7.4 综合与实践 排队问题
●教学目标
1.知识与技能：通过练习，进一步理解掌握列一元一次不等式和不等式组解决实际问题，提高问题和解决问题的能力。
2.过程与方法：通过练习，进一步理解列一元一次不等式和不等式组解决实际问题步骤，建立数学模型，把实际问题转化为一元一次不等式（组）的求解问题。
3.情感态度与价值观：引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神。
●教学重难点：
重难点：运用一元一次不等式（组）解决实际问题。
●教学过程
一、复习引入
列一元一次不等式组解实际问题，同列一元一次不等式解决实际问题一样，它的一般步骤是什么？请回忆。
二、新知探究
问题1 某服务机构开设了一个窗口办理业务，并按顾客“先到达，先服务”的方式服务，该窗口每2min服务一名顾客。已知当窗口开始工作时，已经有6位顾客在等待，在窗口开始工作1min后，又有一位“新顾客”到达，且预计以后每5min都有一位“新顾客”到达。
（1）设e1,e2,…e6表示当窗口开始工作时已经在等待的6位顾客，C1,C2,…Cn表示在窗口开始工作以后，按先后顺序到达的“新顾客”，请将下面表格补充完整（这里假设e1,e2,…e6的到达时间为0）.
顾客 e1 e2 e3 e4 e5 e6 C1 C2 C3 C4 C5 C6 、、、
到达时间/min 0 0 0 0 0 0 1
服务开始时间 0 2 4
服务结束时间 2 4 6
(2)下面表示每一位顾客得到服务之前所需要等待的时间，试将该表格补充完整。
顾客 e1 e2 e3 e4 e5 e6 C1 C2 C3 C4 C5 C6 、、、
等待时间/min 0 2 4 6 8 8 5
(3)根据上述两个表格，能否知道“新顾客中”，哪一位是第一位到达服务机构而不需要排队的？求出他的到达时间。
(4)在第一位不需要排队的顾客到达之前，该窗口已经服务了多少位顾客？为这些顾客服务共花费了多少时间?
(5)平均等待时间是一个重要的服务质量指标，为考察服务质量，问排队现象消失之前，所有顾客的平均等待时间是多少？
三、合作探究
（1）
顾客 e1 e2 e3 e4 e5 e6 C1 C2 C3 C4 C5 C6 、、、
到达时间/min 0 0 0 0 0 0 1 6 11 16 21 26
服务开始时间 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 21 26
服务结束时间 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 23 28
（2）下面表示每一位顾客得到服务之前所需要等待的时间，试将该表格补充完整。
顾客 e1 e2 e3 e4 e5 e6 C1 C2 C3 C4 C5 C6 、、、
等待时间/min 0 2 4 6 8 10 11 8 5 2 0 0
(3) C5是第一位到达服务机构而不需要排队的，他到达的时间是第21min。
(4)已经服务了10位顾客，为这些顾客服务共花费了10×2=20（min））
(5) (0+2+4+6+8+10+11+8+5+2)÷10=5.6(min)
问题2 在问题1的条件中，当服务机构的窗口开始工作时，如果已经有10位顾客在等待，（其他条件不变），且当“新顾客”Cn离去时，排队现象就此消失了。即cn+1为第一位到达后不需要排队的“新顾客”，
问：（1）用关于n 的代数式来表示在第一位不需要排队的“新顾客” cn+1 到达之前，该窗口已经服务了多少位顾客？为这些顾客服务共花费了多少时间?
解：该窗口已经服务了（10+n）位顾客。为这些顾客服务共花费 了2（10+n）min，即（20+2n）min.
（2）用关于n 的代数式来表示cn+1的到达时间。
解：顾客cn+1到达的时间是﹝1+5（n+1）-1﹞min，
即（1+5n）min.
（3）根据（1）和（2）得到的代数式以及他们的数量关系,求n+1的值。
解：因为在cn+1到达服务机构之前，该窗口为顾客服务所花费的时间小于等于cn+1的到达时间，根据此数量关系，得 20+2n≤1+5n.
解这个不等式，得 n≥.所以 n+1≥.
因为n+1为正整数，所以n+1=8.
四、当堂练习
小明到学校食堂买饭，看到A，B两窗口前面排队的人一样多（设为
a人，a大于8），就站在A窗口队伍的后面排队。多了2分钟他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。
（1）若小杰继续在A窗口排队，则他到达A窗口的时间是多少？（用
含a的代数式表示）
（2）此时，若小杰迅速从A窗口的队伍转移到B窗口的队伍后面重新排队，且到达B窗口的时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间少，则人数a要超过多少人？（不考虑其他因素）
五、小结 本节课你学习了哪些内容?
