2.3.2离散型随机变量的方差(共39张PPT)
文档属性
| 名称 | 2.3.2离散型随机变量的方差(共39张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-23 21:04:24 | ||
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文档简介
(共39张PPT)
2.3.2离散型随机变量的方差
复习回顾
1 .离散型随机变量 X 的均值
均值反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2 . 两种特殊分布的均值
（1）若随机变量X服从两点分布，则EX=p.
（2）若X~B(n，p) ，则EX=np.
数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值.
今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.
要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，
第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为
X1 5 6 7 8 9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为
根据已学知识，可以从平均中靶环数来比较两名同学射击水平的高低，即通过比较X1和X2的均值来比较两名同学射击水平的高低. 通过计算
X2 5 6 7 8 9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
E(X1)=8，E(X2)=8，
发现两个均值相等，因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.
除平均中靶环数外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？
图(1)(2)分别表示X1和X2的分布列图. 比较两个图形，可以发现，第二名同学的射击成绩更集中于8环，即第二名同学的射击成绩更稳定.
(1)
(2)
怎样定量刻画随机变量的稳定性?
1.方差
设离散型随机变量X的分布列为
则(xi-E(X))2描述了xi(i=1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度.
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度.我们称 DX为随机变量 X 的方差(variance). 其算术平方根 为随机变量X的标准差(standard deviation). 记为
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小.
说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标.
随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别?
随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量.
对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.
现在，可以用两名同学射击成绩的方差来刻画他们各自的特点，为选派选手提供依据.由前面的计算结果及方差的定义，得
因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.
2.几点重要性质
（1）若X服从两点分布，则D(X)=p(1-p);
（2）若X~B(n，p)，则D(X)=np(1-p);
（3）D(aX+b)=a2D(X).
A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：
问哪一台机床加工质量较好？
次品数ξ1 0 1 2 3
概率P 0.7 0.2 0.06 0.04
次品数ξ1 0 1 2 3
概率P 0.8 0.06 0.04 0.10
解：
Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,
Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.
它们的期望相同，再比较它们的方差
Dξ1=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2
×0.06+(3-0.44)2×0.04=0.6064,
Dξ2=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2
×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264.
∴Dξ1< Dξ2 故A机床加工较稳定、质量较好.
有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400 1600 1800
获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400 1800 2200
获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1
解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得
分析：
因为 ，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散.
这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；
如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位.
有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X.
（1）求随机变量的概率分布；
（2）求X的数学期望和方差.
解：（1）
因此X的分布列为
（2）
X 0 1 2 3 4
P 9/24 8/24 6/24 0 1/24
有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏，以便自己轻松获利，以海报形式贴出游戏规则：顾客免费掷两枚骰子，把掷出的点数相加，如果得2或12，顾客中将30元；如果得3或11，顾客中将20元；如果得4或10，顾客中将10元；如果得5或9，顾客应付庄家10元；如果得6或8，顾客应付庄家20元；如果得7，顾客应付庄家30元．试用数学知识解释其中的道理.
解?:
设庄家获利的数额为随机变量，根据两枚骰子的点数之和可能的结果以及游戏规则可得随机变量的概率分布为：
因此，顾客每玩36人次，庄家可获利约260元，但不确定顾客每玩36人次一定会有些利润；长期而言，庄家获利的均值是这一常数，也就是说庄家一定是赢家.
X -30 -20 -10 10 20 30
P 2/36 4/36 6/36 8/36 10/36 6/36
1.熟记方差计算公式
2. 三个重要的方差公式
（1）若 X 服从两点分布，则
（2）若 ，则
3.求离散型随机变量X的方差、标准差的一般步骤：
①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；
②求X取各个值的概率，写出分布列；
③根据分布列，由期望的定义求出 EX；
④根据方差、标准差的定义求出 、
1. （2019年天津）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
则该公司一年后估计可获收益的期望是_____（元）.
投资成功 投资失败
192次 8次
[答案]4760
提示：分布列为
故
ξ 0.6 -2.5
P 192/200 8/192
2.（2018年天津）甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：5t/hm2）表所示：
则其中产量比较稳定的小麦品种是_______．
[答案]甲种
品种 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
3.（2018年湖北）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.
（总费用=采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值）
[解析]
①不采用预防措施时，总费用即损失期望值为400×0.3=120（万元）；
②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.l=40（万元），所以总费用为45＋40=85（万元）；
③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30＋60=90（万元）；
④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45＋30=75（万元），发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75＋6=81（万元）．
综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少．
1.填空
（1）已知x~B(100,0.5),则
Ex=___,Dx=____,sx=___.
E(2x-1)=____,
D(2x-1)=____, s(2x-1)=_____.
50
25
5
99
100
10
（1）已知随机变量x的分布列如上表,则E x与D x的值为( )
A. 0.6和0.7 B. 1.7和0.3
C. 0.3和0.7 D. 1.7和0.21
（2）已知x~B(n，p)，E x =8，D x =1.6，则n， p的值分别是（ ）
A．100和0.08； B．20和0.4；
C．10和0.2； D．10和0.8
2.选择
√
√
x 1 2
P 0.3 0.7
3.解答题
（1） 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望.
分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件.
解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然
ξ所有可能取的值为0，1，2，3
①当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则
P（ξ=0）=
②当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则
P（ξ=1）=
③当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则
P（ξ=2）=
④当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则
P（ξ=3）=
所以，Eξ=
（2）有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ
分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．
解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ~B（200，1%），从而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算.
