2.2.3独立重复试验与二项分布(共37张PPT)

(共37张PPT)
2.2.2独立重复试验与 二项分布
猜数游戏：
游戏:有八组数字，每组数字仅由01或10构成，同学们至少猜对四组才为胜利.
01
01
10
01
10
01
10
10
问题1： 前一次猜测的结果是否影响后一次的猜测？也就是每次猜测是否相互独立？



问题2： 游戏对双方是否公平？能否从概率角度解释？
独立
公平
（1） 求“重复抛一枚硬币 5 次,其有3次正面向上” 的概率.
（2） 求“重复掷一粒骰子3次,其中有2次出现 1 点的概率.
归纳两道题的相同点与不同点！
各次试验的结果不会受其它次试验影响.
相同点 不同点
1.重复做同一件事 “硬币”与“骰子”
“5”与“3”
…… ……
2.前提条件相同
3.都有两个对立的结果
1.独立重复试验
一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验(independent and repeated trials).
在n次独立重复试验中，“在相同的条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验结果的影响.
课开始时的游戏是否可以看成是独立重复试验？
游戏中，我们用X表示猜对的组数，下面分组探讨X的取值和相应的概率，完成下表.
对每组数
猜对的概率均为p= _____；
猜错的概率为q=1-p=________.
设AK表示“第K次猜对”的事件;B表示“共猜对K次”的事件(K=1,2,3…8）
猜对组数X 0 1 2 … k … 8
事件情况
概率计算
公式猜想
2.二项分布
在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X ，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k 次的概率为

则称随机变量X服从二项分布,
记作 X~B(n,p)，也叫Bernolli分布.
实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．
（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；
（2）按比赛规则甲获胜的概率.
解?:
甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为0.5，乙获胜的概率为0.5.
记A事件=“甲打完3局才能取胜”，
记B事件=“甲打完4局才能取胜”，
记C事件=“甲打完5局才能取胜”.
①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜.
∴甲打完3局取胜的概率为
②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负
∴甲打完4局才能取胜的概率为
③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负
∴甲打完5局才能取胜的概率为
(2)事件D ＝“按比赛规则甲获胜”，则 D=A+B+C，
又因为事件A 、B 、C 彼此互斥，
故



答：按比赛规则甲获胜的概率为0.5 .
某气象站天气预报的准确率为80% ，计算（结果保留两个有效数字）：
（1）5次预报中恰有4次准确的概率；
（2）5次预报中至少有4次准确的概率.
解：
（1）记“预报1次，结果准确”为事件A ．预报5次相当于5次独立重复试验，根据 独立重复试验中某事件恰好发生 的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率


答：5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.
（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即

答：5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74．
某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？
解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击n 次
记事件A ＝“射击一次，击中目标”，则P(A)=0.25.
∵射击n 次相当于n 次独立重复试验，
∴事件至少发生1次的概率为P=1-Pn(0)=1-0.75n．
由题意，令1-0.75n ≥0.75，
∴0.75n≤0.25 ，

∴ ，

∴n 至少取5.
答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次 .
1.独立重复试验的理解
（1）理解独立重复试验，试验的结果只有两种，要么发生，要么不发生.
（2）若在独立重复试验中，发生的概率为P，则不发生的概率为1-P.
（3）若在n次独立重复试验中，事件A发生的次数为X,每一次发生的概率为P，在独立重复试验中,事件A发生k次的概率公式为
P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k
2.能力总结
① 分清事件类型；
② 转化复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件.
3.思想、方法
① 分类讨论、归纳与演绎的方法；
② 辩证思想.
1. （2017年高考题）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．
解：
依题意，随机变量ξ~B(2，5%)．所以，
P(ξ=0)=C20(95%)2=0.9025；
P(ξ=1)=C21(95%)(5%)=0.095；
P(ξ=2)=C22(5%)2=0.0025.
因此，次品数ξ的概率分布是
ξ 0 1 2
P 0.9025 0.095 0.0025
1.填空
（1）某人考试，共有5题,解对4题为及格，若他解一道题正确率为0.6，则他及格概率为_____.
分析：
该题服从二项分布X~B（5，0.6）求的是当X=4时的概率.
（2）若某射手每次射击击中目标的概率是0.9,每次射击的结果相互独立,那么在他连续4次的射击中,第一次未击中目标,后三次都击中目标的概率是_____________.
0.93*0.1
分析：
仔细看题可知，该题并非二项分布.
（2）随机变量X~B ( 3, 0.6 ) ,Ｐ ( Ｘ=1 ) =（ ）

A. 0.192 B. 0.288 C. 0.648 D. 0.254
（1）将一枚硬币连续抛掷5次,则正面向上的次数X的分布为（ ）

A. X~B ( 5，0.5 )　 B. X~B (0.5，5 ）
C. X~B ( 2，0.5 )　 D. X~B ( 5，1 )
2.选择
√
√
3.解答题
（1）十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？
解：
依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次.
∴从低层到顶层停不少于3次的概率：
设从低层到顶层停k次，则其概率为
当k=4或k=5时，C9k最大，即C9k(0.5)9最大
答：从低层到顶层停不少于3次的概率为233/256，停4次或5次概率最大.
（2）一批玉米种子，其发芽率是0.8.
①问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？
②若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率（ ）.
解：
记事件A＝“种一粒种子，发芽”，则
P(A)=0.8，P(A)=1-0.8=0.2，
①设每穴至少种n粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98% ．
∵每穴种n粒相当于n次独立重复试验，记事件B＝“每穴至少有一粒发芽”，则

∴
由题意，令P(B)>98%，所以0.2n<0.02，两边取常用对数得，
．即 ，
∴ ，且 ，所以取n≥3 .
答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98% .
② ∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，
∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为

答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384 .
（3）某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是1/4，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）
解：
记事件A＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验
1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率
1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率为

所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为

答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为0.37.
1. 用A表示抽到的这件产品为合格品，Ai表示这件产品在第i道工序中质量合格，i=1，2，3，4，5.则A=A1∩A2∩A3∩A4∩A5，
P(A1)=0.96， P(A2)=0.99， P(A3)=0.98， P(A4)=0.97， P(A5)=0.96，且A1，A2，A3，A4，A5相互独立.所以
P(A)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)
=0.96×0.99×0.98×0.97×0.96
≈0.867.
2.将一枚硬币连续抛掷5次，正面向上的次数X服从二项分布，其分布列为
P(X=k)=C5k(1/2)5，k=0，1，2，3，4，5.
用表格的形式表示如下：
X 0 1 2 3 4 5
P 1/25 5/25 10/25 10/25 5/25 1/25
P(B)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)
=(1-0.9) ×0.9×0.9×0.9
=0.0729.
3. 用事件B表示仅第1次未击中目标，事件Ai表示该射手第i次设计击中目标，i=1，2，3，4，则B=A1A2A3A4。因为4次射击可以看成4次独立重复试验，所以可以利用独立事件公式计算B发生的概率：
4.例1 某同学投篮命中率为0.6，他在6次投篮中命中的次数X是一个随机变量，X~B(6,0.6).
例2 在一次考试中有10道单选题，某同学一道题都不会，随机的选择答案，这10道单选题中答对的个数X是一个随机变量，X~B(10，0.25).