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17.1 勾股定理
人教版·八年级数学·下册
第一课时
1.了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理.
2.能利用已知两边求直角三角形第三边的长.
3.培养在实际生活中发现问题、总结规律的意识和能力.
重点：勾股定理的内容及证明.
难点：勾股定理的证明.
阅读课本第22页内容，学习本节主要内容.
a2+b2+c2
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家,相传在2500年以前,他在朋友家做客时,发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系.
(1)请同学们来观察下面图中的地面,你能找出图中正方形A、B、C面积之间的关系吗？
(2)图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形之间有什么特殊关系？
1.上图中正方形A和正方形B由两个等腰直角三角形组成,正方形C由四个等腰直角三角形组成,所以正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积.
2. 两直角边的平方和等于斜边的平方.
看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理,要善于发现问题.
教师点拨：
等腰直角三角形是特殊的直角三角形,一般的直角三角形是否也具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？如图,每个小方格的面积均为1,以格点为顶点,有一个直角边分别是2、3的直角三角形,以这个直角三角形的三边为边长向外作正方形,想一想,利用小方格计算A、B、C的面积,看看能得出什么结论？
解：
正方形A的面积=4,正方形B的面积=9,正方形C的面积=
则4+9=13,
所以正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积,即两直角边的平方和等于斜边的平方.
1.上图中正方形A和正方形B由两个等腰直角三角形组成,正方形C由四个等腰直角三角形组成,所以正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积.
2. 两直角边的平方和等于斜边的平方.
看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理,要善于发现问题.
教师点拨：
等腰直角三角形是特殊的直角三角形,一般的直角三角形是否也具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？如图,每个小方格的面积均为1,以格点为顶点,有一个直角边分别是2、3的直角三角形,以这个直角三角形的三边为边长向外作正方形,想一想,利用小方格计算A、B、C的面积,看看能得出什么结论？
结论：
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
体会勾股定理的探究过程,加深对勾股定理的理解.
教师点拨：
例2：求出下列直角三角形中未知边的长度:
教师点拨：
勾股定理反映了直角三角形三条边之间的数量关系,它可以解决许多直角三角形中的计算问题.
(1)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,
解：
∴AC2+BC2=AB2,
即122+52=AB2,
∴AB2=169,
∵AB＞0,∴AB=13;
(2)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,
∴AC2+BC2=AB2,即AC2+62=102,
∴AC2=100-36=64,
∵AC＞0,∴AC=8
解：
教师点拨：
利用方程的思想求直角三角形有关线段的长度.
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∴a2+b2=c2
1.在△ABC,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,且∠C=90°.(1)已知a=b=5,求c;
(2)已知a=1,c=2,求b;
(3)已知c=17,b=8,求a;
(4)已知a∶b=1∶2,c=5,求a;
(5)已知b=15,∠A=30°,求a,c.
(1)∵a=b=5,
∴52+52=c2,则c2=50,
(2)∵a=1,c=2,
∴12+b2=22,
则b2=3,
(3)∵c=17,b=8,
∴a2+82=172,则a2=225,
∴a=15;
(4)∵a∶b=1∶2,c=5,
∴a2+(2a)2=52,则5a2=25,
(5)∵∠A=30°,
∴c=2a,
又∵b=15,
∴a2+152=(2a)2,则a2=75,
解：
教师点拨：
作高巧构直角三角形,再利用勾股定理和30°的角求解.
过点A作AD⊥BC,
∵∠BAD=30°,
2.如图,已知在△ABC中,∠B=60°,AC=70,AB=30,求BC的长.
根据勾股定理,在Rt△ABD中, AD2=AB2-BD2=302-152=675,
根据勾股定理,在Rt△ACD中,CD=
∴BC=BD+DC=15+65=80.
D
解：
教师点拨：
关键是利用等腰三角形“三线合一”的性质求出AD的长.
(1)过点C作CD⊥AB,则AD=BD,
∵AB=6cm,
3.已知:如图,等边△ABC的边长是6cm.
(1)求等边△ABC的高;
(2)求S△ABC.
∴AD=3cm,
根据勾股定理,在Rt△ADC中,
D
C
B
B
解：
在Rt△ABC中,∠ACB＝90°
∴AC2+BC2=AB2
∴ S两正方形面积＝AC2+BC2
＝AB2＝152＝225.
1. 勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
2.勾股定理应用前提:在直角三角形中.
3.勾股定理的简单应用.
