2.2.2事件的相互独立性(共37张PPT)

(共37张PPT)
2.2.2事件的相互独立性
根据我国民间流传寓意深刻的谚语“三个臭皮匠臭死诸葛亮”设计这样一个问题：
已知诸葛亮想出计谋的概率为0.85，三个臭皮匠甲、乙、丙各自想出计谋的概率各为0.6、0.5、0.4.问这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗？
学生的解法可能为:
设事件A:“臭皮匠老大”猜出谜语;
事件B:“臭皮匠老二”猜出谜语;
事件C:“臭皮匠老三”猜出谜语.
则谜语被猜出的概率P=P(A)+P(B)+P(C)
=0.6+0.5+0.4
=1.5
此解明显错误！
原因呢？
错误原因:

① P=1.5﹥1

这与0≤P≤1矛盾.

② 事件A、B、C并非互斥事件，因为它们可能同时发生.
问题1 什么是条件概率？
般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.
问题2 条件概率公式？
一个盒子中有６只黑球、４只白球，从中有放回地摸球. 求:

（1） 第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率；
（2） 第二次摸到黑球的概率.
解：
A={第一次摸到黑球}，B={第二次摸到黑球}
则
P(B|A)=P(B),
P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).
1.相互独立
设A、B为两个事件，若
P(AB)＝P(A)P(B)，
则称事件A与事件B相互独立(mutually independent).
=P(A)-P(AB)
= P(A)[ 1-P(B)]
= P(A)-P(A)P(B)
如图 ，用X，Y，Z 三类不同的元件连接成系统 ．当元件X，Y，Z都正常工作时，系统N正常工作．已知元件X，Y，Z正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90，求系统 正常工作的概率 ．
解?:
若将元件正常工作分别记为事件A，B，C，则系统正常工作为事件ABC．
根据题意，有P(A)=0.80，P(B)=0.90，P(C)=0.90 ．
因为事件 是相互独立的，所以系统N正常工作的概率
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.80×0.90×0.90=0.648.
即系统正常工作的概率为 P=0.648.
变式：若X、Y、Z按如图方式连接成一个系统，当元件X正常工作和Y、Z中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，求这个系统正常工作的概率.
分析：系统正常工作可分三种情况：
（１）Ｘ、Ｙ正常，Ｚ不正常；
（２）Ｘ、Ｚ正常，Ｙ不正常；
（３）Ｘ、Ｙ、Ｚ都正常.
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}，问事件A、B是否独立.
解：
由于P(A)=4/52=1/13，P(B)=26/52=1/2，
P(AB)=2/52=1/26
可见 P(AB)=P(A)P(B)
说明事件A，B独立.
甲乙二人向同一目标射击，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5 . 试计算
（1）两人都击中目标的概率；
（2）恰有一人击中目标的概率；
（3）目标被击中的概率.
解：
设A表示“甲击中目标”，B表示“乙击中目标”
则
P(A)=0.6，P(B)=0.5
P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.5=0.3
甲、乙、丙三门炮同时向同一架飞机射击，设其命中率分别为0.4，0.5，0.7，若只有一炮命中，飞机坠毁的概率为0.2，若有两炮命中，飞机坠毁的概率为0.6，若三炮命中，则飞机必坠毁.求飞机坠毁的概率.
解：记 Ai=“恰有 i 炮命中” ，i= 0，1，2，3
B=“飞机坠毁”，则由全概率公式有
P（B）=∑P(Ai)·P（B︱Ai）
= 0.09×0+0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1
= 0.458
i=0
3
1.相互独立的概念
2.(2017年韶关一模文)有3张奖券，其中2张可中奖，现3个人按顺序依次从中抽一张，小明最后抽，则他抽到中奖券的概率是（ ）

A. 1/3 B. 1/6 C. 2/3 D.1/2
1. (2018年辽宁理) 4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）

A. 1/3 B. 1/2 C. 2/3 D. 3/4
C
C
3.(2018年广州调研文)已知射手甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12．

（1）求甲射击一次，命中不足8环的概率；
（2）求甲射击一次，至少命中7环的概率.
解：记“甲射击一次，命中7环以下”为事件A，“甲射击一次，命中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件，
（1）“甲射击一次，命中不足8环”的事件为A+B，
由互斥事件的概率加法公式，