六、作业 选做题：课本上第40页问题 3
必做题：基础训练第26页
板书设计
7.4 综合与实践 排队问题
一、复习 三、合作探究 问题2 五、小结
新知探究 问题1 四、当堂练习 六、作业
教学反思：
利用一元一次不等式组解应用题关键是找出所有可能表达题意的不等关系，再根据各个不等关系列出相应的不等式，组成不等式组。在教学时要让学生养成检验的习惯，感受运用数学知识解决问题的过程，提高实际操作能力。
7.3 一元一次不等式组
教材分析
本节通过买卷筒纸和一道有趣的古算题引入不等式组及其解集的概念，通过对一元一次不等 式组的解法的讨论，进一步体验“问题情境——建立模型——解释应用——回顾拓展”过程，提高学生解决问题的能力。
教学目标
（一）教学知识点
1、从实际问题中找到不等关系，根据实际总是情境列出不等式组。
2、理解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，解不等式组等概念。
3、会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。
（二）能力训练要求
通过由一元一次不等式，一元一次不等式的解集，解不等式的概念来类 推地学习一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，解不等式组这些概念，发展学生的类比推理能力。
（三）情感与价值观要求
一方面要培养学生独立思考的习惯，同时也要培养大家的合作交流意识。
教学重点
1.理解有关不等式组的概念。
2.会解有两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。
教学难点
从实际问题中找 到不等关系，列出不等式，在数轴上确定解集。
教学方法
合作类推法
就是让学生共同讨论，并用类比推理的方法学习。
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课。
［师］在第四节我们学习了一元一次不等式，知道了一元一次不等式的有关概念，今天我们要学习一元一次不等式组， 大家能否从字面上来推断一下它们之间是否存在一定的关系呢？请交流后发表自己的见解。
［生］所谓“一元一次不等式组”，一元一次不等式的个数应是不唯一的，而是由两个以上的一元一次不等式组成的，也就是说一元一次不等式组是由几个一元一次不等式组成的集合。
［师］大家同意这位同学的说法吗？
［生］同意。
［师］好，下面我们就来验证一下大家的猜想是否正确。
Ⅱ.新课讲授
1、一元一次不等式组的有关概念
问题1：小莉带5元钱去超市买卷筒纸，她拿了5筒，付钱时钱不够，于是小莉退掉一筒，收银员找她一些零钱，请你估计一下，卷筒纸单价约是多少？
［师］这是一个实际问题，请大家先理解题意，搞清已知条件和未知元素，从而确定用哪一个知识点来解决问题，即把实际问题转换为数学模型，从而求解。
［生］已知条件有：小莉带5元钱，未知量是卷筒纸单价为元，当买卷筒纸5筒时，需要元，钱不够，所以。当买卷筒纸4筒时，需要元，并且找回一些零钱，所以有 。
解：设卷筒纸单价为 元，根据题意，得
（1）
且 （2）
这里未知数卷筒纸单价 元应同时满足（1）（2）两个条件，把（1）（2）两个不等式合写在一起，并用大括号括起来，就组成一个一元一次不等式组，记作
①
［师］这位同学的分析和解答非常精彩，下面还有一个有趣的古代算，我们的先人很早以前就能算得出来，不知大家现在能不能把其中的各个量之间的关第找出来。
问题2：今有鸡、笼不知其数，若每笼放 鸡4只，余一只在外；若每笼放鸡5只，则余一笼无鸡 。问鸡、笼各几何？（我国古算题）
师生共析：
本题意思是：现在有一些 鸡和一些鸡笼子，如果每个鸡笼子装4只鸡，那么鸡笼子装满了，还有1只没有装进笼子；如果 每个鸡笼子装5只鸡，那么还剩余一个笼子没有装鸡，问鸡有多少只？鸡笼子有多 少个？
［师］本题若不仔细体会 ，则很难找准题中量与量之间的关系，那题中量与量之间到底有哪些关系？
［生甲］这一题中不存在不等关系，这是一个一元一次方程的问题，若设鸡笼有个，则依题意可 得，解方程可得，则有鸡笼6个，鸡有25只。
［生乙］不对，不能这样去解，因为题中只是说“若每笼放鸡5只，则余一笼无鸡”，并没有说前面装鸡的笼子每一个都装满了，因此这一题中含有的是不等关系，而不是等量关系。
［师］很好，你分析问题很仔细，那么到底有多少笼子会没 装满？
［生］只会有一 个，若设有 个笼子，则第 个笼子可能没有被装满。
［师］不错，那么，可能没装满你们是怎么理解的呢？