(共17张PPT)
17.1 勾股定理的应用
人教版·八年级数学·下册
第二课时
1.会用勾股定理解决简单的实际问题.
2.树立数形结合的思想,体会数学的应用价值.
重点：勾股定理的应用.
难点：实际问题向数学问题的转化.
阅读课本第25-26页内容，学习本节主要内容.
直角三角形
勾股定理
1.小明和爸爸妈妈“十一”登香山,他们沿着45度的坡路走了500米,看到了一棵红叶树,这棵红叶树离水平地面的高度是_____米.
2.如图,山坡上两棵树之间的坡面距离是
米,则这两棵树之间的垂直距离是____米,
水平距离是6米.
3.有一个边长为1米的正方形的洞口,想利用一个圆形盖去盖住这个洞口,则圆形半径至少为____米.
4.如图,一根12米高的电线杆两侧各用15米
的铁丝固定,两个固定点之间的距离是____米.
将实际问题转化为直角三角形中的问题,利用勾股定理计算.
阅读教材P26“探究”,掌握在数轴上画出表示 (n为正整数)的点的方法,并独立完成下列问题.
解：
1.图1中x等于多少？图2中的x、y、z分别等于多少？
2.长
的线段是直角边分别为_______的直角三角形的
斜边(直角边长为整数).
3.长
的线段是直角边分别为_______的直角三角形的
斜边(直角边长为整数).
1,1
2,3
利用勾股定理构建方程,再计算.
教师点拨：
例1：一个门框的尺寸如图所示,一块长3m、宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？
教师点拨：
将题中问题转化为求长方形对角线的长,对角线的长是斜着能通过的最大长度,再将木板的宽与对角线的长比较,就能知道木板能否通过.
答案：
∵Rt△ABC中,∠B为直角,
根据勾股定理,得AC2=AB2+BC2=12+22=5.
∵AC长大于木板的宽,
∴木板能从门框内通过.
例2：如图,一架3m长的梯子AB,斜靠
在一竖直的AO上,这时AO的距离为2.5m,
如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯
子底端B也外移0.5m吗？
教师点拨：
已知直角三角形的斜边和一直角边,求另一直角边,也可用勾股定理解决.
∵在Rt△AOB中,OB2=AB2-AO2=32-2.52=2.75,
答案：
又∵在Rt△COD中,OD2=CD2-CO2=32-22=5,
∴BD=OD-OB=2.236-1.658=0.578(m),
∴梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,梯子底端B应外移0.578m.
例3：在数轴上画出表示 的点.
教师点拨：
将在数轴上描点的问题转化为画线段的问题,关键是要联想到长
利用勾股定理,可以得出,长
解：
的线段是直角边分别
(1)画出数轴,在数轴上取点A,使OA=1;
(3)以原点O为圆心,以OB为半径作弧,弧与右边数轴的交点C即为表示
1,2的直角三角形的斜边.
(2)作BA垂直于OA,使BA=2;
的点.
的线段能否是直角边为正整数的直角
三角形的斜边.
解：
教师点拨：
利用圆柱形杯子的内部底面直径、杯高和杯里吸管的长构成直角三角形,利用勾股定理计算.
如图,圆柱形杯子的内部底面直径、杯高和杯内吸管的长构成直角三角形,
1.一种盛饮料的圆柱形杯子(如图),测得内部底面直径为5cm,高为12cm,吸管放进杯里,杯口面露出5cm,问吸管有多长？
∴杯里吸管的长为:
∴吸管有18cm长.
解：
教师点拨：
要注意点A在原点的左边,表示的是负数.
如图,BC=
2.如图,已知CA=CB,请先利用勾股定理,算出线段BC的长度是______,注意观察数轴,写出数轴上点A所表示的数是_______.
则A到原点的距离是
且A在原点左侧,则A所表示的数是
解：
教师点拨：
关键是利用等腰三角形“三线合一”的性质求出AD的长.
(1)过点C作CD⊥AB,则AD=BD,
∵AB=6cm,
3.已知:如图,等边△ABC的边长是6cm.
(1)求等边△ABC的高;
(2)求S△ABC.
∴AD=3cm,
根据勾股定理,在Rt△ADC中,
D
B
B
A
解：
设AD＝x.
依题意得(10+x)2+(15-10)2=(15-x)2,
∴x=2,
∴AB=BD+AD=10+2=12m.
