第一章 集合
第1.1节 集合的概念与表示
一．选择题（共10小题）
1．考察下列每组对象，能组成一个集合的是（ ）
①某高中高一年级聪明的学生 ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点
③不小于3的正整数 ④的近似值．
A．①② B．③④ C．②③ D．①③
【答案】 C
【解析】解：对于①，“某高中高一年级聪明的学生”，其中聪明没有明确的定义，故不能构成集合；
对于②，“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”，符合集合的定义，能构成集合；
对于③，“不小于3的正整数”，符合集合的定义，能构成集合；
对于④，“的近似值”，对近似的精确度没有明确定义，故不能构成集合．
综上所述，只有②③能构成集合，①④不能构成集合．
故选：C．
2．下列关系中，正确的是（ ）
A．0∈N+ B．Z C．π?Q D．0??
【答案】 C
【解析】解：选项A：0?N+，错误；
选项B，?Z，错误；
选项C，π?Q，正确；
选项D，0??，错误；
故选：C．
3．已知集合A＝{x|x2﹣1＞0}，那么下列结论正确的是（ ）
A．0∈A B．1∈A C．﹣1∈A D．1?A
【答案】 D
【解析】解：由x2﹣1＞0，解得x＞1，或x＜﹣1．
∴A＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．可得0，1，﹣1?A， 故选：D．
4．若﹣1∈{2，a2﹣a﹣1，a2+1}，则a＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．0 或1
【答案】 B
【解析】解：①若a2﹣a﹣1＝﹣1，则a2﹣a＝0，解得a＝0或a＝1，
a＝1时，{2，a2﹣a﹣1，a2+1}＝{2，﹣1，2}，舍去，
∴a＝0；
②若a2+1＝﹣1，则a2＝﹣2，a无实数解；
由①②知：a＝0．
故选：B．
5．若a∈{1，a2﹣2a+2}，则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．1 或2
【答案】 B
【解析】解：a∈{1，a2﹣2a+2}，
则：a＝1或a＝a2﹣2a+2，
当a＝1时：a2﹣2a+2＝1，与集合元素的互异性矛盾，舍去；
当a≠1时：a＝a2﹣2a+2，解得：a＝1（舍去）；或a＝2；
故选：B．
6．方程x2＝x的所有实数根组成的集合为（ ）
A．（0，1） B．{（0，1）} C．{0，1} D．{x2＝x}
【答案】 C
【解析】解：解方程x2＝x，得x＝0或x＝1，
∴方程x2＝x的所有实数根组成的集合为{0，1}．
故选：C．
7．以方程x2﹣5x+6＝0和方程x2﹣x﹣2＝0的解为元素的集合为（ ）
A．{2，3，1} B．{2，3，﹣1} C．{2，3，﹣2，1} D．{﹣2，﹣3，1}
【答案】 B
【解析】解：解方程x2﹣5x+6＝0，得x＝2，或x＝3，
解方程x2﹣x﹣2＝0，得x＝﹣1或x＝2，
∴以方程x2﹣5x+6＝0和方程x2﹣x﹣2＝0的解为元素的集合为{2，3，﹣1}．
故选：B．
8．下列各组中的M、P表示同一集合的是（ ）
①M＝{3，﹣1}，P＝{（3，﹣1）}；
②M＝{（3，1）}，P＝{（1，3）}；
③M＝{y|y＝x2﹣1}，P＝{t|t＝x2﹣1}；
④M＝{y|y＝x2﹣1}，P＝{（x，y）|y＝x2﹣1}
A．① B．② C．③ D．④
【答案】 C
【解析】解：在①中，M＝{3，﹣1}是数集，P＝{（3，﹣1）}是点集，二者不是同一集合，故①错误；
在②中，M＝{（3，1）}，P＝{（1，3）}表示的不是同一个点，故②错误；
在③中，M＝{y|y＝x2﹣1}＝[﹣1，∞），P＝{t|t＝x2﹣1}＝[﹣1，+∞），二者表示同一集合，故③正确；
在④中，M＝{y|y＝x2﹣1}表示数集，P＝{（x，y）|y＝x2﹣1}表示一条抛物线，故④错误．
故选：C．
9．已知集合A＝{1，2}，B＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈A}，则集合B中元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 C
【解析】解：∵集合A＝{1，2}，B＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈A}，
∴B＝{2，3，4}，
