否则就是原方程的根。
课堂小结
解分式方程的注意点：
（1）去分母时，先确定最简公分母；若分母是多项式，要进行因式分解；
（2）去分母时，不要漏乘不含分母的项；
（3）最后不要忘记验根。
课堂小结
(共16张PPT)
华东师大版八年级（下册）
第16章 分式
16.3 可化为一元一次方程的分式方程
第2课时 列分式方程解决实际问题
●教学目标
会分析题意找出等量关系，会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题．
●教学重点和难点
列分式方程表示实际问题中的等量关系．
一、课前预习
阅读教材第15页内容，了解本节课的主要内容．
2．列方程解应用题的一般步骤．
（1）审清题意；
（2）设未知数；
（3）列式子，找出等量关系，建立方程；
（4）列方程；
（5）检查方程的解是否符合题意；
（6）作答。
复习提问
这些解题方法与步骤，对于学习分式方程应用题也适用。这节课，我们将学习列分式方程解应用题。
三、实践与探究：列分式方程解应用题
例1：某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致．已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？
分式方程的应用探索
问题引入的解决：
解 设乙每分钟能输入x名学生的成绩，则甲每分能输入2x名学生的成绩，根据题意得
解得 x＝11
经检验，x＝11是原方程的解.并且x＝11，2x＝2×11＝22，符合题意.
答：甲每分钟能输入22名学生的成绩，乙每分钟能输入11名学生的成绩.
强调：既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验是否符合题意；时间要统一。
列分式方程解应用题的一般步骤：
（1）审清题意；
（2）设未知数（要有单位）；
（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；
（4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；
（5）写出答案（要有单位）。
归纳概括
练习：求解本章导图中的问题.
例题讲解与练习
例2 A，B两地相距135千米，两辆汽车从A开往B，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5：2，求两车的速度。
四、点点对接
例2：工程问题
某市为进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路．实际施工时，每月的工效比原计划提高了20%，结果提前5个月完成这一工程．求原计划完成这一工程的时间是多少月？
分析：设原来计划完成这一工程的时间为x个月，根据工程问题的数量关系建立方程求出其解即可．
练一练
例3：行程问题
吉首城区某中学组织学生到距学校20km的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达(两条道路路程相同)，已知汽车速度是自行车速度的2倍，求骑自行车学生的速度．
课堂小结
(1)列分式方程与列一元一次方程解应用题的差别是什么？
(2)你能总结一下列分式方程应用题的步骤吗？
列分式方程解应用题的一般步骤：
（1）审清题意；
（2）设未知数（要有单位）；
（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；
（4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；
（5）写出答案（要有单位）。
王明同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元。后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元。原定人数是多少？
数学与生活.
编写一道与下面分式方程相符的实际问题.
(共14张PPT)
16.4 零指数幂与负整数指数幂 华东师大版 八年级下册
一、课前预习
阅读教材第17～18页内容，了解本节课的主要内容．
二、情景导入
同底数幂的除法公式am÷an＝am－n时，有一个附加条件：m＞n，即被除数的指数大于除数的指数．当被除数的指数不大于除数的指数，即m＝n或m＜n时，情况怎样呢？
三、新知探究
探究一：不等于零的零次幂的意义
1．计算下列两组式子的值，你有什么发现？
52÷52＝________
52÷52＝52－2＝________
103÷103＝________
103÷103＝103－3＝________
a5÷a5(a≠0)＝________
a5÷a5＝a5－5＝________(a≠0)．
这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于1.
2．概括归纳
我们发现50＝1，100＝1，a0＝1(a≠0)．
这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1.
探究三：科学记数法
1．根据零指数幂与负整数指数幂的法则填空．
100＝______ 101＝______ 102＝______
103＝______ 10－1＝______ 10－2＝______
10－3＝______ 10－4＝______
2．找规律填空．
①30000＝3×10( ) ②30000＝3×10( )
③3000＝3×10( ) ④300＝3×10( )
⑤30＝3×10( ) ⑥3＝3×10( )
⑦0.3＝3×10( ) ⑧0.03＝3×10( )
⑨0.003＝3×10( ) ⑩0.0003＝3×10( )
3．总结概括：我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数次幂，把一个绝对值大于10的数表示成a×10n的形式，其中n是正整数，1≤|a|＜10.例如，864000＝8.64×105.类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10－n的形式，其中n是正整数，1≤|a|＜10.例如0.000021可以表示成2.1×10－5.
例2：用小数表示下列各数：
(1)10－4； (2)2.1×10－5.
解：(1)原式＝0.0001；
(2)原式＝0.000021.
例3：一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？请用科学记数法表示．
五、课堂小结
谈谈你的收获与困惑．
所谓天才人物指的就是具有毅力的人勤奋的人入迷的人和忘我的人。——萧伯纳
