2.3.1离散型随机变量的均值(共36张PPT)
文档属性
| 名称 | 2.3.1离散型随机变量的均值(共36张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-23 21:05:09 | ||
图片预览
文档简介
(共36张PPT)
2.3.1离散型随机变量的均值
（1）离散型随机变量的分布列：
复习回顾
X x1 x2 … xi …
P p1 p2 … pi …
（2）离散型随机变量分布列的性质：
①pi≥0，i＝1，2，…；
②p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．
对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率.但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征.
某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的三种糖果按3：2：1的比例混合 ，如何对混合糖果定价才合理？
由于平均每1kg的混合糖果中，3种糖果的质量分别是1/2kg，1/3kg和1/6kg，所以混合糖果的合理价格应该是
18× (1/2)+24× (1/3)+36× (1/6)=23(元/kg).
它是三种糖果价格的一种加权平均，这里的权数分别是1/2，1/3和1/6.
如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，你能解释权数的实际含义吗？
根据古典概型计算概率的公式可知，在混合糖果中，任取一颗糖果，这颗糖果为第一、二、三种糖果的概率分别为1/2，1/3，1/6，即取出的这颗糖果的价格为18元/kg，24元/kg或36元/kg的概率分别是1/2，1/3，1/6.用X表示这颗糖果的价格，则它是一个离散型随机变量，其分布列为
因此权数恰好是随机变量X取每种价格的概率.
X 18 24 36
P 1/2 1/3 1/6
1.均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
则称 E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量的平均水平.
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
2. E(aX+b)=aE(X)+b
若Y=aX+b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量.因为
P(Y=axi+b)=P(X=xi)，i=1，2，…，n，
所以，Y的分布列为
X ax1+b ax2+b … axi+b … axn+b
P p1 p2 … pi … pn
于是
E(Y)
= (ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axi+b)pi+…+(axn+b) pn =a(x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pi+…+pn =aE(X)+b，
即
E(aX+b)=aE(X)+b
已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下
在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数.
ξ 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
解：
由该射手射击所得环数ξ的分布列可知
E(ξ)
=4×0.02+5×0.04+6×0.06+7×0.09+8×0.28+9×0.29+10×0.22
=8.32
所以，可以估计该射手n次射击的平均环数为8.32.
随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数X的均值.
解：
x 1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？
解：因为P(X=1)=0.7，P(X=0)=0.3，所以
E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)
=1×0.7+0×0.3
=0.7
2. 两点分布的均值
一般地，如果随机变量Ｘ服从两点分布，那么
Ｅ(X)=1×p+0× (1-p)=p.
于是有
若X服从两点分布，则E(X)=p.
3.二项分布的均值
如果X~B(n，p)，那么由kCnk=nCn-1k-1，可得
E(X)=∑kCnkpkqn-k
=∑ npCn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)
=np∑Cn-1kpkqn-1-k
=np
于是有
k=0
n
k=1
n
k=0
n-1
若X~B(n，p)，则E(X)=np.
一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分. 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个. 求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值.
解?:
设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是ξ和η，则
ξ～B(20，0.9)，η～B(20，0.25)，
Eξ＝20×0.9＝18，Eη＝20×0.25＝5．
由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η.所以，他们在测验中的成绩的均值分别是
E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，
E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．
某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η.
(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；
(Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为
求所收租车费η的数学期望．
(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?
ξ 15 16 17 18
P 0.1 0.5 0.3 0.1
解：
(Ⅰ)依题意得η=2(ξ-4)十10，即
η=2ξ+2；
(Ⅱ)Eξ=15*0.1+16*0.5+17*0.3+18*0.1=16.4
∵ η=2ξ+2
∴ Eη= 2Eξ+2=34.8 （元）
故所收租车费η的数学期望为34.8元．
(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5(18-15)=15
所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟 .
1. 期望的概念
E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
2. 期望的意义
离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平.
3. 期望的计算公式
E(aX+b)=aE(X)+b
4.求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤
（1）理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；
（2）求ξ取各个值的概率，写出分布列；
（3）根据分布列，由期望的定义求出Eξ.
5. 两个特殊随机变量的均值
（1）二次分布的期望：Eξ=np；
（2）两点分布的期望：Eξ=p.