8.如图AB为一棵大树,在树上距地面10米的D处有两只猴子,它们同时发现C处有一筐水果,一只猴子从D处往上爬到树顶A处,又沿滑绳AC滑到C处,另一只猴子从D滑到B,再由B跑到C处,已知两只猴子所经路程都为15米.求树高AB.
1.转化思想:将实际问题转化为直角三角形的问题.
2.建模思想:利用勾股定理构建方程模型求解.
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17.2 勾股定理的逆定理
人教版·八年级数学·下册
第一课时
1.体会勾股定理逆定理的得出过程,掌握勾股定理的逆定理.
2.探究勾股定理的逆定理的证明方法.
3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.
重点：掌握勾股定理的逆定理及证明.
难点：理解勾股定理的逆定理的证明.
阅读课本第31-32页内容，学习本节主要内容.
a2+b2=c2
互逆命题
原命题
逆命题
逆定理
1.勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么_________.
2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a、b、c满足_________,那么这个三角形是直角三角形.
3.勾股数:能够成为直角三角形三边长的_________.
a2+b2=c2
a2+b2=c2
三个正整数
1.互逆命题:在一对命题中,第一个命题的_____恰好为第二个命题的_____,而第一个命题的结论恰好是第二个命题的_____,像这样的两个命题叫做_________.我们把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的_______.
2.互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理___________.
题设
结论
互逆命题
题设
逆命题
互为逆定理
3.说出下列命题的逆命题,并判断它们是否正确.
(1)原命题:对顶角相等.( )
逆命题:相等的角是对顶角.( )
(2)原命题:两条直线平行,内错角相等.( )
逆命题:内错角相等,两直线平行.( )
(3)原命题:全等三角形的对应角相等.( )
逆命题:如果两个三角形的对应角相等,那么这两个三角形全等.( )
√
√
√
√
×
×
(4)原命题:线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等.( )
逆命题:到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.( )
(5)原命题:角平分线上的点,到这个角的两边距离相等.( )
逆命题:到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上.( )
任何一个命题都有逆命题,原命题与逆命题的关系就是将命题中题设与结论互换.
教师点拨：
√
√
√
√
例1：勾股定理逆定理的证明
已知:△ABC的边长分别为a、b、c,且满足a2+b2=c2.
求证:△ABC是直角三角形.
教师点拨：
勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是否为直角三角形的方法.
证明：
画一个直角△A1B1C1,使B1C1=a,A1C1=b,∠C1=90°
在Rt△A1B1C1中C1B12+A1C12=a2+b2,
又∵a2+b2=c2,∴A1B1=c
在△ABC和△A1B1C1中,BC=B1C1,AC=A1C1,AB=A1B1,
∴△ABC≌△A1B1C1,
∴∠C=∠C1=90°,即△ABC是直角三角形.
例2：判断由线段a、b、c围成的三角形是否是直角三角形？(1)a=6,b=8,c=10; (2)a=5,b=12,c=13;
(3)a=5,b=7,c=9; (4)a=8,b=15,c=17.
教师点拨：
一般步骤:(1)先判断哪条边最大;(2)分别计算出a2+b2和c2的值;(3)判断a2+b2和c2是否相等,若相等是直角三角形;若不相等,则不是直角三角形.
(1)∵62+82=36+64=100,102=100,
解：
∴62+82=102,
此三角形是直角三角形;
(2)∵52+122=25+144=169,132=169,
∴52+122=132,
此三角形是直角三角形;
(3)∵52+72=25+49=74,92=81,
∴52+72≠92,
此三角形不是直角三角形;
(4)∵82+152=64+225=289,172=289,
∴82+152=172,
此三角形是直角三角形;
证明：
教师点拨：
满足a2+b2=c2就可判定三角形是直角三角形,注意乘法公式的运用.
∵a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2,c2=(m2+n2)2,
1.已知:在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m＞n,m、n是正整数),求证:△ABC是直角三角形.
∴a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形.
证明：
教师点拨：
关键是找到底和高,利用勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形,底和高就是它的两直角边.
∵AB2+BC2=72+242=49+576=625,AC2=252=625,
2.在△ABC中,AB=7,BC=24,AC=25,求△ABC的面积.
∴AB2+BC2=AC2,即△ABC是直角三角形且∠B=90°,
∴△ABC的面积=
C
A
C
面积相等的两个三角形全等
①∵a2+c2=b2,
解：
∴△ABC是Rt△且∠B=90°,
②∵b2+c2=a2,
∴△ABC是Rt△且∠A=90°.
