2.1.2离散型随机变量的分布列(共36张PPT)

(共36张PPT)
2.1.2离散型随机变量的分布列
断案——兔子是谁打死的？
在还未禁猎的年代，有一天，两位猎人同时发射一枪，打死一只正在奔驰的野兔，二人直奔猎物，都想得到这个战利品，于是争论起来.
一智者路过此地，问明事由，出面调解，猎人甲称：“我的枪法百发百中，兔子是我打死的.”猎人乙争辩道：“我的枪法比他准，兔子分明是我打中的.”智者道：“你们不必争吵了，听我安排. ”智者命二人向同一目标各打五枪，甲的命中率为0.4，乙的命中率为0.6 . 甲以为这下完了，兔子必判给乙，很丧气，扭头便走，智者喊到：“且慢，听我慢慢道来.”
智者经计算，告诉二人：“既然兔子已被你们打死，那么甲单独击中的机会是0.4，乙单独击中的机会是 0.6，二人共同击中的机会是0.24 .”他建议：“如果此猎物价值若干，你们可按七比十二分配.”结果兔子卖了五十七元，甲分得二十一元，乙分得三十六元，两人皆大欢喜，欣然而归.
请同学们想一想，这个分配方案是否合理？智者是如何做出这个分配方案的？
抛掷一枚骰子，求所得点数及取各值的概率.
X 1 2 3 4 5 6
P
1.分布列
设离散型随机变量ξ可能取得值为
x1，x2，x3，…，
ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为
P(ξ= xi)=pi，则称表
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.
ξ x1 x2 … xi …
P P1 P2 … Pi …
2.分布列的其它表示方法

1.表达式法
P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n
2.图示法
离散型随机变量的分布列有何性质？
函数可以用解析式，表格或图象表示，离散性随即变量的分布列也可以用解析式，表格或图象表示.
2.离散型随机变量的分布列的性质
任何随机事件发生的概率都满足:0≤Pi≤1，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
⑴Pi≥0，i＝1，2，…；
⑵P1+P2+…=1.
3.两点分布

只有两个可能取值的随机变量所服从的分布，称为两点分布. 其概率函数为　　　　
P{ξ=xk}=pk (k=0,1)
X 0 1
P 1-p p
一批产品的废品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量来描述废品出现的情况.即写出分布列.
解?:
这个试验中，用ξ表示废品的个数，显然ξ只可能取0及1两个值.
ξ=0，表示“产品是废品”，即P(ξ=0)=1-5%=95%
ξ=1，表示“产品为合格品”，其概率为这批产品的合格率，即??P(ξ=1)=5%?，
列成概率分布表如下所示：
ξ 0 1
P 95% 5%
两点分布又称0-1分布.由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验，所以还称这种分布为伯努利分布.
两点分布列的应用非常广泛.例如抽取的彩票是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究.
在含有5件次品的100件产品中，任取3件，求：
（1）取到的次品数X的分布列；
（2）至少取到一件次品的概率.
解：
（1）因为从100件产品中任取3件的结果数为C1003，从100件产品中任取3件，其中恰有k件次品的结果数为C5kC953-k,所以100件产品中任取3件，其中恰有k件次品的概率为
P(X=k)= C5kC953-k / C1003 ，k=0，1，2，3 .
因此随机变量的分布列为
（2）根据随机变量X的分布列，可得至少取到1件次品的概率为
P(X>=1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)
≈0.13806+0.00588+0.00006
=0.14400
X 0 1 2 3
P
4.超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则
P(X=k)= CMkCN-Mn-k / CNn ，k=0，1，2，…，m， 即
其中m=min{M,n}，且n<=N，M<=N，n，M，N N*.
如果随机变量X的分布列具有上表形式，则称随机变量X服从超几何分布.
X 0 1 … m
P …
某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率.
ξ 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
分析：“射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“ξ＝7”、“ξ＝8”、“ξ＝9”、“ξ＝10”的和，根据互斥事件的概率加法公式，可以求得此射手“射击一次命中环数≥7”的概率.
解：根据射手射击所得的环数ξ的分布列，有
　　　P(ξ=7)＝0.09，P(ξ=8)＝0.28，
P(ξ=9)＝0.29，P(ξ=10)＝0.22.
所求的概率为 P(ξ≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22
＝0.88 .
1.离散型随机变量的分布列概念
根据随机变量的概率分布（分布列），可以求随机事件的概率.
2.分布列的三种表示方法
（1）表达式法;
（2）图示法;
（3）表格法.
3.分布列的两条性质
（1）Pi≥0，i＝1，2，…；
（2）P1+P2+…=1.
4.两种典型分布
（1）两点分布;
（2）超几何分布.
1.（2018年北京卷理）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.

（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加 岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ）设随机变量 为这五名志愿者中参加 岗位服务的人数，求 的分布列.
（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E， 那么

所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是
解：
（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加 岗位服务为事件 ，那么 ，
即甲、乙两人同时参加 岗位服务的概率是 .
（Ⅲ）随机变量 可能取的值为1，2．事件“ξ=2”是指有两人同时参加 岗位服务，
则 ．
所以 ，ξ的分布列是
ξ 1 2
P 0.75 0.25
1.填空
（1）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续取出5件，其中次品数ξ的分布列为________.
ξ 0 1 2 3 4 5
P 0.95 0.5×0.94 0.1×0.93 0.01×0.92 4.5×0.14 0.15
（2） 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？
①
②
③
④
解：
（1）是.
（2） ,所以它不是随机变量的分布列.
（3） ，所以它不是随机变量的分布列.
2.选择

（1）3设随机变量 的分布列为 ，则a的值为( )

A .1； B.9/13； C.11/13； D.27/13

（2）下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是（）
√
A.
ξ －1 0 1
P 0.3 0.4 0.4
B.
C.
D.
√
ξ 1 2 3
P 0.4 0.7 －0.1
ξ －1 0 1
P 0.3 0.4 0.3
ξ 1 2 3
P 0.3 0.4 0.4
3.解答题
（1）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中的任意连续取出2件，求次品数的概率分布.
解： ξ的取值分别为0、1、2
ξ =0表示抽取两件均为正品 ；
∴p(ξ=0）=C20(1－0.05)2=0.9025 .
ξ =1表示抽取一件正品一件次品；
P(ξ=1）= C21 (1－0.05)×0.05=0.95
ξ =2抽取两件均为次品；
P(ξ=2）= C22 0.052=0.0025
∴ξ的概率分布为：

ξ 0 1 2
p 0．9025 0．095 0．0025
（2）随机变量ξ的分布列为
解：由离散型随机变量的分布列的性质有
解得：
（舍）或
（3）设随机变量 的分布列为： ，

求 ① ;
② ;
③ .
解：

① ;

②

③