∴集合B中元素个数为3．
故选：C．
10．设集合A＝{0，1，2}，B＝{1，2}，C＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，则集合C中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】 B
【解析】解：∵A＝{0，1，2}，B＝{1，2}；
∴C＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}＝{0，1，2，4}；
∴集合C中元素的个数为4．
故选：B．
二．填空题（共8小题）
11．集合{2a，a2﹣a}中实数a的取值范围是 a≠0且a≠3 ．
【解析】解：由集合的性质可得2a≠a2﹣a，解得a≠0且a≠3，
故答案为：a≠0且a≠3
12．已知集合A＝{x|x2﹣4x+k＝0}中只有一个元素，则实数k的值为 4 ．
【解析】解：集合A只有一个元素，
∴一元二次方程x2﹣4x+k＝0有二等根；
∴△＝16﹣4k＝0；
∴k＝4．
故答案为4．
13．用列举法表示集合M＝{m|，m∈Z}＝ {0，1，2，3，5，11} ；
【解析】解：∵；
∴M＝{0，1，2，3，5，11}．
故答案为：{0，1，2，3，5，11}．
14．用列举法表示集合＝ {﹣3，﹣6，6，3，2，1}
【解析】解：根据x∈N，且可得：
x＝0时，；x＝1时，；x＝3时，；
x＝4时，；x＝5时，；x＝8时，；
∴A＝{﹣3，﹣6，6，3，2，1}．
故答案为：{﹣3，﹣6，6，3，2，1}．
15．若集合A＝{（x，y）|x+2y＝4，x∈N*，y∈N*}，则列举法表示：A＝ {（2，1）} ．
【解析】解：集合A＝{（x，y）|x+2y＝4，x∈N*，y∈N*}＝{（2，1）}，
故答案为：{（2，1）}
16．用描述法表示被4除余3的正整数集合： {x|x＝4n+3，n∈N} ．
【解析】解：设该数为x，则该数x满足x＝4n+3，n∈N；
∴所求的正整数集合为{x|x＝4n+3，n∈N}．
故答案为：{x|x＝4n+3，n∈N}．
17．若A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，用列举法表示A*B＝{2a﹣b|a∈A，b∈B}＝ ．
【解析】解：因为A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，又A*B＝{2a﹣b|a∈A，b∈B}，
所以A*B＝{﹣3，﹣1，1，3，
故答案为：{﹣3，﹣1，1，3
18．给定集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{1，2，3，4}，定义一种新运算，A*B＝{x|x∈A或x∈B，x?A∩B}，试用列举法写出A*B＝ {﹣1，0，3，4} ．
【解析】解：根据题意，A*B＝{x|x∈A或x∈B，x?A∩B}，
又由集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B＝{1，2}
则A*B＝{﹣1，0，3，4}；
故答案为：{﹣1，0，3，4}．
三．解答题（共2小题）
19．用列举法表示下列集合
（1）{x∈N*|x是15的约数}
（2）{x|x2﹣2x﹣8＝0}
（3）{x|x为不大于10的正偶数}
（4）{a|1≤a＜5，a∈N}
（5）A＝{x∈N|∈N}
（6）{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}．
【解析】解：（1）{x∈N*|x是15的约数}，列举法表示为{1，3，5，15}
（2）{x|x2﹣2x﹣8＝0}，列举法表示为{﹣2，4}
（3）{x|x为不大于10的正偶数}，列举法表示为{2，4，6，8，10}
（4）{a|1≤a＜5，a∈N}，列举法表示为{1，2，3，4}
（5）A＝{x∈N|∈N}，列举法表示为{1，5，7，8}
（6）{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}．列举法表示为{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}
20．已知集合A＝{x∈R|ax2+2x+1＝0}，其中a∈R．
（1）1是A中的一个元素，用列举法表示A；
（2）若A中有且仅有一个元素，求实数a的组成的集合B；
（3）若A中至多有一个元素，试求a的取值范围．