答：甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22．
（2） 记“甲射击一次，命中8环”为事件C，“甲射击一次，命中9环（含9环）以上”为事件D，则“甲射击一次，至少命中7环”的事件为A+C+D，




答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．
1.填空
（1）甲、乙两人向同一目标射击,记 A={甲命中},
B={乙命中}, A 与 B 是否独立？______.
分析：
由于 “甲命中” 并不影响 “ 乙命中” 的概率(即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率),故可认为 A 与 B 独立 .
（2）甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0.6，计算：

①两人都投中的概率是______ ；
②其中只有甲投中的概率是______ ；
③其中恰有一人投中的概率是______ ；
④至少有一人投中的概率是______ .
0.36
0.24
0.48
0.84
（2）设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，错误的是：
A. P(B|A)>0 B.P(A|B)=P(A)
C. P(A|B)=0 C. P(AB)=P(A)P(B)
（1）设A、B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：
A. P(B|A)>0 B. P(A|B)=P(A)
C. P(A|B)=0 D. P(AB)=P(A)P(B)
2.选择
√
√
3.解答题
（1）三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？
解：将三人编号为1，2，3，
记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3
所求为 P(A1+A2+A3)
已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4
P(A1+A2+A3)
=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]
（2）一批产品共n件，从中抽取2件, 设 Ai={第 i 件是合格品} i=1, 2,
解：
①若抽取是有放回的,因为第一次抽取的结果不会影响第二次抽取结果,所以 A1与 A2独立.
②若抽取是无放回的，因为第一次抽取的结果会影响到第二次抽取结果,则 A1与 A2不独立.
（3）设每个人的呼吸道中带有感冒病毒的概率为0.002，求在1500人的电影院中存在感冒病毒的概率有多大？
解：记 Ai=“第i个人带有感冒病毒”，
并设各人是否带有感冒病毒是相互独立，
则由性质1.6.4 即知
P（A1∪A2∪…∪A1500）= 1-[1-P（Ai）]
=1-（1-0.002）×1500=0.95.
（4）下面是一个串并联电路示意图. A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件. 它们下方的数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常工作的概率.
解：
将电路正常工作记为W，由于各元件独立工作，有
P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H)
其中
P(C+D+E)=1-
P(F+G)=1-
代入得
1.利用古典概率计算概率的公式，可以求得
P(A)=0.5，P(B)=0.5，P(C)=0.5，
P(AB)=0.25，P(BC)=0.25，P(AC)=0.25.
可以验证
P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，
P(AC)=P(A)P(C)
所以根据事件相互独立的定义，有事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立.
2.（1）先摸出1个白球不放回的条件下，口袋中剩下3个球，其中仅有1个白球，所以在先摸出1个白球不放回的条件下，再摸出1个白球的概率是1/3.
（2）先摸出1个白球后放回的条件下，口袋中仍然有4个球，其中有2个白球，所以在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是1/2.
3.设在元旦期间甲地降雨的事件为A，乙地降雨的事件为B.
（1）甲、乙两地都降雨的事件为AB，所以甲乙两地都降雨的概率为
P(AB)=P(A)P(B)=0.2×0.3=0.06.
（2）甲、乙两地都不降雨的事件为AB，所以甲乙两地都不降雨的概率为
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.7=0.56.
（3）其中至少一个地方降雨的事件为(AB) ∪(AB) ∪(AB)，由于事件AB，AB和AB两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，其中至少一个地方降雨的概率为
P(AB)+P(AB)+P(AB)=0.06+0.2×0.7+0.8×0.3=0.44.
4.见幻灯片12.
5. 例1 同时掷甲、乙两枚色子，事件A表示甲色子出现的是4点，事件B表示乙色子出现的是4点，则事件A与事件B相互独立.
例2 从装有5个红球3个白球的袋子中又放回地一次任意摸出两球，事件A表示第1次摸到红球，事件B表示第2次摸到白球，则事件A与事件B相互独立.