1. （2019年四川卷）设离散性随机变量 可能取的值为1，2，3，4 ，P(ξ=k)=ak+b(k=1，2，3，4)又ξ的数学期望Eξ=3，则a+b= _______．
2.（2018年山东卷理）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为 ，乙队中3人答对的概率分别为 且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.
（Ⅰ）求随机变量ξ分布列和数学期望；
（Ⅱ）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).
（I）由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且
所以ξ的分布列为
所以ξ的数学期望为
ξ 0 1 2 3
P 1/27 2/9 4/9 8/27
（II）用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，AB=C∪D，C，D互斥.
1.填空
（1）某射手对目标进行射击，直到第一次命中为止，每次命中率为0.6，现共有子弹4颗，命中后尚剩余子弹数目ξ的数学期望是___________ .
2.376
（2）有两台在两地独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为ξ，则Eξ=___________ .
1.75
（1）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：
9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）
A．9.4，0.484 B．9.4，0.016
C．9.5，0.04 D．9.5，0.016
2.选择
√
（2）口袋中有5只相同的球，编号为1、2、3、4、5，从中任取3球，用ξ表示取出的球的最大号码，则Eξ= ( )
A.4 B.4.5 C.4.75 D.5
（3）一个袋中装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的均值是( )
A、0.4 B、1 C、1.2 D、1.5
√
√
3.解答题
（1）离散型随机变量 X 的概率分布列为
①求X可能取值的算术平均数 ②求X的均值
解：①
②
X 1 100
P 0.01 0.99
（2）若一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。一周5个工作日里无故障可获利10万元，发生一次故障可获利5万元，发生两次故障没有利润，发生三次或三次以上故障就亏损2万元，求一周内平均获利多少元? (保留三位有效数字).
解：设一周内机器发生故障的次数为ξ，则ξ的分布列为：
那么，随机变量利润η的分布列为：
Eη=10×0.32768+5×0.4096+(2)×0.05792
=5.20896≈5.21
ξ 0 1 2 ≥3
P(ξi) 0.85 C510.2×0.84 C520.22×0.83 1- 0.85- C510.2×0.84-C520.22×0.83
η 10 5 0 -2
P(ηi) 0.32768 0.4096 0.2048 0.05792
（3）某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次.令ξ表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额，求：
（1）ξ的分布列；
（2）ξ的数学期望.
(1) ζ的所有可能的取值为0，10，20，50，60.
2.3.1离散型随机变量的均值
（1）离散型随机变量的分布列：
复习回顾
X x1 x2 … xi …
P p1 p2 … pi …
（2）离散型随机变量分布列的性质：
①pi≥0，i＝1，2，…；
②p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．
对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率.但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征.
某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的三种糖果按3：2：1的比例混合 ，如何对混合糖果定价才合理？
由于平均每1kg的混合糖果中，3种糖果的质量分别是1/2kg，1/3kg和1/6kg，所以混合糖果的合理价格应该是
18× (1/2)+24× (1/3)+36× (1/6)=23(元/kg).
它是三种糖果价格的一种加权平均，这里的权数分别是1/2，1/3和1/6.
如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，你能解释权数的实际含义吗？
根据古典概型计算概率的公式可知，在混合糖果中，任取一颗糖果，这颗糖果为第一、二、三种糖果的概率分别为1/2，1/3，1/6，即取出的这颗糖果的价格为18元/kg，24元/kg或36元/kg的概率分别是1/2，1/3，1/6.用X表示这颗糖果的价格，则它是一个离散型随机变量，其分布列为
因此权数恰好是随机变量X取每种价格的概率.
X 18 24 36
P 1/2 1/3 1/6
1.均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
则称 E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量的平均水平.
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
2. E(aX+b)=aE(X)+b
若Y=aX+b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量.因为
P(Y=axi+b)=P(X=xi)，i=1，2，…，n，
所以，Y的分布列为
X ax1+b ax2+b … axi+b … axn+b
P p1 p2 … pi … pn
于是
E(Y)
= (ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axi+b)pi+…+(axn+b) pn =a(x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pi+…+pn =aE(X)+b，
即
E(aX+b)=aE(X)+b
已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下
在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数.
ξ 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
解：
由该射手射击所得环数ξ的分布列可知
E(ξ)
=4×0.02+5×0.04+6×0.06+7×0.09+8×0.28+9×0.29+10×0.22
=8.32
所以，可以估计该射手n次射击的平均环数为8.32.
随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数X的均值.
