2.2.1条件概率(共39张PPT)

(共39张PPT)
2.2.1条件概率
三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小.
因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有YYY和YYY．而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是YYY
由古典概型计算公式可知．最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 ，不妨记为P（B|A ) ，其中A表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”.
如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？
已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？
在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件 A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件 A 中，从而影响事件 B 发生的概率，使得 P(B|A)≠P ( B ) .
用 表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即
={YYY ，YYY ，YYY}
既然已知事件A必然发生，那么只需在
A={YYY，YYY}的范围内考虑问题，即只有两个基本事件在事件 ,A 发生的情况下事件B发生.
对于上面的事件A和事件B，P(B|A)与它们的概率有什么关系呢？
等价于事件 A 和事件 B 同时发生，即 AB 发生．而事件 AB 中仅含一个基本事件YYY ，因此
P(B|A)= =
其中n ( A）和 n ( AB）分别表示事件 A 和事件 AB 所包含的基本事件个数．另一方面，根据古典概型的计算公式.
其中n( )中包含的基本事件个数．所以，
=
因此，可以通过事件A和事件AB的概率来表示P（B| A ).
1.条件概率
一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，称
为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率. P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率.
2.两个性质
（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即　　　
0≤P(B|A) ≤1.
（2）如果B和C是两个互斥事件，则
P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).
在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求：
（l）第1次抽到理科题的概率；
（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；
（3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率.
解?:
设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.
（1）从5道题中不放回的一次抽取2刀的事件数为
n( )=A52=20.
根据分步乘法计数原理，n(A)=A31×A41=12.于是
（2）因为n(AB)= =6，所以
（3）解法1 由(1)(2)可得，在“第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题”的概率为
解法2 因为n(AB)=6,n(A)=12，所以
为了防止意外，矿井内同时装有A与B两种报警设备，已知设备A单独使用时有效的概率为0.92，设备B单独使用时有效的概率为0.93， 在设备A失效的条件下，设备B有效的概率为0.85，求发生意外时至少有一个报警设备有效的概率.
解：
设事件A, B分别表示设备A, B有效．
已知
求
解法1
即
故
解法2
故
由
发报台分别以概率 0.6 及 0.4 发出信号“·”及“-”，由于通信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台以概率 0.8及 0.2 收到信号“·”及“-”；又当发出信号“-”时，收报台以概率 0.9 及 0.1 收到信号“-”及 ·” ，求
（1）当收报台收到信号“·”时，发报台确实发出信号“·”的概率；
（2）当收报台收到信号“-”时，发报台确实发出信号“-”的概率.
分析：
完成该事件分两步：第一步发出信号“.” “-”，分别设为A1，A2，第二步收到信号“.” “-”，分别设为B，C，则本题要求：P(A1|B)，P(A2|C).
设A1表示发报台发出信号“.”，设A2表示发报台发出信号“-”.
B表示收报台收到信号“.”，C表示收报台收到信号“-”.
解：
则由已知：
1.条件概率的概念
2.条件概率的性质
0≤P(B|A) ≤1.
P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).
1.（2019年辽宁高考理科）某人向目标射击4次，每次击中目标的概率为1/3.该目标分为三个不同部分，第一，二，三部分面积比为1：3：6.击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比.
第二问：若目标被击中两次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”,求 P(A).
解：
设Ai：第一次击中的第i部分 Bi:第二次击中目标的第i部分


其中0.1就是在击中目标的条件下击中第一部分的条件概率，其它也是如此.
P(A)=P(A1×B1)+P(A1×B1）+P(A1×B1)+P(A2×B2)

=0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28
2.（2019年安徽高考理科）某地有A,B,C,D四人先后感染了甲型h1n1流感，只有A到过疫区. B肯定是受A感染的，对于C难以断定是受A还是B感染的，于是假设他受二人感染的概率都是1/2.同样D受ABC感染的概率各为1/3.设BCD中直接受A感染的人数为X,写出X的分布列，并求X的均值.
解：有6种感染可能:
其一：A传B传C传D ；
其二：A传B,B传C,D;
其三：A传B,D 然后B传C；
其四：A传B,C.然后B传D ;
其五：A传C,B然后C传D ;
其六：A传B,C,D .
1和2两种情况直接感染1人，3，4，5情况下直接感染2人，第6情况下直接感染3人.所以:
P(X=1)=1/2×(1/3)+1/2×(1/3)=1/3?
? P(X=2)=1/2×(1/3)+1/2×(1/3)+1/2×(1/3)=1/2
P(X=3)=1/2×(1/3)=1/6
根据条件概率公式
P(A1×A2)=P(A1)×P(A2|A1)=1/2×(1/3)计算方妥.
1.填空
（1）已知P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A∪B)=0.6，则P(AB)=________.
解:∵P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
∴P(AB)=P(A)+P(B)- P(A∪B)=0.4+0.3-0.6=0.1
∴P(AB)=P(A)-P(AB)=0.4-0.1=0.3.
（2）设工厂A和工厂B产品的次品率分别为1％和2％，现从由A和B的产品分别占60％与40％的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A生产的概率是______.
（1）设随机变量ξ的分布列为 ，则a的值 为( )

A.1； B.9/13；
C.11/13； D.27/13
（2）设A，B是两个随机事件，且00,P(B|A)=P(B|A),则必有（ ）
A.P(A|B)=P(A|B); B.P(A|B) ≠P(A|B)
C.P(AB)=P(A)P(B); D.P(AB) ≠P(A)P(B);
2.选择
√
√
3.解答题
（1）一批零件共100个,次品率为10％,每次从其中任取一个零件,取出的零件不再放回去,
①求第三次才取得合格品的概率；
②如果取得一个合格品后,就不再继续取零件，求三次内取得合格品的概率.
解：设 Ai=“第i次取得合格品”,（i=1，2，3）
则 Ai=“第i次取得次品”,（i=1，2，3），
所求概率为
①所求事件为
②设A 表示事件“三次内取得合格品”,则A 有下列几种情况:
（2）10个考签中有4个难签， 3人参加抽签(不放回)，甲先、乙次、丙最后. 求甲抽到难签，甲、乙都抽到难签， 甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率.
P(A)=m/n=4/10
P(AB)=P(A)P(B|A)=
P( )=P( )P(B| )=
P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)
=
解 ： 设事件A，B、C分别表示甲、乙、丙各抽到难签，则
1.设第1次抽到A的事件为B，第2次抽到A事件为C，则第1次和第2次都抽到A的事件为BC .
解法1：在第1次抽到A的条件下，扑克牌中仅剩下51张牌，其中有3张A，所以在第1次抽到A的条件下第2次也抽到A的概率为
解法2：在第1次抽到A的条件下第2次也抽到A的概率
解法3：在第1次抽到A的条件下第2次也抽到A的概率
2. 设第1次抽出次品的事件为B，第2次抽出正品的事件为C，则第1次抽出次品第2次抽出正品的事件为BC .
解法1：在第1次抽出次品的条件下，剩下的99件产品有4件次品，所以在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为
解法2：在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为
解法3：在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为
3. 例1 箱中3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3人无放回的任意抽取，在已知第一个人抽到奖券的条件下，第二个人抽到奖券的概率或第3个人抽到奖券的概率，均为条件概率，它们都是0.
例2 某班有45名同学，其中20名男生，25名女生，依次从全班同学中任选两名同学代表班级参加知识竞赛，在第1名同学是女生的条件下，第2名同学也是女生的概率.