［生］即是有可能装了一只，也有可能装满了。
［师］题中的量之间有什么关系？
［生甲］若设有个笼子则应该有只鸡，则第个笼子里应该装的鸡的个数是 只，它应是大于或等于一只，并且小于或等于5只，于是可以得到 并且 ，笼子数个应该同时满足这两个不等式。
［生乙］也可以这样理解，若设有个笼子，则应该有只鸡，若用个笼子装鸡，因为第个笼子中还有鸡，所以 ；若用 个笼子装鸡，因为第 个笼子不一定装满，所以 ，笼子数 个应该同时满足这两个不等式。
［师］真棒！分析问题就是应该这样细致且从不同的方面去考虑，根据以上两位同学的 分析我们可以设有 个笼子，则由题意可得不等式：
（1）
（2）
或 （3）
（4）
笼子数 个应该同时满足不等式（1）（2）或者是不等式（3）（4）。
把不等式（1）（2）合在一起用括号括起来可得
②
把不等式（3）（4）合在一起用括号括起来可得
③
［师］从上面①、②、③的形式中，大家能否根据一元一次不等式的有关概念来类推一元一次不等式组的有关概念呢？请互相讨论。
［生］可以。
一般地，由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组
［师］定义中的几个是指两个或两个以上。
大家能猜想一下这个一元一次不等式组中的x的值吗？
［生］既然不等式组是几个不等式的组合，所以x的值应是每个不等式的解集的组合。即每个不等式的解集相加而得，如解不等式①中的（1），（2）得 ，所以不等式组的解集为加 即为全 体实数再加上1~1.25之间的数。
［师］大家同意他的观点吗？
［生］不同意， 不等式组的解集不是每个不等式的解集的相加，而是每个不等式的解集的公共部分。
［师］非常正确，请大家用类比推理的方法叙述其他有关概念。
［生］一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
2、例题讲解
例1、解不等式组：
(
（
2
）
) (
（
1
）
)
［师］既然不等式组的解集是每个不等式解集的公共部分，首先必须求出每个不等式的解集，然后才能求它们的公共部分.在这里求公共部分是重点，而求解不等式的解集在上一节课中我们已做了练习，因此没有必要把求解不等式的解集的过程全部写出来。
解：解不等式(1)，得x＞ ,
解不等式(2)，得
在同一条数轴上分别表示不等式的解集为：
图1－27
从图中可知，这两个不等式解集的公共部分是原不等式组的解集，因此，原不等式组的解集为 。
从这个不等式组的解集的确定中我们可以看出，利用数轴来确定不等式组的解集，直观方便。
例2、解不等式组
(
（
2
）
) (
（
1
）
)
解：解不等式（1），得；
解不等式（2），得 。
在数轴上分别表示两个不等式的解集为
从图中可知，这两个不等式解集无公共部分，因此原不等式组无解。
III、课堂练习
练习1、说出下列不等式组的解集：（口答）
（1） （2） （3） （4）
解：（1）不等式组的解集为 ；
（2）不等式组的解集为
（3）不等式组的解集为
（4）不等式组无解。
练习2、解下列不等式组，并把解集表示在数轴上。（学生演板）
（1） （2）
解：（1） （2）
IV、课时小结
本节课学习了如下内容：
1.理解有关不等式组的有关概念。
2.会解有两个一元一次不 等式组成的一元一次不等式组，并会用数轴确定解 集。
V、活动与探究
(
（
3
）
) (
（
2
）
) (
（
1
）
)解不等式组
解：解不等式（1），得x＞－1
解不等式（2），得x＜2
解不等式（3），得x＜1
在同一条数轴上表示不等式（1）（2）（3）的解集为：
所以，原不等式组的解集为－1＜x＜1。
板书设计
§7.3 一元一次不等式组（一）
一、一元一次不等式组的有关概念
（1）一元一次不等式组的定义；
（2）一元一次不等式组的解集的定义；
（3）解不等式 组的过程 。
二、例题讲解
三、课堂练习
四、课时小结
五、课后作业
参考练习
一、填空题
1.不等式2x－4＜0的解集是__________。
2.不等式组 的解集是__________。
3.不等式组 的解集是__________。
4.不等式组 的解集是__________。
5.不等式组 的解集是__________。
7.2 一元一次不等式（一）
教学目标
◆1、知道什么是一元一次不等式和不等式的解.
◆2、掌握一元一次不等式的解法．
◆3、通过＂等与不等＂的对比使学生进一步领会对立统一的思想．
教学重点与难点
◆教学重点：掌握解法步骤并准确地求出解集.并能准确的把解表示在数轴上.