由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．
解：
因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ~ B（200，1%）
因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，
所以,
Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98.
2.3.2离散型随机变量的方差
复习回顾
1 .离散型随机变量 X 的均值
均值反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2 . 两种特殊分布的均值
（1）若随机变量X服从两点分布，则EX=p.
（2）若X~B(n，p) ，则EX=np.
数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值.
今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.
要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，
第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为
X1 5 6 7 8 9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为
根据已学知识，可以从平均中靶环数来比较两名同学射击水平的高低，即通过比较X1和X2的均值来比较两名同学射击水平的高低. 通过计算
X2 5 6 7 8 9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
E(X1)=8，E(X2)=8，
发现两个均值相等，因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.
除平均中靶环数外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？
图(1)(2)分别表示X1和X2的分布列图. 比较两个图形，可以发现，第二名同学的射击成绩更集中于8环，即第二名同学的射击成绩更稳定.
(1)
(2)
怎样定量刻画随机变量的稳定性?
1.方差
设离散型随机变量X的分布列为
则(xi-E(X))2描述了xi(i=1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度.
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度.我们称 DX为随机变量 X 的方差(variance). 其算术平方根 为随机变量X的标准差(standard deviation). 记为
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小.
说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标.
随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别?
随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量.
对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.
现在，可以用两名同学射击成绩的方差来刻画他们各自的特点，为选派选手提供依据.由前面的计算结果及方差的定义，得
因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.
2.几点重要性质
（1）若X服从两点分布，则D(X)=p(1-p);
（2）若X~B(n，p)，则D(X)=np(1-p);
（3）D(aX+b)=a2D(X).
A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：
问哪一台机床加工质量较好？
次品数ξ1 0 1 2 3
概率P 0.7 0.2 0.06 0.04
次品数ξ1 0 1 2 3
概率P 0.8 0.06 0.04 0.10
解：
Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,
Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.
它们的期望相同，再比较它们的方差
Dξ1=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2
×0.06+(3-0.44)2×0.04=0.6064,
Dξ2=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2
×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264.
∴Dξ1< Dξ2 故A机床加工较稳定、质量较好.
有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400 1600 1800
获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400 1800 2200
获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1
解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得
分析：
因为 ，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散.
这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；
如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位.
有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X.
（1）求随机变量的概率分布；
（2）求X的数学期望和方差.
解：（1）
因此X的分布列为
（2）
X 0 1 2 3 4
P 9/24 8/24 6/24 0 1/24
有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏，以便自己轻松获利，以海报形式贴出游戏规则：顾客免费掷两枚骰子，把掷出的点数相加，如果得2或12，顾客中将30元；如果得3或11，顾客中将20元；如果得4或10，顾客中将10元；如果得5或9，顾客应付庄家10元；如果得6或8，顾客应付庄家20元；如果得7，顾客应付庄家30元．试用数学知识解释其中的道理.
解?:
设庄家获利的数额为随机变量，根据两枚骰子的点数之和可能的结果以及游戏规则可得随机变量的概率分布为：
因此，顾客每玩36人次，庄家可获利约260元，但不确定顾客每玩36人次一定会有些利润；长期而言，庄家获利的均值是这一常数，也就是说庄家一定是赢家.
X -30 -20 -10 10 20 30
P 2/36 4/36 6/36 8/36 10/36 6/36
1.熟记方差计算公式
2. 三个重要的方差公式
（1）若 X 服从两点分布，则
（2）若 ，则
3.求离散型随机变量X的方差、标准差的一般步骤：
①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；
②求X取各个值的概率，写出分布列；
③根据分布列，由期望的定义求出 EX；
④根据方差、标准差的定义求出 、
1. （2019年天津）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
则该公司一年后估计可获收益的期望是_____（元）.
投资成功 投资失败
192次 8次
[答案]4760
提示：分布列为
故
ξ 0.6 -2.5
P 192/200 8/192
2.（2018年天津）甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：5t/hm2）表所示：
则其中产量比较稳定的小麦品种是_______．
[答案]甲种
品种 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
3.（2018年湖北）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.
（总费用=采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值）
[解析]
①不采用预防措施时，总费用即损失期望值为400×0.3=120（万元）；
②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.l=40（万元），所以总费用为45＋40=85（万元）；
③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30＋60=90（万元）；
④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45＋30=75（万元），发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75＋6=81（万元）．
综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少．
1.填空
（1）已知x~B(100,0.5),则
Ex=___,Dx=____,sx=___.
E(2x-1)=____,
D(2x-1)=____, s(2x-1)=_____.
50
25
5
99
100
10
（1）已知随机变量x的分布列如上表,则E x与D x的值为( )
A. 0.6和0.7 B. 1.7和0.3
C. 0.3和0.7 D. 1.7和0.21
（2）已知x~B(n，p)，E x =8，D x =1.6，则n， p的值分别是（ ）
A．100和0.08； B．20和0.4；
C．10和0.2； D．10和0.8
2.选择
√
√
x 1 2
P 0.3 0.7
3.解答题
（1） 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望.
分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件.
解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然
ξ所有可能取的值为0，1，2，3
①当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则
P（ξ=0）=
②当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则
P（ξ=1）=
③当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则
P（ξ=2）=
④当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则
P（ξ=3）=
所以，Eξ=
（2）有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ
分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．
解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ~B（200，1%），从而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算.
由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．
解：
因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ~ B（200，1%）
因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，
所以,
Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98.