解：
x 1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？
解：因为P(X=1)=0.7，P(X=0)=0.3，所以
E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)
=1×0.7+0×0.3
=0.7
2. 两点分布的均值
一般地，如果随机变量Ｘ服从两点分布，那么
Ｅ(X)=1×p+0× (1-p)=p.
于是有
若X服从两点分布，则E(X)=p.
3.二项分布的均值
如果X~B(n，p)，那么由kCnk=nCn-1k-1，可得
E(X)=∑kCnkpkqn-k
=∑ npCn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)
=np∑Cn-1kpkqn-1-k
=np
于是有
k=0
n
k=1
n
k=0
n-1
若X~B(n，p)，则E(X)=np.
一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分. 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个. 求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值.
解?:
设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是ξ和η，则
ξ～B(20，0.9)，η～B(20，0.25)，
Eξ＝20×0.9＝18，Eη＝20×0.25＝5．
由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η.所以，他们在测验中的成绩的均值分别是
E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，
E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．
某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η.
(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；
(Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为
求所收租车费η的数学期望．
(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?
ξ 15 16 17 18
P 0.1 0.5 0.3 0.1
解：
(Ⅰ)依题意得η=2(ξ-4)十10，即
η=2ξ+2；
(Ⅱ)Eξ=15*0.1+16*0.5+17*0.3+18*0.1=16.4
∵ η=2ξ+2
∴ Eη= 2Eξ+2=34.8 （元）
故所收租车费η的数学期望为34.8元．
(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5(18-15)=15
所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟 .
1. 期望的概念
E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
2. 期望的意义
离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平.
3. 期望的计算公式
E(aX+b)=aE(X)+b
4.求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤
（1）理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；
（2）求ξ取各个值的概率，写出分布列；
（3）根据分布列，由期望的定义求出Eξ.
5. 两个特殊随机变量的均值
（1）二次分布的期望：Eξ=np；
（2）两点分布的期望：Eξ=p.
1. （2019年四川卷）设离散性随机变量 可能取的值为1，2，3，4 ，P(ξ=k)=ak+b(k=1，2，3，4)又ξ的数学期望Eξ=3，则a+b= _______．
2.（2018年山东卷理）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为 ，乙队中3人答对的概率分别为 且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.
（Ⅰ）求随机变量ξ分布列和数学期望；
（Ⅱ）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).
（I）由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且
所以ξ的分布列为
所以ξ的数学期望为
ξ 0 1 2 3
P 1/27 2/9 4/9 8/27
（II）用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，AB=C∪D，C，D互斥.
1.填空
（1）某射手对目标进行射击，直到第一次命中为止，每次命中率为0.6，现共有子弹4颗，命中后尚剩余子弹数目ξ的数学期望是___________ .
2.376
（2）有两台在两地独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为ξ，则Eξ=___________ .
1.75
（1）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：
9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）
A．9.4，0.484 B．9.4，0.016
C．9.5，0.04 D．9.5，0.016
2.选择
√
（2）口袋中有5只相同的球，编号为1、2、3、4、5，从中任取3球，用ξ表示取出的球的最大号码，则Eξ= ( )
A.4 B.4.5 C.4.75 D.5
（3）一个袋中装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的均值是( )
A、0.4 B、1 C、1.2 D、1.5
√
√
3.解答题
（1）离散型随机变量 X 的概率分布列为
①求X可能取值的算术平均数 ②求X的均值
解：①
②
X 1 100
P 0.01 0.99
（2）若一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。一周5个工作日里无故障可获利10万元，发生一次故障可获利5万元，发生两次故障没有利润，发生三次或三次以上故障就亏损2万元，求一周内平均获利多少元? (保留三位有效数字).
解：设一周内机器发生故障的次数为ξ，则ξ的分布列为：
那么，随机变量利润η的分布列为：
Eη=10×0.32768+5×0.4096+(2)×0.05792
=5.20896≈5.21
ξ 0 1 2 ≥3
P(ξi) 0.85 C510.2×0.84 C520.22×0.83 1- 0.85- C510.2×0.84-C520.22×0.83
η 10 5 0 -2
P(ηi) 0.32768 0.4096 0.2048 0.05792
（3）某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次.令ξ表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额，求：
（1）ξ的分布列；
（2）ξ的数学期望.
(1) ζ的所有可能的取值为0，10，20，50，60.