◆教学难点：正确地运用不等式基 本性质3.
◆教 学关键：一元一次不等式与一元一次方程的解法步骤的区别，等式性质2与不等
式的基本性质的区别[
教学过程
一、创设情景
1、先复习不等式性质，解一元一次方程的解法。
1、 题组练习：用“>”和“<”填空
（1）2 0；-5 2；-7 -10；
（2）设a>b,则：
a+1 b+1 a-3___b-3 3a 3b -a -b
2、 议论
（1）根据不等式的基本性质，说明下列语句对不对：
①从5 > 4一定能得到5a>4b,
②从 1/3< 1一定能得到 1/3a
（2）①甲在不等式-100 < 0的两边都乘以-1，竟得到100<0！它错在哪里？
②乙在不等式2x > 5x的两边都除以x，竟得到2 > 5！它错在哪里？
生：[由学习小组（4人或6人）讨论后选一代表回答]
3、回忆解一元一次方程的一般步骤并完成练习：
解下列方程，并用数轴表示它的解：
(1)3x=18; (2)5x-3=7x+1 ;
注：由四个学习小组出两名同学自选一题上黑板演算，并对挑选较难 题的同学进行激励评价。
4、Ⅰ将方程中的等号改写为不等号引入概念：
（1）3 x<18 ; (2)5x-3≥7x+1;
提出问题：对比一元一次方程的定义，给这两个式子起一个名字。
给出定义：只含有一个未知数， 未知数的 次数是1 的不等式叫做一元一次不等式。
5、引出课题：我们今天就是来探讨一元一次不等式的解法（板书：一元一次不等式的解法1）
二、新课教学
1 想一想：把x=8代入不等式3x<18，不等式成立吗？能否因此就说不等式的解是x=8？
生：不是，还有很多。
师：哦，原来还有很多很多的解 哦！那请同学们帮老师把他们在数轴上指出来（师画数轴，叫一学生上来指出）
2、得出：不等式解的概念：能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称不等式的解。
3老师讲述怎样用数轴表示不等式解的方法（强调等号取于不取的不同之处）
4、试一试解下列不等式，并把解表示在数轴上；
（1）3x<18 ; (2)5x-3≥7x+1 ;
师：（1）解不等式就是利用不等式的基本性质，把要求解的不等式变形“x解：（1） x< 9
（2）两边同加上-7x，再在不等式两边同加上3得： 5x-7x≥1+3
合并同类项得：-2x≥4
两边同除以-2得：x≤-2（注意学生改写时，不要把不等号的方向弄错）
师：（2）解方程的移项法则对解不等式是否仍然适用？若适用，它的根据是什么
三、练一练
1解下列不 等式，并把解表示在数轴上；
（1）1-x＞2；（2）5x-4＞4-3x；（3）-- x≤1；（4）6x-1< 9x-4
2、解不等式2.5x-4< x-1，把 解表示在数轴上，并求出适合不等式的正整数解。
四、小结
1、让学生来总结：这节课你们有什么收获。
2、需要特别注意什么？
（如果乘数或除数是负数，要把不等号方向改变，即必须特别注意不等式基本性质
五、巩固新知，体验成功。
七、结束语：
同学们这节课学得很好，相信你们课后能很轻松地完成作业！
7.2 一元一次不等式（二）
教学目标
◆1、掌握解一元一次不等式的一般步骤.
◆2、会运用解一元一次不等式的一般步骤解一元一次不等式．
教学重 点与难点
◆教学重点：运用解一元一次不等式的一般步骤解一元一次不等式.
◆教学难点：例2步骤较多，容易发生错误，是本节教学 的难点.