【解析】解：（1）∵1是A的元素，∴1是方程ax2+2x+1＝0的一个根，
∴a+2+1＝0，即a＝﹣3，
此时A＝{x|﹣3x2+2x+1＝0}．
∴x1＝1，，∴此时集合；
（2）若a＝0，方程化为x+1＝0，此时方程有且仅有一个根，
若a≠0，则当且仅当方程的判别式△＝4﹣4a＝0，即a＝1时，
方程有两个相等的实根x1＝x2＝﹣1，此时集合A中有且仅有一个元素，
∴所求集合B＝{0，1}；
（3）集合A中至多有一个元素包括有两种情况，
①A中有且仅有一个元素，由（2）可知此时a＝0或a＝1，
②A中一个元素也没有，即A＝?，此时a≠0，且△＝4﹣4a＜0，解得a＞1，
综合①②知a的取值范围为{a|a≥1或a＝0}
第一章 集合
第1.1节 集合的概念与表示
一．选择题（共10小题）
1．考察下列每组对象，能组成一个集合的是（ ）
①某高中高一年级聪明的学生 ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点
③不小于3的正整数 ④的近似值．
A．①② B．③④ C．②③ D．①③
2．下列关系中，正确的是（ ）
A．0∈N+ B．Z C．π?Q D．0??
3．已知集合A＝{x|x2﹣1＞0}，那么下列结论正确的是（ ）
A．0∈A B．1∈A C．﹣1∈A D．1?A
4．若﹣1∈{2，a2﹣a﹣1，a2+1}，则a＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．0 或1
5．若a∈{1，a2﹣2a+2}，则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．1 或2
6．方程x2＝x的所有实数根组成的集合为（ ）
A．（0，1） B．{（0，1）} C．{0，1} D．{x2＝x}
7．以方程x2﹣5x+6＝0和方程x2﹣x﹣2＝0的解为元素的集合为（ ）
A．{2，3，1} B．{2，3，﹣1} C．{2，3，﹣2，1} D．{﹣2，﹣3，1}
8．下列各组中的M、P表示同一集合的是（ ）
①M＝{3，﹣1}，P＝{（3，﹣1）}；
②M＝{（3，1）}，P＝{（1，3）}；
③M＝{y|y＝x2﹣1}，P＝{t|t＝x2﹣1}；
④M＝{y|y＝x2﹣1}，P＝{（x，y）|y＝x2﹣1}
A．① B．② C．③ D．④
9．已知集合A＝{1，2}，B＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈A}，则集合B中元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．设集合A＝{0，1，2}，B＝{1，2}，C＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，则集合C中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共8小题）
11．集合{2a，a2﹣a}中实数a的取值范围是 ．
12．已知集合A＝{x|x2﹣4x+k＝0}中只有一个元素，则实数k的值为 ．
13．用列举法表示集合M＝{m|，m∈Z}＝ ；
14．用列举法表示集合＝
15．若集合A＝{（x，y）|x+2y＝4，x∈N*，y∈N*}，则列举法表示：A＝ ．
16．用描述法表示被4除余3的正整数集合： ．
17．若A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，用列举法表示A*B＝{2a﹣b|a∈A，b∈B}＝ ．
18．给定集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{1，2，3，4}，定义一种新运算，A*B＝{x|x∈A或x∈B，x?A∩B}，试用列举法写出A*B＝ ．
三．解答题（共2小题）
19．用列举法表示下列集合
（1）{x∈N*|x是15的约数}
（2）{x|x2﹣2x﹣8＝0}
（3）{x|x为不大于10的正偶数}
（4）{a|1≤a＜5，a∈N}
（5）A＝{x∈N|∈N}
（6）{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}．
20．已知集合A＝{x∈R|ax2+2x+1＝0}，其中a∈R．
（1）1是A中的一个元素，用列举法表示A；
（2）若A中有且仅有一个元素，求实数a的组成的集合B；
（3）若A中至多有一个元素，试求a的取值范围。