解：
由题意知
a+2b-60=0
b-18=0
c-30=0
又∵a2+b2=c2,
解得
a=24
b=18
c=30
∴△ABC是Rt△且∠C=90°.
1.勾股定理的逆定理.
2.互逆命题.
3.互逆定理.
4.勾股数.
(共17张PPT)
17.2 勾股定理的逆定理的应用
人教版·八年级数学·下册
第二课时
1.掌握勾股定理的逆定理.
2.灵活应用勾股定理的逆定理解决实际问题.
3.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识.
重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.
难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.
阅读课本第33页内容，学习本节主要内容.
直角三角形
1. 如果一个直角三角形的三边分别为a、b、c,斜边为c,那么满足________.
2.如果三角形的三边长a、b、c满足_________,那么这个三角形是直角三角形.
a2+b2=c2
a2+b2=c2
1.已知在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c分别为下列长度,判断该三角形是否为直角三角形,并指出哪一个角是直角.
(1)是直角三角形,∠B=90°;
解：
(2)不是直角三角形;
(3)是直角三角形,∠C=90°;
(4)是直角三角形,∠C=90°.
2.如图,在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿CD,早晨测得它的影长BD为4米,中午测得它的影长AD为1米,则A、B、C能否构成直角三角形？为什么？
A、B、C三点能构成直角三角形,理由如下:
解：
在Rt△ACD中,由勾股定理得:AC2=AD2+CD2=12+22=5,
在Rt△BCD中,由勾股定理得:BC2=BD2+CD2=42+22=20,
在△ABC中,AC2+BC2=5+20=25,AB2=(4+1)2=52=25.
∴AC2+BC2=AB2,即A、B、C三点能构成直角三角形.
教师点拨：
根据勾股定理的逆命题,判断一个三角形是否是直角三角形,只要看两条较小边的平方和是否等于较大边的平方,较大边所对的角就是直角.
例1：某港口位于东西方向的海岸线上,“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口中,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时行16海里,“海天”号每小时行12海里,它们离开港口1个半小时后相距30海里,如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?
教师点拨：
利用勾股定理的逆定理得出△PRQ为直角三角形,再利用“东北方向”求解.
解：
根据题意,画图如下:得PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30,
∵242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,
∴△PQR是直角三角形且∠QPR=90°
由“远航”号沿东北方向航行可知,∠QPS=45°,则∠SPR=45°,即“海天”号沿西北方向航行.
例2：如图,小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地并种了一些蔬菜,爸爸让小明计算一下土地的面积,以便计算产量,小明找来一卷米尺,测得AB=4米,BC=3米,CD=13米,DA=12米,又已知∠B=90°.
教师点拨：
关键是通过分割把四边形的问题转化成解三角形的问题,再用勾股定理解答.
解：
连接AC,
在Rt△ABC中,由勾股定理得:
在△ACD中,AC2+AD2=52+122=169,CD2=132=169,
∴AC2+AD2=CD2,即△ACD是直角三角形,
土地的面积=Rt△ABC的面积+Rt△ACD的面积
∴四边形土地的面积是36m2.
解：
教师点拨：
利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形,再利用在直角三角形中两锐角互余求解.
由题意知:
1.如图,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截,六分钟后同时到达C地将其拦截.已
知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每
小时航行50海里,航向为北偏西40°,问:甲巡
逻艇的航向是什么样的？
∴52+122=132即BC2+AC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形,
又∵乙巡逻艇航向为北偏西40°,即∠CBA=50°,
∴∠CAB=40°,
∴甲的航向为北偏东50°.
解：
教师点拨：
通过填补将四边形的问题转化成三角形的问题,关键是求证△ABC是直角三角形.
连接AC,
2.如图,有一块地,已知,AD=4cm,CD=3cm,∠ADC=90°,
AB=13cm,BC=12cm,求这块地的面积.
∵AD=4,CD=3,∠ADC=90°,
又∵在△ABC中,AB=13m,BC=12m,AC=5m,
∴52+122=132
即△ABC是直角三角形,∴△ABC的面积
∴这块地的面积=30-6=24(m2).
D
B
D
D
A
解：
∵BC=8,CA=15,AB=17,
∴BC2+CA2=AB2,
∴△ABC为Rt△且∠ACB=90°
∴∠1＝180°-90°-60°＝30°，
∴乙船沿南偏东30°方向航行.
1.利用勾股定理的逆定理解决实际问题.
2.利用勾股定理的逆定理解决图形问题.