教学过程
一、复习旧知，引入新课：
1、不等式的三个基本性质。
2、一元一次不等式的概念。
3、不等式的解的概念。
二、合作交流，探求新知：
1、合作学习，根据已学过的知识，你能解下列一元一次不等式吗？
（1）5 x>3(x-2)+2 (2)2m-3<(7m+3)/2
2、解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤类似。解一元一次不等式的一般步骤和根据如下：
步骤 根据
1 去分母 不等式的基本性质3
2 去括号 单项式乘以多项式法则
3 移项 不等式的基本性质2
4 合并同类项，得ax>b,或ax5 两边同除以a(或乘1/a) 不等式的基本性质3
1 去分母 不等式的基本性质3
2 去括号 单项式乘以多项式法则
3 移项 不等式的基本性质2
4 合并同类项，得ax>b,或ax5 两边同除以a(或乘1/a) 不等式的基本性质3
3、例1、解不等式3(1-x)>2(1-2x)
解：去括号，得3-3x>2-4x
移项，得-3x+4x>2-3
合并同类项，得x>-1
4、例2、 解不等式(1+x)/2≤(1+2x)/3+1
解：去分母，得 3（1+x）≤2(1+2x)+6
去括号，得3+3x≤2+4x+6
移项，得 3x-4x≤2+6-3
合并同类项，得-x≤5
两边同除以-1，得x≥-5
注：1、五个步骤要求当堂背出，同桌之间可以互相核对。
2、要求作业严格按照上述步骤 进行。
三、课内 练习
解下列不等 式，并把解在数轴上表 示出来：
（1）5x-3<1-3x
(2)3(1-3x)-2(4-2x) ≤0
(3)(2x-1)/4-(1+x)/6≥1
四、小结：1、解一元一次不等式的基本步 骤。
2、不等 式的解在数轴上的表示方法。
五、作业：
1、当x______时，代数式 的值是非负数
2、不等式3（x-1）≥5x-3的自然数解是______
3、a______时，代数式2a-3的值不小于5a+3的值。
4、解不等式 的过程：① ②
③ ④ 其中造 成解答错误的一步是______
A ① B ② C ③ D ④
5、解不 等式，并把解集在数轴上表示出来。
（1） （2）
（3）
7.1 不等式及其基本性质
【教学内容】
课本上不等式的五个基本性质，并学会应用.
【教学目标】
1、掌握不等式的五个基本性质并且能正确应用.
2、经历探究不等式基本性质的过程，体会不等式与等式的异同点，发展学生分析问题和解决问题的能力.
3、开展研究性学习，使学生初步体会学习不等式基本性质的价值.
【重点难点】
重点：理解不等式的五个基本性质.
难点：对不等式的基本性质3的认识.
【教学方法】
本节课采用“类比－实验－交流”的教学方法.
【教学过程】
一、回顾交流.
1、等式的基本性质
解一元一次方程的基本步骤
2、问题牵引：
用“﹥”或“﹤”填空，并总结其中的规律：
（1）5>3， 5+2 3+2 ， 5－2 3－2 ；
（2）–1<3 ， -1+2 3+2 ， -1－3 3－3 ；
结果：
（1）>、>（2）<、<
根据发现的规律填空：
当不等式两边加或减去同一个数（正数或负数）时，不等号的方向?______
3、继续探究，接着又出示（3）、（4）题：
（3）6＞2， 6×5 2×5 ，6×（-5） 2×（-5），
（4）2<3，（-2）×6 3×6 ，（-2）×（-6） 3×（-6）.
得到：
当不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；
当不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变.
总结出不等式的性质：
不等式的性质1：不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.
字母表示为：如果a＞b，那么a±c > b±c
不等式的性质2：不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
字母表示为：如果a>b，c>0那么ac > bc，
不等式的性质3：不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
字母表示为：如果a＞b，c＜0那么ac < bc，
不等式的对称性：如果a>b，那么b不等式传递性：如果a>b，b>c，那么a>c
二、范例学习，应用所学.
1、利用不等式的性质解下列不等式．
（1）x-7＞26 （2）3x<2x+1
（3）x﹥50 （4）-4x﹥3
2、逐题分析得出结果.
（1）x-7＞26
分析：解未知数为x的不等式，就是要使不等式逐步化为x﹥a或x﹤a的形式．
解：（1）为了使不等式x-7＞26中不等号的一边变为x，根据不等式的性质1，不等式两边都加7，不等号的方向不变，得
x-7+7﹥26+7
x﹥33
（2）3x<2x+1
为了使不等式3x<2x+1中不等号的一边变为x，根据不等式的性质1，不等式两边都减去2x，不等号的方向不变.
3x-2x﹤2x+1-2x
x﹤1
通过两小题得到：解不等式时也可以“移项”，即把不等式的一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向．
（3）x ﹥50
为了使不等式 x﹥50中不等号的一边变为x，根据不等式的性质２，不等式的两边都乘
不等号的方向不变，得
x﹥75
（4）-4x﹥3
为了使不等式-4x﹥3中的不等号的一边变为x，根据不等式的性质3，不等式两边都除以-4，
不等号的方向改变，得x<-
通过（3）（4）的求解过程，类似于解方程两边都除以未知数的系数（未知数系数化为1），解不等式时要注意未知数系数的正负，以决定是否改变不等号的方向.
三、课堂探究.
已知a<0，试比较2a与a的大小.
四、课堂小结提问.
不等式性质的作用.
