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第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
1、 教学目标
了解勾股定理的发现过程，理解并掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能应用勾股定理进行简单的计算．
2、 重点难点
重点
勾股定理的内容和证明及简单应用．
难点
勾股定理的证明．
3、 教学设计
（1） 新知导入
展示PPT2、PPT3、PPT4
国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术会议．2002年在北京召开了第24届国际数学家大会．如图就是大会的会徽的图案．
你见过这个图案吗？ 它由哪些基本图形组成？
毕达哥拉斯(公元前572----前492年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。相传有一次他在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了A、B、C三者面积之间的数量关系，进而发现直角三角形三边的某种数量关系．
（2） 新知讲解
问题1 试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？
观察右边两幅图：
填表（每个小正方形的面积为单位1）：
A的面积 B的面积 C的面积
左图
右图
方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：
方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：
根据前面求出的C的面积直接填出下表：
思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
由上面的几个例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
下面动图形象的说明命题1的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
证明命题1的方法有很多，下面介绍我国古人赵爽的证法。
证法2 毕达哥拉斯证法
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
归纳总结
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理.
? 公式变形：
a、b、c为正数
（3） 课堂练习
1.下列说法中,正确的是 （ ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .
3. 如图，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D 的边长分别是12，16，9，12．求最大正方形E 的面积．
解：如图所示,正方形A、B、C、D的边长分别是12,16,9,12.
设直角三角形的斜边长为c .由勾股定理知,
122+162=c2,c=20 ，即正方形F的边长为20.
同理可得， 正方形G的边长为15.
故直角三角形的两直角边分别为20，15.
设它的斜边长为k，由勾股定理知,
202+152=k2，k=25.
正方形E的边长为25，S正方形E=25×25=625
（4） 拓展提高
1.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm.
由勾股定理得152+ x2 =172，
即x2=172-152=289–225=64，
∴ x=±8（负值舍去），
∴另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
4、 课堂总结
勾股定理：
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a?+b?=c?.
公式变形：
注意：1、在直角三角形中
2、看清哪个角是直角
3、已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
5、 板书设计
六、作业设计
课后作业：课本第24页练习第1题，课本28页习题17.1第1题。
(cm2).
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
(共26张PPT)
人教版 八年级下
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
新知导入
新知导入
国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术
会议．2002年在北京召开了第24届国际数学家大会．如
图就是大会的会徽的图案．
你见过这个图案吗？
它由哪些基本图形组成？
新知导入
毕达哥拉斯(公元前572----前492年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。相传有一次他在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了A、B、C三者面积之间的数量关系，进而发现直角三角形三边的某种数量关系．
每块砖都是等腰直角三角形哦
新知讲解
问题1 试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？
新知讲解
一直角边2
另一直角边2
斜边2
+
=
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？
新知讲解
观察右边两幅图：
填表（每个小正方形的面积为单位1）：
4
？
怎样计算正方形C的面积呢？
9
16
9
A的面积 B的面积 C的面积
左图
右图
新知讲解
方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：
左图：
右图：
新知讲解
方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：
左图：
右图：
你还有其他办法求C的面积吗？
新知讲解
根据前面求出的C的面积直接填出下表：
4
13
25
9
16
9
思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
A的面积 B的面积 C的面积
左图
右图
新知讲解
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
由上面的几个例子，我们猜想：
下面动图形象的说明命题1的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
新知讲解
证明命题1的方法有很多，下面介绍我国古人赵爽的证法。
赵爽弦图证明勾股定理
=
c
数形结合思想
等 积 变 换
b
a
新知讲解
∵ c2=
=b2-2ab+a2+ 2ab
=a2+b2
∴ a2+b2=c2
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为
c2
赵爽弦图证明勾股定理
新知讲解
证法2 毕达哥拉斯证法
∵ (a+b)2 =
a2+2ab+b2 = 2ab +c?
∴a2+b2=c2
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为
(a+b)2
新知讲解
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三，求证：a2 + b2 = c2.
a
a
b
b
c
c
如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式,得
化简,得
新知讲解
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
勾股定理
a
b
c
归纳总结
新知讲解
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理.
新知讲解
c2=a2 + b2
a2=c2 － b2
b2 =c2 －a2
结论变形
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
课堂练习
1.下列说法中,正确的是 （ ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
C
2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .
36 cm?
课堂练习
3. 如图，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D 的边长分别是12，16，9，12．求最大正方形E 的面积．
F
G
K
H
解：如图所示,正方形A、B、C、D的边长分别是12,16,9,12.
设直角三角形的斜边长为c .由勾股定理知,
122+162=c2,c=20 ，即正方形F的边长为20.
同理可得， 正方形G的边长为15.
故直角三角形的两直角边分别为20，15. 设它的斜边长为k，由勾股定理知,
202+152=k2，k=25.
正方形E的边长为25，S正方形E=25×25=625
拓展提高
1.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm.
由勾股定理得152+ x2 =172，
即x2=172-152=289–225=64，
∴ x=±8（负值舍去），
∴另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
(cm2).
课堂总结
勾股定理：
内容
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a?+b?=c?.
注意：
1、在直角三角形中
2、看清哪个角是直角
3、已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
公式变形：
板书设计
勾股定理
内容
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
作业布置
课后作业：课本第24页练习第1题，课本28页习题17.1第1题。
谢谢
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